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5. 不改变分式的值，将分式$\frac{0.2x+y}{0.1x-0.5y}$的分子、分母中各项系数化为整数的结果是
$\frac{2x+10y}{x-5y}$
。答案
5.$\frac{2x+10y}{x-5y}$
解析
【分析】
要在不改变分式值的前提下将分子、分母的各项系数化为整数，需运用分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。观察本题分式的各项系数均为一位小数，因此只需给分子、分母同时乘10，即可将所有系数转化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘，才能保证分式值不变。
【解析】
根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10（10≠0，不改变分式的值），计算如下：
$\begin{aligned}\frac{0.2x + y}{0.1x - 0.5y}&=\frac{(0.2x + y)×10}{(0.1x - 0.5y)×10}\\&=\frac{0.2x×10 + y×10}{0.1x×10 - 0.5y×10}\\&=\frac{2x + 10y}{x - 5y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2x+10y}{x-5y}$
【知识点】
分式的基本性质，分式系数化整
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，核心考查对分式基本性质的理解，解题时需注意分子、分母的每一项都要乘同一个不为0的数，避免出现漏乘不含字母的项或只乘分子/分母单方面的错误。
【难度系数】
0.85
要在不改变分式值的前提下将分子、分母的各项系数化为整数，需运用分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。观察本题分式的各项系数均为一位小数，因此只需给分子、分母同时乘10，即可将所有系数转化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘，才能保证分式值不变。
【解析】
根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10（10≠0，不改变分式的值），计算如下：
$\begin{aligned}\frac{0.2x + y}{0.1x - 0.5y}&=\frac{(0.2x + y)×10}{(0.1x - 0.5y)×10}\\&=\frac{0.2x×10 + y×10}{0.1x×10 - 0.5y×10}\\&=\frac{2x + 10y}{x - 5y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2x+10y}{x-5y}$
【知识点】
分式的基本性质，分式系数化整
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，核心考查对分式基本性质的理解，解题时需注意分子、分母的每一项都要乘同一个不为0的数，避免出现漏乘不含字母的项或只乘分子/分母单方面的错误。
【难度系数】
0.85
四、分式的运算
1. 计算$(-a)^2 · \frac{b}{a^2}$的结果为（
A.$b$
B.$-b$
C.$ab$
D.$\frac{b}{a}$
1. 计算$(-a)^2 · \frac{b}{a^2}$的结果为（
A
）A.$b$
B.$-b$
C.$ab$
D.$\frac{b}{a}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先处理乘方运算，根据负数的偶次幂为正，先化简$(-a)^2$，再结合分式乘法的运算规则，对分子分母的公因式进行约分，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：化简乘方项：根据乘方的性质，$(-a)^2 = (-a) × (-a) = a^2$，此时原式转化为$a^2 · \frac{b}{a^2}$；
第二步：进行分式乘法运算：当$a ≠ 0$时，分子的$a^2$和分母的$a^2$是公因式，约分后可得结果为$b$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方的性质、分式约分、分式乘法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，主要考查幂的化简和分式的基本运算规则，运算时注意先算乘方再算乘除，掌握约分规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先处理乘方运算，根据负数的偶次幂为正，先化简$(-a)^2$，再结合分式乘法的运算规则，对分子分母的公因式进行约分，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：化简乘方项：根据乘方的性质，$(-a)^2 = (-a) × (-a) = a^2$，此时原式转化为$a^2 · \frac{b}{a^2}$；
第二步：进行分式乘法运算：当$a ≠ 0$时，分子的$a^2$和分母的$a^2$是公因式，约分后可得结果为$b$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方的性质、分式约分、分式乘法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，主要考查幂的化简和分式的基本运算规则，运算时注意先算乘方再算乘除，掌握约分规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算结果为 $ x-1 $ 的是（
A.$ 1 - \dfrac{1}{x} $
B.$ \dfrac{x^2 - 1}{x} · \dfrac{x}{x + 1} $
C.$ \dfrac{x + 1}{x} ÷ \dfrac{1}{x - 1} $
D.$ \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $
B
）A.$ 1 - \dfrac{1}{x} $
B.$ \dfrac{x^2 - 1}{x} · \dfrac{x}{x + 1} $
C.$ \dfrac{x + 1}{x} ÷ \dfrac{1}{x - 1} $
D.$ \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查分式的化简运算，解题时需要逐个计算各选项的结果，对比是否为$x-1$。计算分式乘除时，先对分子分母中的多项式进行因式分解，再通过约分简化运算；计算分式加减时要先通分，最后将结果化为最简分式即可判断。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$，结果不是$x-1$，不符合要求；
选项B：先利用平方差公式对分子因式分解，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}·\dfrac{x}{x+1}$，约去公因式$x$和$x+1$，得结果为$x-1$，符合要求；
选项C：分式除法先转化为乘法运算，原式$=\dfrac{x+1}{x}·(x-1)=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=\dfrac{x^2-1}{x}$，结果不是$x-1$，不符合要求；
选项D：利用完全平方公式对分子因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，结果不是$x-1$，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握分式运算的规则，先对多项式因式分解再进行约分，能有效提高计算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的化简运算，解题时需要逐个计算各选项的结果，对比是否为$x-1$。计算分式乘除时，先对分子分母中的多项式进行因式分解，再通过约分简化运算；计算分式加减时要先通分，最后将结果化为最简分式即可判断。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：$1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$，结果不是$x-1$，不符合要求；
选项B：先利用平方差公式对分子因式分解，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，则原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}·\dfrac{x}{x+1}$，约去公因式$x$和$x+1$，得结果为$x-1$，符合要求；
选项C：分式除法先转化为乘法运算，原式$=\dfrac{x+1}{x}·(x-1)=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=\dfrac{x^2-1}{x}$，结果不是$x-1$，不符合要求；
选项D：利用完全平方公式对分子因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，结果不是$x-1$，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握分式运算的规则，先对多项式因式分解再进行约分，能有效提高计算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
3. 已知$x+\frac{1}{x}=6$,则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值为
（
A.38
B.36
C.34
D.32
（
C
）A.38
B.36
C.34
D.32
答案
3.C 提示:把$x+\frac{1}{x}=6$两边平方,得$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=36$,则$x^2+\frac{1}{x^2}=34$。
解析
【分析】
观察已知条件是$x$与$\frac{1}{x}$的和，所求代数式是$x^2$与$\frac{1}{x^2}$的和，二者可通过完全平方公式建立联系。根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a$看作$x$、$b$看作$\frac{1}{x}$时，$ab=1$，因此只需将已知等式两边平方，展开后就能得到包含所求代数式的等式，移项计算即可得到结果。
【解析】
已知$x+\frac{1}{x}=6$，
将等式两边同时平方，可得：
$(x+\frac{1}{x})^2=6^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=36$
化简后得：
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=36$
移项计算得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=36-2=34$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查完全平方公式的变形应用，解题关键是观察已知和所求代数式的结构特征，利用平方运算构造目标式，计算量小，掌握公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
观察已知条件是$x$与$\frac{1}{x}$的和，所求代数式是$x^2$与$\frac{1}{x^2}$的和，二者可通过完全平方公式建立联系。根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a$看作$x$、$b$看作$\frac{1}{x}$时，$ab=1$，因此只需将已知等式两边平方，展开后就能得到包含所求代数式的等式，移项计算即可得到结果。
【解析】
已知$x+\frac{1}{x}=6$，
将等式两边同时平方，可得：
$(x+\frac{1}{x})^2=6^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=36$
化简后得：
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=36$
移项计算得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=36-2=34$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查完全平方公式的变形应用，解题关键是观察已知和所求代数式的结构特征，利用平方运算构造目标式，计算量小，掌握公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图15-1所示.接力中,自己负责的一步出现错误的是 (
A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
D
)A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
4.D 提示:$\because \frac{x^2-2x}{x-1}÷\frac{x^2}{1-x}=\frac{x^2-2x}{x-1}·\frac{1-x}{x^2}=\frac{x^2-2x}{x-1}·\frac{-(x-1)}{x^2}=\frac{x(x-2)}{x-1}·\frac{-(x-1)}{x^2}=\frac{-(x-2)}{x}=\frac{2-x}{x}$,$\therefore$ 出现错误的是乙和丁。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要按照分式化简的规则，从老师给出的原式开始依次核对每一位同学的计算步骤：首先明确分式除法的运算法则是除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次处理符号时要注意$1-x=-(x-1)$；再依次核对因式分解、约分的步骤是否正确，即可找出出错的环节。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
老师给出的原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：
因为$1-x=-(x-1)$，所以原式应变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接将$\frac{1-x}{x^2}$改写为$\frac{x-1}{x^2}$，遗漏了负号，乙的计算错误。
3. 核对丙的步骤：
丙承接乙的式子，对分子$x^2-2x$因式分解得到$x(x-2)$，变形为$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，这一步因式分解符合规则，丙的计算无误。
4. 核对丁的步骤：
对$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$约分，约去分子分母的公因式$x$和$x-1$后，结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁得到$\frac{x-2}{2}$，属于约分错误，丁的计算错误。
综上，出现错误的是乙和丁，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】本题以接力游戏为载体考查分式化简的步骤，解题时需要熟练掌握分式除法的变形规则、符号处理方法以及约分的要求，每一步变形都要符合运算法则，避免出现符号错误或约分错误。
【难度系数】0.7
要解决这道题，我们需要按照分式化简的规则，从老师给出的原式开始依次核对每一位同学的计算步骤：首先明确分式除法的运算法则是除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次处理符号时要注意$1-x=-(x-1)$；再依次核对因式分解、约分的步骤是否正确，即可找出出错的环节。
【解析】
1. 核对甲的步骤：
老师给出的原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的计算正确。
2. 核对乙的步骤：
因为$1-x=-(x-1)$，所以原式应变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接将$\frac{1-x}{x^2}$改写为$\frac{x-1}{x^2}$，遗漏了负号，乙的计算错误。
3. 核对丙的步骤：
丙承接乙的式子，对分子$x^2-2x$因式分解得到$x(x-2)$，变形为$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，这一步因式分解符合规则，丙的计算无误。
4. 核对丁的步骤：
对$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$约分，约去分子分母的公因式$x$和$x-1$后，结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁得到$\frac{x-2}{2}$，属于约分错误，丁的计算错误。
综上，出现错误的是乙和丁，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式的乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】本题以接力游戏为载体考查分式化简的步骤，解题时需要熟练掌握分式除法的变形规则、符号处理方法以及约分的要求，每一步变形都要符合运算法则，避免出现符号错误或约分错误。
【难度系数】0.7
5. 先化简代数式 $( \dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \dfrac{a - b}{a + b} ) ÷ \dfrac{2ab}{(a - b)(a + b)^2}$，然后请你自取一组$a,b$的值代入求值.
答案
5. 原式=$[\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{a+b}]·\frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab}=\frac{2ab}{(a+b)(a-b)}·\frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab}=a+b$. 因为a,b取值要同时满足a+b≠0,a-b≠0,ab≠0,所以当a=2,b=1时,原式=2+1=3.(注:a,b取值不唯一)
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：第一步先处理括号内的减法运算，先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，找到两个分式的最简公分母进行通分，计算出括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；第三步对分子分母进行约分，得到最简代数式；最后选取a、b的值代入时，要注意保证原式中所有分式的分母不为0，即$a+b≠0$、$a-b≠0$、$ab≠0$，否则分式无意义。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算括号内的部分：
对$a^2-b^2$因式分解得$(a+b)(a-b)$，将括号内两个分式通分，公分母为$(a+b)(a-b)$：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ] · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab} \\&=\frac{a^2+b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab} \\&=\frac{2ab}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab}\end{aligned}$
2. 约分计算：
分子分母的$2ab$、$(a-b)$分别约去，$(a+b)$约去1个，可得：
$原式=a+b$
3. 代值求值：
根据分式有意义的条件，需满足$a+b≠0$，$a-b≠0$，$ab≠0$，因此可取$a=2$，$b=1$，代入得：
$原式=2+1=3$（a、b取值不唯一，符合条件即可）
【答案】
化简结果为$a+b$，当$a=2,b=1$时，原式的值为3（取值不唯一）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式通分、约分的运算能力，需要注意运算顺序，尤其代值时要先确认取值符合分式有意义的要求，避免代入使分母为0的值。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：第一步先处理括号内的减法运算，先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，找到两个分式的最简公分母进行通分，计算出括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；第三步对分子分母进行约分，得到最简代数式；最后选取a、b的值代入时，要注意保证原式中所有分式的分母不为0，即$a+b≠0$、$a-b≠0$、$ab≠0$，否则分式无意义。
【解析】
解：先对原式化简：
1. 计算括号内的部分：
对$a^2-b^2$因式分解得$(a+b)(a-b)$，将括号内两个分式通分，公分母为$(a+b)(a-b)$：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ] · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab} \\&=\frac{a^2+b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab} \\&=\frac{2ab}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a-b)(a+b)^2}{2ab}\end{aligned}$
2. 约分计算：
分子分母的$2ab$、$(a-b)$分别约去，$(a+b)$约去1个，可得：
$原式=a+b$
3. 代值求值：
根据分式有意义的条件，需满足$a+b≠0$，$a-b≠0$，$ab≠0$，因此可取$a=2$，$b=1$，代入得：
$原式=2+1=3$（a、b取值不唯一，符合条件即可）
【答案】
化简结果为$a+b$，当$a=2,b=1$时，原式的值为3（取值不唯一）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查分式通分、约分的运算能力，需要注意运算顺序，尤其代值时要先确认取值符合分式有意义的要求，避免代入使分母为0的值。
【难度系数】
0.7
