登录
6.如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D，E，F，若∠A = 75°，∠B = 45°，则∠EOF 的度数为
120°
。答案
6. 120°
解析
【分析】
要计算∠EOF的度数，可按以下思路推导：首先根据三角形内角和定理，先求出△ABC中∠C的度数；再结合三角形内切圆的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OE⊥BC、OF⊥AC，即∠OEC和∠OFC均为直角；最后在四边形OECF中，利用四边形内角和为360°，即可求出∠EOF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 75° - 45° = 60°$
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F分别是BC、AC边上的切点
∴根据切线的性质，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$
∴$∠ OEC = 90°$，$∠ OFC = 90°$
在四边形OECF中，内角和为360°，因此：
$∠ EOF = 360° - ∠ OEC - ∠ OFC - ∠ C = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一性质，结合内角和公式即可快速求解，是内切圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠EOF的度数，可按以下思路推导：首先根据三角形内角和定理，先求出△ABC中∠C的度数；再结合三角形内切圆的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OE⊥BC、OF⊥AC，即∠OEC和∠OFC均为直角；最后在四边形OECF中，利用四边形内角和为360°，即可求出∠EOF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 75° - 45° = 60°$
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F分别是BC、AC边上的切点
∴根据切线的性质，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$
∴$∠ OEC = 90°$，$∠ OFC = 90°$
在四边形OECF中，内角和为360°，因此：
$∠ EOF = 360° - ∠ OEC - ∠ OFC - ∠ C = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一性质，结合内角和公式即可快速求解，是内切圆相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
7.(教材P159练习T2变式)
如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，
则∠BPC的度数为
如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，
则∠BPC的度数为
115°
。答案
7. 115°
解析
【分析】
首先明确点P是△ABC的内心，根据内心的定义可知，内心是三角形三条角平分线的交点，因此PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。已知∠A的度数，可先通过三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再利用角平分线的性质求出∠PBC与∠PCB的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵点P是△ABC的内心
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△PBC中，再根据三角形内角和为180°：
$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握三角形内心的性质，结合角平分线和三角形内角和定理进行推导计算，也可直接用规律“三角形中内心与两个顶点的夹角等于90°加第三个角度数的一半”快速求出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确点P是△ABC的内心，根据内心的定义可知，内心是三角形三条角平分线的交点，因此PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。已知∠A的度数，可先通过三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再利用角平分线的性质求出∠PBC与∠PCB的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
∵点P是△ABC的内心
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
在△PBC中，再根据三角形内角和为180°：
$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握三角形内心的性质，结合角平分线和三角形内角和定理进行推导计算，也可直接用规律“三角形中内心与两个顶点的夹角等于90°加第三个角度数的一半”快速求出结果。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A$为锐角,$CD$为$AB$边上的高,点$O$为$△ ACD$的内切圆圆心,则$∠ AOB=$
135°
.答案
8. 135°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆圆心（内心）的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此可得AO平分∠BAC。结合已知AB=AC，AO为公共边，可通过SAS证明△AOB≌△AOC，将求∠AOB的问题转化为求∠AOC。接下来利用CD是AB边上的高，可得△ACD为直角三角形，两锐角∠BAC与∠ACD的和为90°，再结合角平分线的性质，可求出△AOC中∠OAC与∠OCA的和，最后利用三角形内角和定理即可算出∠AOC的度数，进而得到∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵点O为△ACD的内切圆圆心，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACD。
在△AOB和△AOC中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ BAO=∠ CAO\\ AO=AO\end{array} $
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC。
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC + ∠ACD = 180° - ∠ADC = 90°，
∴$∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACD) = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
在△AOC中，由三角形内角和定理得：
∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - 45° = 135°，
∴∠AOB = 135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的几何综合题，解题的核心是通过全等三角形实现所求角度的转化，再结合直角三角形的性质和角平分线的特点简化计算，能够很好地考察学生对几何性质的综合运用能力和角度转化的思维。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆三角形内切圆圆心（内心）的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此可得AO平分∠BAC。结合已知AB=AC，AO为公共边，可通过SAS证明△AOB≌△AOC，将求∠AOB的问题转化为求∠AOC。接下来利用CD是AB边上的高，可得△ACD为直角三角形，两锐角∠BAC与∠ACD的和为90°，再结合角平分线的性质，可求出△AOC中∠OAC与∠OCA的和，最后利用三角形内角和定理即可算出∠AOC的度数，进而得到∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵点O为△ACD的内切圆圆心，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACD。
在△AOB和△AOC中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ BAO=∠ CAO\\ AO=AO\end{array} $
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC。
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC + ∠ACD = 180° - ∠ADC = 90°，
∴$∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACD) = \frac{1}{2}×90° = 45°$，
在△AOC中，由三角形内角和定理得：
∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - 45° = 135°，
∴∠AOB = 135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的几何综合题，解题的核心是通过全等三角形实现所求角度的转化，再结合直角三角形的性质和角平分线的特点简化计算，能够很好地考察学生对几何性质的综合运用能力和角度转化的思维。
【难度系数】
0.6
9.如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，切点分别为$F,G,H$，点$D,E$分别为$BC,AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线.
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ AOB$的度数；
(2)若$AB=6,BC=9,AC=8$，求$△ CDE$的周长.
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ AOB$的度数；
(2)若$AB=6,BC=9,AC=8$，求$△ CDE$的周长.
答案
9. (1) 110°
(2) 11
(2) 11
解析
【分析】
(1) 要求∠AOB的度数，首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此点O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点，OA、OB分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和求出∠BAC+∠ABC的度数，再计算∠OAB+∠OBA的度数，最后在△AOB中用内角和定理即可求出∠AOB。
(2) 要求△CDE的周长，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。将DE拆为两段切线长，把△CDE的周长转化为两条切线长CG与CH的和，再根据三边长度列关系求解即可。
【解析】
(1)
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
在△AOB中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
(2) 设DE与⊙O相切于点M，根据切线长定理可得：
$AF=AH$，$BF=BG$，$CG=CH$，$DG=DM$，$EH=EM$。
△CDE的周长为：
$C_{△ CDE}=CD+CE+DE=CD+CE+DM+EM$，
将$DM=DG$，$EM=EH$代入得：
$C_{△ CDE}=CD+CE+DG+EH=(CD+DG)+(CE+EH)=CG+CH$。
设$CG=CH=x$，$BG=BF=y$，$AF=AH=z$，根据三边长列方程：
$\begin{cases}x+y=BC=9\\y+z=AB=6\\x+z=AC=8\end{cases}$
将前两个式子相加后减去第三个式子：$(x+y)+(x+z)-(y+z)=9+8-6$，
化简得$2x=11$，即$CG+CH=2x=11$，故△CDE的周长为11。
【答案】
(1) $110°$
(2) $11$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.切线长定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，第一问结合角平分线性质与三角形内角和即可求解，第二问的解题核心是利用切线长定理对所求三角形的周长进行等量转化，简化计算过程，是内切圆相关的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠AOB的度数，首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此点O是△ABC的内心，即三条角平分线的交点，OA、OB分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和求出∠BAC+∠ABC的度数，再计算∠OAB+∠OBA的度数，最后在△AOB中用内角和定理即可求出∠AOB。
(2) 要求△CDE的周长，可利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。将DE拆为两段切线长，把△CDE的周长转化为两条切线长CG与CH的和，再根据三边长度列关系求解即可。
【解析】
(1)
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ABC=180°-∠ C=180°-40°=140°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$。
在△AOB中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
(2) 设DE与⊙O相切于点M，根据切线长定理可得：
$AF=AH$，$BF=BG$，$CG=CH$，$DG=DM$，$EH=EM$。
△CDE的周长为：
$C_{△ CDE}=CD+CE+DE=CD+CE+DM+EM$，
将$DM=DG$，$EM=EH$代入得：
$C_{△ CDE}=CD+CE+DG+EH=(CD+DG)+(CE+EH)=CG+CH$。
设$CG=CH=x$，$BG=BF=y$，$AF=AH=z$，根据三边长列方程：
$\begin{cases}x+y=BC=9\\y+z=AB=6\\x+z=AC=8\end{cases}$
将前两个式子相加后减去第三个式子：$(x+y)+(x+z)-(y+z)=9+8-6$，
化简得$2x=11$，即$CG+CH=2x=11$，故△CDE的周长为11。
【答案】
(1) $110°$
(2) $11$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.切线长定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，第一问结合角平分线性质与三角形内角和即可求解，第二问的解题核心是利用切线长定理对所求三角形的周长进行等量转化，简化计算过程，是内切圆相关的典型考法。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知$△ ABC$,$∠ B=40°$.
(1)在图中,用尺规作出$△ ABC$的内切圆$\odot O$,并标出$\odot O$与边$AB$,$BC$,$AC$的切点$D$,$E$,$F$(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)连接$EF$,$DF$,求$∠ EFD$的度数.
(1)在图中,用尺规作出$△ ABC$的内切圆$\odot O$,并标出$\odot O$与边$AB$,$BC$,$AC$的切点$D$,$E$,$F$(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)连接$EF$,$DF$,求$∠ EFD$的度数.
答案
(1) 略
(2) 70°
(2) 70°
解析
【分析】
(1) 作三角形内切圆首先要确定圆心：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，交点即为内切圆圆心O；再过O作任意一边的垂线段，长度就是内切圆半径，以O为圆心、该垂线段长为半径画圆，即可得到△ABC的内切圆，最后按要求标注三个切点即可。
(2) 求∠EFD的度数可以结合圆周角定理推导：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此先求∠EFD对应的同弧所对的圆心角∠DOE的度数；根据内切圆的性质，切点与圆心的连线垂直于三角形的边，可得OD⊥AB、OE⊥BC，在四边形ODBE中利用内角和即可求出∠DOE的度数，进而算出∠EFD。
【解析】
(1) 作图略，按要求保留尺规作图痕迹，标注切点D、E、F即可。
(2) 连接OD、OE，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是⊙O与AB、BC的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°，
在四边形ODBE中，内角和为360°，已知∠B=40°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°，
∵ ∠EFD是弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴ ∠EFD = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
(1) 略；(2) 70°
【知识点】
三角形内切圆的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题结合尺规作图和角度计算，既考查了三角形内切圆的作图方法，又考查了内切圆性质及圆周角定理的灵活应用，属于基础几何常考题，熟练掌握内心的性质和圆周角与圆心角的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 作三角形内切圆首先要确定圆心：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，交点即为内切圆圆心O；再过O作任意一边的垂线段，长度就是内切圆半径，以O为圆心、该垂线段长为半径画圆，即可得到△ABC的内切圆，最后按要求标注三个切点即可。
(2) 求∠EFD的度数可以结合圆周角定理推导：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此先求∠EFD对应的同弧所对的圆心角∠DOE的度数；根据内切圆的性质，切点与圆心的连线垂直于三角形的边，可得OD⊥AB、OE⊥BC，在四边形ODBE中利用内角和即可求出∠DOE的度数，进而算出∠EFD。
【解析】
(1) 作图略，按要求保留尺规作图痕迹，标注切点D、E、F即可。
(2) 连接OD、OE，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是⊙O与AB、BC的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°，
在四边形ODBE中，内角和为360°，已知∠B=40°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°，
∵ ∠EFD是弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴ ∠EFD = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
(1) 略；(2) 70°
【知识点】
三角形内切圆的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题结合尺规作图和角度计算，既考查了三角形内切圆的作图方法，又考查了内切圆性质及圆周角定理的灵活应用，属于基础几何常考题，熟练掌握内心的性质和圆周角与圆心角的关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
11. 如图, 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中, $∠ C=90°$, $AB, BC, CA$的长分别为$c, a, b$, 则可以用含$c, a, b$的式子表示出$△ ABC$的内切圆直径$d$. 下列表达式错误的是(
A.$d = a + b - c$
B.$d = \dfrac{2ab}{a + b + c}$
C.$d = \sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.$d = |(a - b)(c - b)|$
D
).A.$d = a + b - c$
B.$d = \dfrac{2ab}{a + b + c}$
C.$d = \sqrt{2(c - a)(c - b)}$
D.$d = |(a - b)(c - b)|$
答案
11. D
解析
【分析】
解决本题的核心是先推导直角三角形内切圆直径的表达式，再逐一验证各选项是否正确，也可通过代入特殊勾股数快速判断错误选项。首先回忆直角三角形内切圆半径的两种推导方法：①切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，据此可得到边长和内切圆半径的关系；②面积法：三角形面积等于以内切圆半径为高，三边长和的一半为底的三角形面积，据此也可推导半径。推导得到直径的基本表达式后，结合勾股定理验证C选项，或代入特殊值验证C、D选项即可找到错误表达式。
【解析】
设内切圆半径为$r$，则内切圆直径$d=2r$，逐一验证选项：
1. 验证选项A
根据切线长定理，设内切圆与$AC、BC、AB$分别切于点$D、E、F$，易得四边形$ODCE$是正方形，因此$CD=CE=r$，$AD=AF=b-r$，$BE=BF=a-r$。
由$AF+BF=AB=c$，可得$(b-r)+(a-r)=c$，整理得$2r=a+b-c$，即$d=a+b-c$，故A选项正确。
2. 验证选项B
由三角形面积公式，$\mathrm{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，同时三角形面积也等于三个小三角形面积之和：$\mathrm{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。
联立两式得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$，因此$d=2r=\frac{2ab}{a+b+c}$，故B选项正确。
3. 验证选项C
将$d=a+b-c$两边平方得：$d^2=(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$。
结合勾股定理$c^2=a^2+b^2$，代入上式得：
$d^2=2c^2+2ab-2ac-2bc=2(c^2-ac-bc+ab)=2(c-a)(c-b)$，
因$d$为正数，故$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$，C选项正确。
4. 验证选项D
取特殊值验证：取直角三边长$a=3,b=4,c=5$，此时内切圆直径$d=3+4-5=2$。
代入D选项得：$|(a-b)(c-b)|=|(3-4)(5-4)|=1≠2$，表达式不成立，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形内切圆直径的表达式推导，既可以通过几何定理推导验证各选项，也可以用特殊值法快速判断错误选项，降低解题难度，需要熟练掌握切线长定理和面积法两种常见的内切圆半径推导方法。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先推导直角三角形内切圆直径的表达式，再逐一验证各选项是否正确，也可通过代入特殊勾股数快速判断错误选项。首先回忆直角三角形内切圆半径的两种推导方法：①切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，据此可得到边长和内切圆半径的关系；②面积法：三角形面积等于以内切圆半径为高，三边长和的一半为底的三角形面积，据此也可推导半径。推导得到直径的基本表达式后，结合勾股定理验证C选项，或代入特殊值验证C、D选项即可找到错误表达式。
【解析】
设内切圆半径为$r$，则内切圆直径$d=2r$，逐一验证选项：
1. 验证选项A
根据切线长定理，设内切圆与$AC、BC、AB$分别切于点$D、E、F$，易得四边形$ODCE$是正方形，因此$CD=CE=r$，$AD=AF=b-r$，$BE=BF=a-r$。
由$AF+BF=AB=c$，可得$(b-r)+(a-r)=c$，整理得$2r=a+b-c$，即$d=a+b-c$，故A选项正确。
2. 验证选项B
由三角形面积公式，$\mathrm{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，同时三角形面积也等于三个小三角形面积之和：$\mathrm{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。
联立两式得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}$，因此$d=2r=\frac{2ab}{a+b+c}$，故B选项正确。
3. 验证选项C
将$d=a+b-c$两边平方得：$d^2=(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$。
结合勾股定理$c^2=a^2+b^2$，代入上式得：
$d^2=2c^2+2ab-2ac-2bc=2(c^2-ac-bc+ab)=2(c-a)(c-b)$，
因$d$为正数，故$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$，C选项正确。
4. 验证选项D
取特殊值验证：取直角三边长$a=3,b=4,c=5$，此时内切圆直径$d=3+4-5=2$。
代入D选项得：$|(a-b)(c-b)|=|(3-4)(5-4)|=1≠2$，表达式不成立，故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形内切圆直径的表达式推导，既可以通过几何定理推导验证各选项，也可以用特殊值法快速判断错误选项，降低解题难度，需要熟练掌握切线长定理和面积法两种常见的内切圆半径推导方法。
【难度系数】
0.7
