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与三角形各边都相切的圆叫作三角形的
内切圆
，内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形
。答案
内切圆 三条角平分线 外切三角形
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时可直接回忆对应定义作答：首先明确与三角形各边都相切的圆的专属名称；再根据内切圆圆心到三边距离相等的特点，结合角平分线的性质判断圆心是哪条线的交点；最后明确该三角形与圆的对应称呼即可。
【解析】
根据相关定义逐一分析：
1. 按照定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心；
3. 三边都和圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。
【答案】
内切圆 三条角平分线 外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心性质；圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对三角形内切圆相关基础定义的掌握情况，熟练记忆对应概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆相关的基础概念，解题时可直接回忆对应定义作答：首先明确与三角形各边都相切的圆的专属名称；再根据内切圆圆心到三边距离相等的特点，结合角平分线的性质判断圆心是哪条线的交点；最后明确该三角形与圆的对应称呼即可。
【解析】
根据相关定义逐一分析：
1. 按照定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心；
3. 三边都和圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。
【答案】
内切圆 三条角平分线 外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念；三角形内心性质；圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对三角形内切圆相关基础定义的掌握情况，熟练记忆对应概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
• 练习 如图，$\odot O$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆，$∠ A = 90°$，$AB=5$，$AC=12$，求$\odot O$的半径。
知识拓展 (1)因为三角形的面积 $S$ 可表示为 $\frac{1}{2}(a+b+c)r$（其中 $a,b,c$ 分别为三角形的三边长，$r$ 为内切圆半径），所以任意三角形内切圆的半径 $r = \frac{2×\mathrm{三角形的面积}}{\mathrm{三角形的周长}} = \frac{2S}{a+b+c}$。
(2)直角三角形内切圆的半径 $r = \frac{a+b-c}{2}$（其中 $a,b$ 为直角边长，$c$ 为斜边长）。
知识拓展 (1)因为三角形的面积 $S$ 可表示为 $\frac{1}{2}(a+b+c)r$（其中 $a,b,c$ 分别为三角形的三边长，$r$ 为内切圆半径），所以任意三角形内切圆的半径 $r = \frac{2×\mathrm{三角形的面积}}{\mathrm{三角形的周长}} = \frac{2S}{a+b+c}$。
(2)直角三角形内切圆的半径 $r = \frac{a+b-c}{2}$（其中 $a,b$ 为直角边长，$c$ 为斜边长）。
答案
2
解析
【分析】
首先，题目给出的是直角三角形，已知两条直角边的长度，第一步先利用勾股定理求出斜边的长度；接下来可以选择两种方法求内切圆半径：方法一是直接套用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）计算；方法二是先求出三角形的面积和周长，再利用通用的三角形内切圆半径公式$r=\frac{2S}{a+b+c}$计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=5$，$AC=12$，
由勾股定理得斜边$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
方法1：使用直角三角形内切圆半径公式
直角三角形内切圆半径$r=\frac{\mathrm{直角边之和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数值得：
$r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{5+12-13}{2}=\frac{4}{2}=2$。
方法2：使用面积法计算
$△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$△ABC$的周长$l=AB+AC+BC=5+12+13=30$，
由$r=\frac{2S}{l}$得$r=\frac{2×30}{30}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，掌握直角三角形的性质和内切圆半径的相关计算公式即可快速求解，两种计算方法可根据做题习惯灵活选用。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出的是直角三角形，已知两条直角边的长度，第一步先利用勾股定理求出斜边的长度；接下来可以选择两种方法求内切圆半径：方法一是直接套用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）计算；方法二是先求出三角形的面积和周长，再利用通用的三角形内切圆半径公式$r=\frac{2S}{a+b+c}$计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=5$，$AC=12$，
由勾股定理得斜边$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
方法1：使用直角三角形内切圆半径公式
直角三角形内切圆半径$r=\frac{\mathrm{直角边之和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数值得：
$r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{5+12-13}{2}=\frac{4}{2}=2$。
方法2：使用面积法计算
$△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$△ABC$的周长$l=AB+AC+BC=5+12+13=30$，
由$r=\frac{2S}{l}$得$r=\frac{2×30}{30}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，掌握直角三角形的性质和内切圆半径的相关计算公式即可快速求解，两种计算方法可根据做题习惯灵活选用。
【难度系数】
0.8
1.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则这个三角形的内切圆的半径为（
A.5
B.4
C.2
D.1
C
）。A.5
B.4
C.2
D.1
答案
1. C
解析
【分析】
要计算直角三角形的内切圆半径，首先需明确三角形的三边长：已知两条直角边，可先通过勾股定理求出斜边长度。之后可采用两种思路求解：①利用直角三角形内切圆半径的特殊公式直接计算；②利用通用的面积法，即三角形总面积等于以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底的三个小三角形的面积和，列等式求半径。
【解析】
解：①先求直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边长$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $。
②计算内切圆半径r：
方法一（直角三角形内切圆专用公式）：直角三角形内切圆半径$ r = \frac{a + b - c}{2} $（a、b为直角边，c为斜边），代入数值得：
$ r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 $。
方法二（通用面积法）：
直角三角形的总面积$ S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，
同时三角形面积也可表示为$ S = \frac{1}{2}(a + b + c) · r $，代入数据得：
$ 24 = \frac{1}{2} × (6 + 8 + 10) × r $，
即$ 12r = 24 $，解得$ r = 2 $。
综上，内切圆半径为2，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；面积法计算半径
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，既可以用直角三角形的专用公式快速求解，也可以用所有三角形通用的面积法推导计算，熟练掌握内切圆相关性质和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形的内切圆半径，首先需明确三角形的三边长：已知两条直角边，可先通过勾股定理求出斜边长度。之后可采用两种思路求解：①利用直角三角形内切圆半径的特殊公式直接计算；②利用通用的面积法，即三角形总面积等于以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底的三个小三角形的面积和，列等式求半径。
【解析】
解：①先求直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边长$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $。
②计算内切圆半径r：
方法一（直角三角形内切圆专用公式）：直角三角形内切圆半径$ r = \frac{a + b - c}{2} $（a、b为直角边，c为斜边），代入数值得：
$ r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 $。
方法二（通用面积法）：
直角三角形的总面积$ S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，
同时三角形面积也可表示为$ S = \frac{1}{2}(a + b + c) · r $，代入数据得：
$ 24 = \frac{1}{2} × (6 + 8 + 10) × r $，
即$ 12r = 24 $，解得$ r = 2 $。
综上，内切圆半径为2，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；面积法计算半径
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，既可以用直角三角形的专用公式快速求解，也可以用所有三角形通用的面积法推导计算，熟练掌握内切圆相关性质和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.已知$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点$O$是$△ ABC$的(
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
).A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形内切圆圆心的性质，再对应辨析各选项中点的性质：第一步，回忆内切圆的定义：内切圆是与三角形三边都相切的圆，圆心到三边的距离相等；第二步，回顾角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三条角平分线的交点满足到三边距离相等，即为内切圆圆心；第三步，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的点的性质：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，根据角平分线的性质，该点到三角形三边的距离相等，恰好是内切圆的圆心，符合要求；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，重心的性质是分每条中线的比为2:1，与内切圆圆心无关，排除；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心无关，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的内心定义；角平分线的性质；三角形特殊点辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查三角形不同特殊点的定义与性质区分，只要熟练掌握内心、外心、重心、垂心的核心特征，就能快速准确得出答案，是三角形相关概念的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确三角形内切圆圆心的性质，再对应辨析各选项中点的性质：第一步，回忆内切圆的定义：内切圆是与三角形三边都相切的圆，圆心到三边的距离相等；第二步，回顾角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三条角平分线的交点满足到三边距离相等，即为内切圆圆心；第三步，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的点的性质：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，根据角平分线的性质，该点到三角形三边的距离相等，恰好是内切圆的圆心，符合要求；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，重心的性质是分每条中线的比为2:1，与内切圆圆心无关，排除；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心无关，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的内心定义；角平分线的性质；三角形特殊点辨析
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查三角形不同特殊点的定义与性质区分，只要熟练掌握内心、外心、重心、垂心的核心特征，就能快速准确得出答案，是三角形相关概念的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
3.用无刻度的直尺和圆规确定$△ ABC$的内心，下列作法正确的是(
C
). 答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个作法能确定三角形的内心，首先需明确三角形内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此只需判断各选项的作图是否为作两个内角的角平分线，其交点即为所求内心。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此分析各选项：
选项A：作图得到的是两条边的垂直平分线，垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不符合内心的定义，排除；
选项B：作图不是作两个内角的角平分线，无法得到内心，排除；
选项C：作图分别作出了∠B和∠C的角平分线，两条角平分线的交点I就是△ABC的内心，作法正确；
选项D：作图得到的是BC边的垂直平分线和∠B的角平分线，交点不是两个内角角平分线的交点，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的尺规作图；垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题考查三角形内心的概念与尺规作图的识别，解题核心是区分内心、外心的定义，明确内心对应内角角平分线的交点，外心对应边的垂直平分线的交点即可快速判断。
【难度系数】
0.7
要判断哪个作法能确定三角形的内心，首先需明确三角形内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此只需判断各选项的作图是否为作两个内角的角平分线，其交点即为所求内心。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此分析各选项：
选项A：作图得到的是两条边的垂直平分线，垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不符合内心的定义，排除；
选项B：作图不是作两个内角的角平分线，无法得到内心，排除；
选项C：作图分别作出了∠B和∠C的角平分线，两条角平分线的交点I就是△ABC的内心，作法正确；
选项D：作图得到的是BC边的垂直平分线和∠B的角平分线，交点不是两个内角角平分线的交点，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线的尺规作图；垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题考查三角形内心的概念与尺规作图的识别，解题核心是区分内心、外心的定义，明确内心对应内角角平分线的交点，外心对应边的垂直平分线的交点即可快速判断。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，三个切点分别为$D$，$E$，$F$.若$BF=4$，$AF=6$，则$△ ABC$的面积为（
A.24
B.28
C.32
D.36
A
）.A.24
B.28
C.32
D.36
答案
4. A
解析
【分析】
遇到三角形内切圆的题目，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合本题，先根据切线长定理得到已知线段对应的相等切线长，再设内切圆半径为r，用r表示出两条直角边的长度，最后利用直角三角形的勾股定理列方程求出r，即可计算三角形面积。
【解析】
根据切线长定理可得：$BE=BF=4$，$AD=AF=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，$\because ∠ C=90°$，内切圆与$BC$、$AC$分别切于$E$、$D$，$\therefore CE=CD=r$。
则$BC=BE+CE=4+r$，$AC=AD+CD=6+r$，斜边$AB=AF+BF=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$(r+4)^2 + (r+6)^2 = 10^2$
展开整理得：$r^2+10r-24=0$，
因式分解得：$(r+12)(r-2)=0$，
解得$r=2$（$r=-12$不符合题意，舍去）。
$\therefore BC=4+2=6$，$AC=6+2=8$，
$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 8× 6=24$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的常规应用题，解题核心是利用切线长定理用内切圆半径表示出直角三角形两条直角边的长度，再结合勾股定理求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到三角形内切圆的题目，首先想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合本题，先根据切线长定理得到已知线段对应的相等切线长，再设内切圆半径为r，用r表示出两条直角边的长度，最后利用直角三角形的勾股定理列方程求出r，即可计算三角形面积。
【解析】
根据切线长定理可得：$BE=BF=4$，$AD=AF=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，$\because ∠ C=90°$，内切圆与$BC$、$AC$分别切于$E$、$D$，$\therefore CE=CD=r$。
则$BC=BE+CE=4+r$，$AC=AD+CD=6+r$，斜边$AB=AF+BF=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$(r+4)^2 + (r+6)^2 = 10^2$
展开整理得：$r^2+10r-24=0$，
因式分解得：$(r+12)(r-2)=0$，
解得$r=2$（$r=-12$不符合题意，舍去）。
$\therefore BC=4+2=6$，$AC=6+2=8$，
$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 8× 6=24$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的常规应用题，解题核心是利用切线长定理用内切圆半径表示出直角三角形两条直角边的长度，再结合勾股定理求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=3，BC=7，则△ABC的周长为
20
。答案
5. 20
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆相关的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以先根据定理得到三组相等的切线段：AD=AF，BD=BE，CE=CF。接下来将三角形的周长拆分为各边之和，再通过等量代换，把未知的切线段转化为已知长度的BC和AD，即可求出周长。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F
∴根据切线长定理可得：
$AD=AF=3$，$BD=BE$，$CE=CF$
又
∵$BC=BE+CE=7$
∴$BD+CF=BE+CE=7$
△ABC的周长为：
$\begin{aligned}AB+BC+AC&=(AD+BD)+BC+(AF+CF)\\&=AD+AF+(BD+CF)+BC\\&=3+3+7+7\\&=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长转化为已知线段的和，熟练掌握切线长定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆相关的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以先根据定理得到三组相等的切线段：AD=AF，BD=BE，CE=CF。接下来将三角形的周长拆分为各边之和，再通过等量代换，把未知的切线段转化为已知长度的BC和AD，即可求出周长。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F
∴根据切线长定理可得：
$AD=AF=3$，$BD=BE$，$CE=CF$
又
∵$BC=BE+CE=7$
∴$BD+CF=BE+CE=7$
△ABC的周长为：
$\begin{aligned}AB+BC+AC&=(AD+BD)+BC+(AF+CF)\\&=AD+AF+(BD+CF)+BC\\&=3+3+7+7\\&=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查切线长定理在三角形内切圆问题中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长转化为已知线段的和，熟练掌握切线长定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
