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知识点一 正多边形的有关概念
1.正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的
1.正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的
中心
，外接圆的半径叫作正多边形的半径
，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角
，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距
。答案
1. 中心 半径 中心角 边心距
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆相关的基础概念识记，解题时只需结合教材中对正多边形对应名称的定义，将题干描述和概念逐一匹配即可：正多边形和它的外接圆的各要素是一一对应的，外接圆的圆心、半径分别对应正多边形的中心、半径，正多边形一边对应的外接圆圆心角就是中心角，圆心到正多边形边的距离就是边心距，直接回忆定义就能完成填空。
【解析】
根据正多边形的相关定义逐一对应：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；
2. 外接圆的半径叫作正多边形的半径；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
4. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
将对应概念依次填入空中即可。
【答案】
中心 半径 中心角 边心距
【知识点】
正多边形的有关概念；正多边形与圆的对应关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对教材基础定义的识记情况，学习过程中要注意准确记忆基础概念，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形与圆相关的基础概念识记，解题时只需结合教材中对正多边形对应名称的定义，将题干描述和概念逐一匹配即可：正多边形和它的外接圆的各要素是一一对应的，外接圆的圆心、半径分别对应正多边形的中心、半径，正多边形一边对应的外接圆圆心角就是中心角，圆心到正多边形边的距离就是边心距，直接回忆定义就能完成填空。
【解析】
根据正多边形的相关定义逐一对应：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；
2. 外接圆的半径叫作正多边形的半径；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
4. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
将对应概念依次填入空中即可。
【答案】
中心 半径 中心角 边心距
【知识点】
正多边形的有关概念；正多边形与圆的对应关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对教材基础定义的识记情况，学习过程中要注意准确记忆基础概念，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
•练习1 下列说法正确的是(
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
).A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
答案
练习1 C
解析
【分析】
解题时首先明确正多边形的判定条件：需同时满足各边相等、各角相等两个要求，再结合圆内接多边形的性质逐一分析选项。首先可直接根据正多边形定义排除仅满足单一条件的A、B选项；再分析圆内接的特殊情况：各边相等的圆内接多边形，由同圆中弦等则弧等，可推出各角也相等，满足正多边形要求；对于D选项可举反例（圆内接非正方形的矩形）排除，即可得出正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各角也相等的多边形，两个条件需同时满足。
选项A：仅满足各边相等，缺少各角相等的条件，例如菱形各边相等但内角不一定全相等，不属于正多边形，故A错误；
选项B：仅满足各角相等，缺少各边相等的条件，例如普通矩形各角均为90°但邻边不一定相等，不属于正多边形，故B错误；
选项C：圆内接多边形的各边都是圆的弦，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此该多边形各边对应的弧长相等，可推出各内角也相等，同时满足正多边形的两个判定条件，故C正确；
选项D：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如圆内接普通矩形，四个角均为90°相等，但邻边不相等，不是正四边形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义、圆内接多边形的性质、同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题考查正多边形的判定与圆的相关性质的结合应用，解题时需注意正多边形的两个判定条件缺一不可，分析圆内接多边形的问题时可结合弦、弧的对应关系推导，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正多边形的判定条件：需同时满足各边相等、各角相等两个要求，再结合圆内接多边形的性质逐一分析选项。首先可直接根据正多边形定义排除仅满足单一条件的A、B选项；再分析圆内接的特殊情况：各边相等的圆内接多边形，由同圆中弦等则弧等，可推出各角也相等，满足正多边形要求；对于D选项可举反例（圆内接非正方形的矩形）排除，即可得出正确答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各角也相等的多边形，两个条件需同时满足。
选项A：仅满足各边相等，缺少各角相等的条件，例如菱形各边相等但内角不一定全相等，不属于正多边形，故A错误；
选项B：仅满足各角相等，缺少各边相等的条件，例如普通矩形各角均为90°但邻边不一定相等，不属于正多边形，故B错误；
选项C：圆内接多边形的各边都是圆的弦，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此该多边形各边对应的弧长相等，可推出各内角也相等，同时满足正多边形的两个判定条件，故C正确；
选项D：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如圆内接普通矩形，四个角均为90°相等，但邻边不相等，不是正四边形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义、圆内接多边形的性质、同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题考查正多边形的判定与圆的相关性质的结合应用，解题时需注意正多边形的两个判定条件缺一不可，分析圆内接多边形的问题时可结合弦、弧的对应关系推导，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
2.正n边形的中心角度数为
$\frac{360°}{n}$
.正多边形半径R、边心距r、边长a之间的关系：$(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
.答案
2. $\frac{360°}{n}$ $(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
解析
【分析】
第一空求正n边形的中心角度数：首先明确正n边形的中心角是每条边所对的外接圆圆心角，所有中心角之和为周角360°，且正n边形的n个中心角完全相等，因此用周角除以边数n即可得到单个中心角的度数。
第二空推导三者的数量关系：我们可以通过作辅助线构造直角三角形：连接正多边形的中心与任意一条边的端点（即半径R），再过中心作这条边的垂线（即边心距r），此时半径R、边心距r、边长的一半$\frac{1}{2}a$恰好构成直角三角形的三边，利用勾股定理即可写出三者的关系式。
【解析】
1. 求正n边形的中心角度数：
正n边形的所有中心角之和为周角$360°$，且每个中心角大小相等，因此单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
2. 推导半径R、边心距r、边长a的关系：
过正多边形的中心作任意一条边的垂线，连接中心与该边的一个端点，得到直角三角形：斜边为正多边形的半径R，两条直角边分别为边心距r和边长的一半$\frac{1}{2}a$，根据勾股定理可得：
$(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
【答案】
$\frac{360°}{n}$；$(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；中心角计算
【点评】
本题考查正多边形相关的基础概念和常用推导模型，解题的关键是理解正多边形和圆的联系，掌握“半径、边心距、半边长构成直角三角形”这一常用模型，为后续正多边形的周长、面积等计算打好基础。
【难度系数】
0.9
第一空求正n边形的中心角度数：首先明确正n边形的中心角是每条边所对的外接圆圆心角，所有中心角之和为周角360°，且正n边形的n个中心角完全相等，因此用周角除以边数n即可得到单个中心角的度数。
第二空推导三者的数量关系：我们可以通过作辅助线构造直角三角形：连接正多边形的中心与任意一条边的端点（即半径R），再过中心作这条边的垂线（即边心距r），此时半径R、边心距r、边长的一半$\frac{1}{2}a$恰好构成直角三角形的三边，利用勾股定理即可写出三者的关系式。
【解析】
1. 求正n边形的中心角度数：
正n边形的所有中心角之和为周角$360°$，且每个中心角大小相等，因此单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。
2. 推导半径R、边心距r、边长a的关系：
过正多边形的中心作任意一条边的垂线，连接中心与该边的一个端点，得到直角三角形：斜边为正多边形的半径R，两条直角边分别为边心距r和边长的一半$\frac{1}{2}a$，根据勾股定理可得：
$(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
【答案】
$\frac{360°}{n}$；$(\frac{1}{2}a)^2 + r^2 = R^2$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；中心角计算
【点评】
本题考查正多边形相关的基础概念和常用推导模型，解题的关键是理解正多边形和圆的联系，掌握“半径、边心距、半边长构成直角三角形”这一常用模型，为后续正多边形的周长、面积等计算打好基础。
【难度系数】
0.9
•练习2 如图，已知正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为4。
(1)求点O到AB的距离；
(2)求正六边形ABCDEF的面积。
解题通法 在正多边形与圆中，有关正多边形的边长、半径、边心距和中心角的计算问题，一般转化为直角三角形的问题，再利用勾股定理计算。其各个量之间的关系如下（半径用R表示，边心距用r表示，边长用a表示）：
(1)$\frac{a^2}{4} + r^2 = R^2$。若已知其中两个量，则可求出第三个量。
(2)周长：$l_{正n边形} = na$。
(3)面积：$S_{正n边形} = \frac{1}{2}lr$。
(1)求点O到AB的距离；
(2)求正六边形ABCDEF的面积。
解题通法 在正多边形与圆中，有关正多边形的边长、半径、边心距和中心角的计算问题，一般转化为直角三角形的问题，再利用勾股定理计算。其各个量之间的关系如下（半径用R表示，边心距用r表示，边长用a表示）：
(1)$\frac{a^2}{4} + r^2 = R^2$。若已知其中两个量，则可求出第三个量。
(2)周长：$l_{正n边形} = na$。
(3)面积：$S_{正n边形} = \frac{1}{2}lr$。
答案
练习2 (1) $2\sqrt{3}$ (2) $24\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1)求点O到AB的距离即求正六边形的边心距。正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，结合外接圆半径相等可得$△ AOB$是等边三角形，得到AB的长度，再过O作AB的垂线，利用垂径定理得到半边长，最后用勾股定理即可求出边心距；
(2)正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先求出单个等边三角形的面积，乘6即可得到正六边形的面积，也可利用正多边形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（l为周长，r为边心距）直接计算。
【解析】
(1) 过点O作$OG⊥ AB$于点G，连接OA、OB。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ 中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ $OA=OB=4$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $AB=OA=4$。
∵ $OG⊥ AB$，由垂径定理得$AG=\frac{1}{2}AB=2$，
在$Rt△ AOG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2 - AG^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
即点O到AB的距离为$2\sqrt{3}$。
(2) 正六边形的周长$l=6× AB=6×4=24$，边心距$r=OG=2\sqrt{3}$，
由正多边形面积公式得$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×24×2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{2\sqrt{3}}$；(2) $\boxed{24\sqrt{3}}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础常考题，解题核心是将正多边形的相关计算转化为直角三角形的求解，熟练掌握正六边形边长等于外接圆半径的特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)求点O到AB的距离即求正六边形的边心距。正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，结合外接圆半径相等可得$△ AOB$是等边三角形，得到AB的长度，再过O作AB的垂线，利用垂径定理得到半边长，最后用勾股定理即可求出边心距；
(2)正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，先求出单个等边三角形的面积，乘6即可得到正六边形的面积，也可利用正多边形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（l为周长，r为边心距）直接计算。
【解析】
(1) 过点O作$OG⊥ AB$于点G，连接OA、OB。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ 中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ $OA=OB=4$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $AB=OA=4$。
∵ $OG⊥ AB$，由垂径定理得$AG=\frac{1}{2}AB=2$，
在$Rt△ AOG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OA^2 - AG^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
即点O到AB的距离为$2\sqrt{3}$。
(2) 正六边形的周长$l=6× AB=6×4=24$，边心距$r=OG=2\sqrt{3}$，
由正多边形面积公式得$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×24×2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{2\sqrt{3}}$；(2) $\boxed{24\sqrt{3}}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础常考题，解题核心是将正多边形的相关计算转化为直角三角形的求解，熟练掌握正六边形边长等于外接圆半径的特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
1.若一个圆内接正多边形的中心角是$60°$,则这个正多边形是(
A.正八边形
B.正七边形
C.正六边形
D.正五边形
C
).A.正八边形
B.正七边形
C.正六边形
D.正五边形
答案
1. C
解析
【分析】
解题前先回忆正多边形中心角的相关性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且同一个正多边形的每个中心角大小相等，因此正多边形的边数n与中心角α的关系为$n=\frac{360°}{α}$。我们只需把题目给出的中心角60°代入公式计算出边数，再对应选项即可得到答案。
【解析】
设该正多边形的边数为n，
∵ 正n边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为360°，
∴ 中心角计算公式为$α=\frac{360°}{n}$，变形得$n=\frac{360°}{α}$，
将题目给出的$α=60°$代入公式得：$n=\frac{360°}{60°}=6$，
因此这个正多边形是正六边形。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形中心角计算
2. 圆内接正多边形性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础常考题型，核心考察正多边形中心角和边数的换算关系，牢记对应公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆正多边形中心角的相关性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且同一个正多边形的每个中心角大小相等，因此正多边形的边数n与中心角α的关系为$n=\frac{360°}{α}$。我们只需把题目给出的中心角60°代入公式计算出边数，再对应选项即可得到答案。
【解析】
设该正多边形的边数为n，
∵ 正n边形的每个中心角相等，且所有中心角的和为360°，
∴ 中心角计算公式为$α=\frac{360°}{n}$，变形得$n=\frac{360°}{α}$，
将题目给出的$α=60°$代入公式得：$n=\frac{360°}{60°}=6$，
因此这个正多边形是正六边形。
【答案】
C
【知识点】
1. 正多边形中心角计算
2. 圆内接正多边形性质
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础常考题型，核心考察正多边形中心角和边数的换算关系，牢记对应公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,⊙O是正五边形的外接圆,则∠ADE的度数为(
A.$30°$
B.$32°$
C.$36°$
D.$40°$
C
).A.$30°$
B.$32°$
C.$36°$
D.$40°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用正五边形的性质，得到其外接圆中5段劣弧的度数相等，结合圆周总度数360°，算出每段劣弧的度数；2. 明确∠ADE是⊙O的圆周角，找到它所对的劣弧，再根据圆周角定理计算角度即可。
【解析】
解：
∵ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴劣弧AB、BC、CD、DE、EA的度数相等
每段劣弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$
∠ADE是⊙O的圆周角，它所对的弧为劣弧AE
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半
可得$∠ ADE=\frac{1}{2}×72°=36°$
故选C
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是掌握正多边形各边对应外接圆的劣弧相等，结合圆周角定理即可快速求出角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先利用正五边形的性质，得到其外接圆中5段劣弧的度数相等，结合圆周总度数360°，算出每段劣弧的度数；2. 明确∠ADE是⊙O的圆周角，找到它所对的劣弧，再根据圆周角定理计算角度即可。
【解析】
解：
∵ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴劣弧AB、BC、CD、DE、EA的度数相等
每段劣弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$
∠ADE是⊙O的圆周角，它所对的弧为劣弧AE
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半
可得$∠ ADE=\frac{1}{2}×72°=36°$
故选C
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是掌握正多边形各边对应外接圆的劣弧相等，结合圆周角定理即可快速求出角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图，正六边形ABCDEF的半径OA=OD=2，则点B关于原点O的对称点的坐标为(
A.$(1,-\sqrt{3})$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},1)$
D.$(\sqrt{3},-1)$
D
).A.$(1,-\sqrt{3})$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},1)$
D.$(\sqrt{3},-1)$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先利用正六边形的性质得到中心角的度数，结合已知的半径长度，通过解直角三角形求出点B的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），即可求出对称点的坐标。
【解析】
连接OB，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴$∠ AOB=60°$，且$OB=OA=2$。
过点B作$BG⊥ y$轴于点G，在$Rt△ BOG$中：
$OG=OB·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$BG=OB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B关于原点O的对称点的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，关于原点对称的点的坐标，解直角三角形
【点评】
本题考查正六边形的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解以及对称点的坐标规律，解题的核心是先准确求出点B的坐标，再利用对称性质推导结果，是正多边形相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正六边形的性质得到中心角的度数，结合已知的半径长度，通过解直角三角形求出点B的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），即可求出对称点的坐标。
【解析】
连接OB，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴$∠ AOB=60°$，且$OB=OA=2$。
过点B作$BG⊥ y$轴于点G，在$Rt△ BOG$中：
$OG=OB·\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$，
$BG=OB·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为$(-\sqrt{3},1)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点B关于原点O的对称点的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，关于原点对称的点的坐标，解直角三角形
【点评】
本题考查正六边形的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解以及对称点的坐标规律，解题的核心是先准确求出点B的坐标，再利用对称性质推导结果，是正多边形相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
