4.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为().

A.$4R=5r$
B.$3R=4r$
C.$2R=3r$
D.$R=2r$

4. D

【分析】
解题时先回忆正三角形的特殊性质：正三角形的内心（内切圆圆心）、外心（外接圆圆心）、重心、垂心重合。我们可以通过构造直角三角形推导R和r的关系：连接外心与正三角形的一个顶点得到外接圆半径R，过外心作该顶点对边的垂线得到内切圆半径r，此时得到含30°角的直角三角形，利用直角三角形30°角的性质即可推出二者的关系。
【解析】
∵正三角形的内心与外心重合，设该点为O，
取正三角形顶点A，连接OA，则OA为外接圆半径，即OA=R，
过O作边BC的垂线，垂足为D，则OD为内切圆半径，即OD=r，
∵正三角形内角为60°，OA平分∠BAC，
∴∠OAD=30°，
在Rt△OAD中，∠ADO=90°，∠OAD=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
OD=½OA，即r=½R，整理得R=2r。
通过分析，选择D。
【答案】
D
【知识点】
正三角形的性质；直角三角形30°角的性质；正多边形与圆
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用正三角形四心重合的特点构造特殊直角三角形，结合30°直角三角形的边角关系推导半径关系，熟练掌握正三角形的特殊性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

5.如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n=。

5. 10

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。再明确正n边形的中心角等于360°除以n，而AB是正n边形的一边，对应的中心角就是∠AOB，因此建立等式即可求出n的值。
【解析】
∵ ∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠AOB = 2∠ACB
已知∠ACB=18°，代入得∠AOB=2×18°=36°
又
∵ AB是⊙O内接正n边形的一边，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，且该中心角即为∠AOB
∴ $\frac{360°}{n}=36°$
解得$n=\frac{360°}{36°}=10$
【答案】
10
【知识点】
圆周角定理；正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础题，核心是将圆周角、圆心角与正多边形的中心角结合起来，熟练掌握相关定理和公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

6.如图，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，P为$\overset{\frown}{AB}$上的一点（点P不与点A，B重合），则$∠ CPE$的度数为。

6. $72°$

【分析】
要求∠CPE的度数，可结合圆周角定理求解，解题思路如下：1. 先根据正五边形内接于圆的性质，求出每条边所对的劣弧的度数；2. 确定∠CPE所对的弧是弧CE，计算出弧CE的总度数；3. 利用圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，计算出∠CPE的度数即可。
【解析】
解：
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴正五边形各边所对的劣弧度数相等，每段劣弧的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$\overset{\frown}{CE}$的度数=$\overset{\frown}{CD}$的度数+$\overset{\frown}{DE}$的度数=$72°+72°=144°$，
∵$∠ CPE$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CE}$，
∴根据圆周角定理，$∠ CPE=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
正多边形和圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握正多边形内接于圆时各段等弧的度数计算方法，结合圆周角定理即可快速求出角度，是正多边形与圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

7.如图，边长为$8\sqrt{2}$的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为().


A.$16-8\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$16+8\sqrt{2}$
D.$16-4\sqrt{2}$

7. A

【分析】
首先明确剪去四个角得到正八边形时，剪去的是四个全等的等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边等于正八边形的边长，正方形的边长等于两个等腰直角三角形的直角边长加正八边形的边长。我们可以设正八边形的边长为$x$，用$x$表示出等腰直角三角形的直角边，再根据正方形边长的等量关系列方程求解，最后对二次根式进行分母有理化得到结果。
【解析】
设正八边形的边长为$ x $，剪去的等腰直角三角形的直角边长为$ a $。
因为正八边形各边相等，所以等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长，由等腰直角三角形的性质可得：
$ \sqrt{2}a = x $，即$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $。
又因为正方形的边长为$ 8\sqrt{2} $，且正方形边长等于2个直角边长加正八边形的边长，因此：
$ 2a + x = 8\sqrt{2} $
将$ a = \frac{x}{\sqrt{2}} $代入上式：
$ 2×\frac{x}{\sqrt{2}} + x = 8\sqrt{2} $
化简得：$ \sqrt{2}x + x = 8\sqrt{2} $
提取公因式$ x $：$ x(\sqrt{2} + 1) = 8\sqrt{2} $
求解$ x $：
$ x = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = 8\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 16 - 8\sqrt{2} $
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质，等腰直角三角形，二次根式化简
【点评】
本题主要考查正多边形和等腰直角三角形的结合应用，解题的关键是找准正方形边长与正八边形边长之间的等量关系列方程，计算过程中要注意二次根式分母有理化的正确运算。
【难度系数】
0.6

8.如图，已知$\odot O$的半径为1 cm，求作$\odot O$的内接正八边形.

解：
作法：
1. 作⊙O的任意一条直径AC；
2. 作直径AC的垂直平分线，交⊙O于B、D两点，此时A、B、C、D四点将⊙O四等分，每段弧对应的圆心角为90°；
3. 分别作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，依次交⊙O于点E、F、G、H；
4. 顺次连接A、E、B、F、C、G、D、H各点，所得八边形即为所求作的⊙O的内接正八边形。

【分析】
要作⊙O的内接正八边形，本质是将⊙O平均分成8等份，正八边形的中心角为360°÷8=45°。我们可以先通过作互相垂直的两条直径，将圆四等分得到90°的圆心角，再平分每个90°的圆心角得到45°的圆心角，即可得到圆的8个等分点，顺次连接各等分点就得到所求的内接正八边形。
【解析】
作法如下：
1. 作⊙O的任意一条直径AC；
2. 作直径AC的垂直平分线，交⊙O于B、D两点，此时A、B、C、D四点将⊙O四等分，每段弧对应的圆心角为90°；
3. 分别作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，依次交⊙O于点E、F、G、H；
4. 顺次连接A、E、B、F、C、G、D、H各点，所得八边形即为所求作的⊙O的内接正八边形。
【答案】
作法：
1. 作⊙O的任意一条直径AC；
2. 作直径AC的垂直平分线，交⊙O于B、D两点，此时A、B、C、D四点将⊙O四等分，每段弧对应的圆心角为90°；
3. 分别作∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOA的角平分线，依次交⊙O于点E、F、G、H；
4. 顺次连接A、E、B、F、C、G、D、H各点，所得八边形即为所求作的⊙O的内接正八边形。
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，角平分线作法
【点评】
本题是正多边形作图的基础题型，核心考查通过等分圆心角来等分圆周的作图思路，只要掌握正多边形中心角的计算方法和基本尺规作图的操作，就能顺利完成解题。
【难度系数】
0.7

9.如图,等边三角形ABC内接于$\odot O$,BD为内接正十二边形的一边,$CD=5\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径.

9. 5

【分析】
解题时首先通过连接圆心与各顶点构造半径，利用正多边形的中心角计算公式分别求出对应弧的圆心角：先算出等边三角形ABC对应的中心角，再算出正十二边形的边BD对应的中心角，两者作差得到∠COD的度数，可判断△COD为等腰直角三角形，最后结合CD的长度用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
解：连接$OB$、$OC$、$OD$，设$\odot O$的半径为$R$。
1. 求相关圆心角：
等边$△ ABC$内接于$\odot O$，其对应的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$；
$BD$是内接正十二边形的一边，其对应的中心角$∠ BOD=\frac{360°}{12}=30°$；
因此$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
2. 利用勾股定理求半径：
因为$OC=OD=R$，$∠ COD=90°$，故$△ COD$为等腰直角三角形，根据勾股定理可得：
$OC^2+OD^2=CD^2$，代入$CD=5\sqrt{2}$得：
$R^2+R^2=(5\sqrt{2})^2$
$2R^2=50$
$R^2=25$，由于半径为正数，因此$R=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，勾股定理
【点评】
本题核心是利用正多边形的中心角性质构造特殊三角形，解题的关键是准确求出$∠ COD$的度数，判断出三角形的形状，属于对基础知识点的综合考察。
【难度系数】
0.7

10.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明,是现在所用的指南针的始祖,如图1所示.如图2,司南中心为一圆形,圆心为点O,直径为20,根据八个方位将圆形八等分(点A~H),过点E作$\odot O$的切线与AG的延长线交于点M,连接EG.

(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为;
(2)求AG的长;
(3)求ME的长.

10. (1) $45°$ (2) $10\sqrt{2}$ (3) 20

【分析】
(1) 周角为360°，将圆八等分，相邻两个方位的圆心角等于周角除以等分数8，直接计算即可得到结果。
(2) 先由圆的直径求出半径OA、OG的长度，再根据八等分得到∠AOG的度数为90°，可知△AOG为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出AG的长度。
(3) 先根据切线的性质得到OE与ME垂直，再结合方位角判断出△AEM为等腰直角三角形，结合AE为直径的长度即可求出ME的长。
【解析】
(1) 圆周角为360°，圆形被八等分，所以相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为$360° ÷ 8 = 45°$。
(2) 已知$\odot O$的直径为20，所以半径$OA = OG = 20 ÷ 2 = 10$。
由八等分可知，$∠ AOG = 2 × 45° = 90°$，即$△ AOG$是等腰直角三角形。
根据勾股定理：
$AG = \sqrt{OA^2 + OG^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$。
(3) 因为ME是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以$OE ⊥ ME$。
由八个方位的分布可知，AE为$\odot O$的直径，长度为20，且直线AG与水平方向的夹角为45°，故$∠ M = 45°$，又$∠ AEM = 90°$，因此$△ AEM$为等腰直角三角形，所以$ME = AE = 20$。
【答案】
(1) $45°$ (2) $10\sqrt{2}$ (3) $20$
【知识点】
正多边形与圆；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题以我国古代司南为背景，考查了正多边形与圆的相关计算，贴合生活实际，要求学生能够熟练运用圆心角、切线性质、勾股定理等知识解决几何计算问题，同时锻炼了学生的几何直观和知识应用能力。
【难度系数】
0.65