8.如图3-3-25,在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A,D重合),射线BE与射线CD交于点F.
(1)若$ED=\frac{1}{3}$,求DF的长;
(2)求证:$AE· CF=1$;
(3)以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段BE于点G.若$EG=ED$,求ED的长.

8.(1) 解:由题意知 $AB=BC=CD=DA=1$,
若 $ED=\frac{1}{3}$,则 $AE=AD-ED=\frac{2}{3}$.
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore∠ A=∠ FDE=90°$.
又$\because∠ AEB=∠ DEF$,
$\therefore△ AEB∽△ DEF$.
$\therefore\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DE}$,即$\frac{1}{DF}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}$,即 $DF=\frac{1}{2}$.
(2) 证明:$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,
$\therefore∠ A=∠ BCD=90°,AB// CD$.
$\therefore∠ ABE=∠ F$.
$\therefore△ ABE∽△ CFB.\therefore\frac{AB}{CF}=\frac{AE}{CB}$.
$\therefore AE· CF=AB· CB=1×1=1$.
(3) 解:设 $EG=ED=x$,则 $AE=AD-ED=1-x$,$BE=BG+EG=BC+EG=1+x$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AB^2+AE^2=BE^2$,
即 $1^2+(1-x)^2=(1+x)^2$,
解得 $x=\frac{1}{4}$,$\therefore ED=\frac{1}{4}$.

9.如图3-3-26,在$△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$OA=12\ \mathrm{cm}$,$AB=6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$O$开始沿$OA$边向点$A$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BO$边向点$O$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,如果点$P,Q$同时出发,用$x$(单位:s)表示时间($0≤ x≤6$),那么:
(1)点$Q$运动多少秒时,$△ OPQ$的面积为$5\ \mathrm{cm}^2$?
(2)当$x$为何值时,以$P,O,Q$为顶点的三角形与$△ AOB$相似?

图3-3-26

9. 解:(1)$\because∠ AOB=90°$,
$\therefore BO^2=AB^2-AO^2$,解得 $BO=6\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ OPQ$ 中,$OQ=(6-x)\ \mathrm{cm}$,$OP=2x\ \mathrm{cm}$.
$\because△ OPQ$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,
$\therefore\frac{1}{2}OQ· OP=5$,
即 $\frac{1}{2}(6-x)· 2x=5$,
解得 $x_1=1$,$x_2=5$.
(2) 当$△ OPQ∽△ OAB$ 时,$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{OB}$,
即 $\frac{2x}{12}=\frac{6-x}{6}$,解得 $x=3$;
当$△ OPQ∽△ OBA$ 时,$\frac{OP}{OB}=\frac{OQ}{OA}$,
即 $\frac{2x}{6}=\frac{6-x}{12}$,解得 $x=\frac{6}{5}$.
综上所述,当 $x=3$ 或 $\frac{6}{5}$时,以 $P,O,Q$为顶点的三角形与$△ AOB$ 相似.