8.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是().

A.8
B.6
C.4
D.2

8. C

【分析】
解题时先从已知条件入手：①由AB//CD、AD⊥AB，可推出AD⊥CD，得到PA垂直AB、PD垂直CD；②看到BP、CP是角平分线，联想到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此过点P作BC的垂线，即可将点P到BC的距离和PA、PD的长度关联起来，最后结合AD的长度即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，P在BP上，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，CP平分∠DCB，P在CP上，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE。
∴PA=PD=PE。
又
∵AD=PA+PD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离为4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础的几何综合题，核心是灵活运用角平分线的性质，通过作辅助线构造垂线段，建立已知线段和所求距离的等量关系，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 如图,AB,CD相交于点O,AO=OB,观察图形,只需补充一个条件,可得到△AOC≌△BOD.

(第9题图)

(第10题图)

(第12题图)

9. OC=OD(答案不唯一)

【分析】
解题时首先梳理题干给出的已知条件：①AB与CD交于点O，可得对顶角∠AOC=∠BOD；②已知AO=OB。此时已经具备一组对应边相等、一组对应角相等的条件，结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），只需补充对应缺失的条件即可证明两个三角形全等：若用SAS判定，需补充夹相等角的另一组边相等，即OC=OD；若用ASA判定，可补充∠A=∠B；若用AAS判定，可补充∠C=∠D，任选其一即可。
【解析】
已知AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，可得∠AOC=∠BOD，又已知AO=OB。
若补充条件OC=OD：
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l} AO=BO(已知)\\ ∠ AOC=∠ BOD(对顶角相等)\\ OC=OD(补充条件)\end{array} $
∴△AOC≌△BOD（SAS）
注：也可补充∠A=∠B（用ASA判定）或∠C=∠D（用AAS判定），答案不唯一。
【答案】
OC=OD(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题为开放性填空题目，核心考查全等三角形判定定理的灵活运用，解题时先明确已知的边角条件，再对应判定定理补充缺失的条件即可，解题思路较为多元。
【难度系数】
0.8

10.如图，$△ ABC ≌ △ A'BC'$，过点$C$作$CD ⊥ BC'$，垂足为$D$，若$∠ ABA' = 55°$，则$∠ BCD$的度数为________。

35°

【分析】
解题时先利用全等三角形的对应角相等的性质，找到相等的角，通过角的和差关系推导出∠CBC'的度数，再结合CD⊥BC'得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠BCD的度数。具体思考步骤：①回忆全等三角形性质，对应角相等，因此∠ABC=∠A'BC'；②两个相等的角同时减去公共角∠A'BC，可得∠ABA'=∠CBC'，即可得到∠CBC'的度数；③已知CD垂直BC'，故△BCD为直角三角形，两个锐角和为90°，代入∠CBC'的度数就能算出∠BCD。
【解析】
∵ △ABC ≌ △A'BC'，
∴ ∠ABC = ∠A'BC'，
∴ ∠ABC - ∠A'BC = ∠A'BC' - ∠A'BC，即∠ABA' = ∠CBC'，
∵ ∠ABA' = 55°，
∴ ∠CBC' = 55°，
又
∵ CD ⊥ BC'，
∴ ∠CDB = 90°，
在Rt△BCD中，∠BCD + ∠CBC' = 90°，
∴ ∠BCD = 90° - 55° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是通过全等三角形的性质转化角的度数，再结合直角三角形的性质求解，熟练掌握基础几何性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

11.在平面直角坐标系的x轴、y轴上分别截取$OA=OB$，再分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为$(a,2)$，则a的值是。

11. 2或-2

【分析】
首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，题目中“在x、y轴上截取OA=OB，再分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧交于P”的操作，本质是作∠AOB的角平分线，因此点P在∠AOB的角平分线上。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，本题中∠AOB的两边是x轴和y轴，因此点P到x轴、y轴的距离相等，也就是点P的横坐标、纵坐标的绝对值相等，据此列式求解即可，注意要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：由题中的作图步骤可知，点P在∠AOB的角平分线上，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
因此点$P(a,2)$到x轴、y轴的距离相等，即横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，
可得：$|a| = |2|$，
解得$a=2$或$a=-2$。
【答案】
2或-2
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；点到坐标轴的距离
【点评】
本题将尺规作图与角平分线的性质结合考查，解题的关键是识别出作图的本质是作角平分线，解题时要注意考虑横纵坐标相等和互为相反数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12.如图，AB//CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=1，则AB与CD之间距离的值为。

12. 2

【分析】
要计算两条平行线AB与CD之间的距离，需先找到二者的公垂线段长度。我们可以过点O作AB的垂线，交AB于M、交CD于N，由AB//CD可知MN垂直CD，MN就是AB与CD的公垂线段，其长度即为所求距离。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，分别求出OM和ON的长度，相加即可得到MN的长度。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N。
∵AB//CD，
∴OM、ON在同一条直线上，线段MN的长度就是AB与CD之间的距离。
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，
根据角平分线的性质，可得OM=OE=1。
同理，CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
可得ON=OE=1。
∴AB与CD之间的距离MN=OM+ON=1+1=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离；平行线的性质
【点评】
本题解题的关键是通过作辅助线将平行线间的距离转化为两条垂线段的和，再结合角平分线的性质求解，是几何中角平分线性质和平行线性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分7分)利用直尺和圆规作图:保留作图痕迹,不写作法.
如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与两条铁路分别交于A处和B处,试在河道AB(线段)上修一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,作出M在图中的位置.

13. 解 如图，作∠AOB的平分线交AB于点M，M处即为水厂的位置。

【分析】
要找到河道AB上到铁路OA、OB距离相等的点M，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点M一定在∠AOB的角平分线上；又因为M需要在AB线段上，因此只需作出∠AOB的角平分线，角平分线与AB的交点就是所求的水厂位置M。
【解析】
1. 以O为圆心，任意合适长度为半径画弧，分别与OA、OB交于两个交点；
2. 分别以上述两个交点为圆心，取大于两个交点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于一点；
3. 过点O和上述交点作射线，该射线与线段AB的交点即为所求的点M。
【答案】
如图，作∠AOB的平分线交AB于点M，M处即为水厂的位置。
【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础应用类作图题，核心考查角平分线性质的实际运用，解题关键是能将“到角两边距离相等”的条件转化为寻找角平分线上的点，再结合点需在AB上的位置限制，确定两者交点即为所求，对学生的几何性质转化能力和基础作图能力有一定考查。
【难度系数】
0.8