14.(本小题满分10分)如图，AD=EB，∠BDC=∠BCD，AD//BC，求证AB=EC.

证明
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBE。
∵∠BDC=∠BCD，
∴BC=BD。
∵在△ABD和△ECB中，$\begin{cases} AD=EB, \\ ∠ADB=∠EBC, \\ BD=CB, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECB(SAS)，
∴AB=EC。

【分析】
要证明AB=EC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知AB属于△ABD，EC属于△ECB，因此只需证明△ABD≌△ECB即可。接下来逐步推导全等所需条件：①已知AD=EB，得到一组对应边相等；②由AD//BC，根据平行线内错角相等可得∠ADB=∠EBC，得到一组对应角相等；③由∠BDC=∠BCD，根据等角对等边可得BD=BC，得到第二组对应边相等。此时两个三角形满足两边及夹角对应相等，符合SAS全等判定条件，证明全等后即可推出对应边AB=EC。
【解析】
证明：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBE。
∵∠BDC=∠BCD，
∴BC=BD。
在△ABD和△ECB中，
$\begin{cases} AD=EB, \\ ∠ADB=∠EBC, \\ BD=CB, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECB(SAS)，
∴AB=EC。
【答案】
AB=EC
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察通过三角形全等证明线段相等的思路，解题时需要结合已知条件逐步推导全等所需的边角条件，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

15.(本小题满分10分)数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务,第1小组的同学们想到了以下方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,测得C,D之间的距离为6 cm,于是得出锥形瓶内部底面的内径是6 cm.试说明此方案的数学依据.

解 由题意，得AO=DO，BO=CO。
∵∠AOB与∠DOC是对顶角，
∴∠AOB=∠DOC。
∵在△AOB和△DOC中，$\begin{cases} OA=OD, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ OB=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(SAS)。
∴AB=CD=6 cm。
即锥形瓶内部底面的内径是6 cm。

【分析】
要说明该方案的合理性，首先从已知条件入手：已知O是AD、BC的中点，因此可得OA=OD，OB=OC；再观察△AOB和△DOC，二者存在一组相等的对顶角∠AOB和∠DOC，满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，可证明两个三角形全等；最后根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到AB=CD，因此测量CD的长度就能得到内径AB的长度。
【解析】
由题意，得O是AD、BC的中点，因此AO=DO，BO=CO。
∵∠AOB与∠DOC是对顶角，
∴∠AOB=∠DOC。
∵在△AOB和△DOC中，
$\begin{cases} OA=OD, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ OB=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(SAS)。
∴AB=CD=6 cm。
即锥形瓶内部底面的内径是6 cm。
【答案】
该方案的数学依据是两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，因此锥形瓶内部底面的内径为6cm。
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，可将难以直接测量的长度转化为易测量的长度，解题关键是准确找到三角形全等的条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可解决此类问题。
【难度系数】
0.8

16. (本小题满分 12 分)如图,在$△ ABC$中,O为BC的中点,M为AB上一点,连接OM,过点O作$ON⊥OM$交AC于点N,连接MN,试说明$BM+CN＞MN$.

解 如图，延长NO至点P，使OP=NO，连接MP，BP。
∵O为BC的中点，
∴BO=CO。
在△BOP和△CON中，
$\begin{cases} OP=ON, \\ ∠BOP=∠CON, \\ BO=CO, \end{cases}$
∴△BOP≌△CON(SAS)，
∴PB=CN。
∵ON⊥OM，
∴∠MOP=∠MON=90°。
在△MOP和△MON中，$\begin{cases} OM=OM, \\ ∠MOP=∠MON, \\ OP=ON, \end{cases}$
∴△MOP≌△MON(SAS)，
∴MP=MN。
∵BM+BP＞MP，
∴BM+CN＞MN。

【分析】
要证明$BM+CN＞MN$，需用到三角形三边关系“两边之和大于第三边”，但三条线段目前分散在不同图形中，因此要通过构造辅助线将三条线段转化到同一个三角形中。已知O是BC中点，可采用倍长线段的方法构造全等三角形：延长NO到P使$OP=NO$，先证$△ BOP$和$△ CON$全等，将CN转化为BP；再利用$OM⊥ON$的条件证$△ MOP$和$△ MON$全等，将MN转化为MP，此时BM、BP、MP恰好是$△ BMP$的三边，即可利用三边关系证明结论。
【解析】
解：如图，延长NO至点P，使$OP=NO$，连接MP，BP。
∵O为BC的中点，
∴$BO=CO$。
在$△ BOP$和$△ CON$中，
$\begin{cases} OP=ON, \\ ∠BOP=∠CON, \\ BO=CO, \end{cases}$
∴$△ BOP≌△ CON(\mathrm{SAS})$，
∴$PB=CN$。
∵$ON⊥OM$，
∴$∠MOP=∠MON=90°$。
在$△ MOP$和$△ MON$中，
$\begin{cases} OM=OM, \\ ∠MOP=∠MON, \\ OP=ON, \end{cases}$
∴$△ MOP≌△ MON(\mathrm{SAS})$，
∴$MP=MN$。
∵在$△ BMP$中，$BM+BP＞MP$（三角形两边之和大于第三边），
将BP替换为CN，MP替换为MN，
∴$BM+CN＞MN$。
【答案】
如图，延长NO至点P，使$OP=NO$，连接MP，BP。
∵O为BC的中点，
∴$BO=CO$。
在$△ BOP$和$△ CON$中，
$\begin{cases} OP=ON, \\ ∠BOP=∠CON, \\ BO=CO, \end{cases}$
∴$△ BOP≌△ CON(\mathrm{SAS})$，
∴$PB=CN$。
∵$ON⊥OM$，
∴$∠MOP=∠MON=90°$。
在$△ MOP$和$△ MON$中，$\begin{cases} OM=OM, \\ ∠MOP=∠MON, \\ OP=ON, \end{cases}$
∴$△ MOP≌△ MON(\mathrm{SAS})$，
∴$MP=MN$。
∵$BM+BP＞MP$，
∴$BM+CN＞MN$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 垂直的定义
【点评】
本题是典型的几何不等式证明题，核心解题思路是通过构造全等三角形将分散的待证线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系推导结论，解题的关键是根据中点条件合理选择倍长线段的辅助线作法。
【难度系数】
0.65