17.(本小题满分12分)【情境再现】
甲、乙两个含$45°$角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一定角度到图②位置.小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接AG，BH，AO，如图③所示，AB交HO于点E，AC交OG于点F，$△ OBE ≌ △ OAF$.

求证$AG=BH$.
【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系.

【情境再现】
证明 由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE=AF，OE=OF，∠BEO=∠AFO，
∴∠BEH=∠AFG。
∵OH=OG，
∴OH-OE=OG-OF，即EH=GF。
∵在△BHE和△AGF中，$\begin{cases} BE=AF, \\ ∠BEH=∠AFG, \\ EH=FG, \end{cases}$
∴△BHE≌△AGF(SAS)，
∴BH=AG。
【迁移应用】
解 猜想：DG⊥BH。
证明：由【情境再现】知，△BHE≌△AGF，
∴∠BHE=∠AGF。
∵∠HOG=90°，
∴∠AGF+∠GPO=90°，
∴∠BHE+∠GPO=90°。
∵∠GPO=∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD=90°，
∴∠HDP=90°，
∴DG⊥BH。

【分析】
要证明AG=BH，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知△OBE≌△OAF，可得对应边、对应角相等，再结合含45°直角三角尺的性质得OH=OG，进而推出EH=FG，即可利用SAS证明△BHE≌△AGF，得到AG=BH。迁移应用中猜想DG与BH垂直，可利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等，推导∠HDP=90°即可证明垂直关系。
【解析】
【情境再现】证明：
由已知得△OBE≌△OAF，根据全等三角形的性质：
$BE=AF$，$OE=OF$，$∠BEO=∠AFO$，
∴$180°-∠BEO=180°-∠AFO$，即$∠BEH=∠AFG$。
∵甲是含45°角的直角三角尺，O为直角顶点，
∴$OH=OG$，
∴$OH-OE=OG-OF$，即$EH=GF$。
在$△ BHE$和$△ AGF$中：
$\begin{cases} BE=AF \\ ∠BEH=∠AFG \\ EH=FG \end{cases}$
∴$△ BHE≌△ AGF$（SAS），
∴$BH=AG$。
【迁移应用】
猜想：$DG⊥BH$，证明如下：
由【情境再现】得$△ BHE≌△ AGF$，
∴$∠BHE=∠AGF$。
∵$∠HOG=90°$，在$△ OPG$中，$∠AGF+∠GPO=90°$，
∴$∠BHE+∠GPO=90°$。
又
∵$∠GPO$和$∠HPD$是对顶角，
∴$∠GPO=∠HPD$，
代入得$∠BHE+∠HPD=90°$，
在$△ HPD$中，$∠HDP=180°-(∠BHE+∠HPD)=90°$，
∴$DG⊥BH$。
【答案】
【情境再现】$AG=BH$，证明成立；【迁移应用】$DG⊥BH$，证明成立。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 直角三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题以三角尺旋转为情境考查几何推理能力，解题核心是灵活运用全等三角形的性质推导边、角的等量关系，结合直角、对顶角的性质完成垂直的证明，能有效训练全等相关的几何证明思路。
【难度系数】
0.7

18.(本小题满分13分)如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$的延长线上,$∠ ACB=108°$,$BE$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,过点$E$作$EH⊥ BD$,垂足为$H$,$∠ CEH=54°$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)请判断$AE$是否平分$∠ CAF$,并说明理由;
(3)若$AC+CD=10$,$AB=6$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.

解 (1)
∵∠ACB=108°，
∴∠ACD=180°-108°=72°。
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°。
∵∠CEH=54°，
∴∠ECH=90°-54°=36°，
∴∠ACE=72°-36°=36°。
(2)AE平分∠CAF，理由：
如图，过点E分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH。
∵由(1)知∠ACE=∠ECH=36°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF。
(3)
∵AC+CD=10，S△ACD=15，且由(2)知EM=EN=EH，
∴$S_{△ACD} = S_{△ACE} + S_{△CED} = \frac{1}{2} AC · EN + \frac{1}{2}CD · EH = \frac{1}{2}(AC+CD) · EM =15$，
即$\frac{1}{2}×10·EM=15$，解得EM=3。
∵AB=6，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EM=\frac{1}{2}×6×3=9$。

【分析】
(1) 求∠ACE的度数时，先利用邻补角的定义由已知∠ACB的度数求出∠ACD的度数；再结合EH⊥BD的条件，利用直角三角形两锐角互余求出∠ECH的度数，最后用∠ACD减去∠ECH即可得到结果。
(2) 判断AE是否平分∠CAF，可依据角平分线的判定定理，证明点E到∠CAF两边的距离相等：过E作EM⊥BF、EN⊥AC，先利用BE是角平分线得到EM=EH，再结合(1)的结论推出CE是∠ACD的平分线，得到EN=EH，进而得到EM=EN，即可证明结论。
(3) 求△ABE的面积时，已知AB的长度，只需算出AB边上的高EM即可。将△ACD的面积拆分为△ACE和△CED的面积和，结合EM=EN=EH的结论，代入已知的AC+CD和S△ACD的值求出EM，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵∠ACB=108°，
∴∠ACD=180°-108°=72°。
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°。
∵∠CEH=54°，
∴∠ECH=90°-54°=36°，
∴∠ACE=72°-36°=36°。
(2) AE平分∠CAF，理由：
如图，过点E分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH。
∵由(1)知∠ACE=∠ECH=36°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF。
(3)
∵AC+CD=10，S△ACD=15，且由(2)知EM=EN=EH，
∴$S_{△ACD} = S_{△ACE} + S_{△CED} = \frac{1}{2} AC · EN + \frac{1}{2}CD · EH = \frac{1}{2}(AC+CD) · EM =15$，
即$\frac{1}{2}×10·EM=15$，解得EM=3。
∵AB=6，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EM=\frac{1}{2}×6×3=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACE=36°}$；
(2) AE平分∠CAF，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{S_{△ABE}=9}$。
【知识点】
1. 角平分线的性质与判定
2. 三角形面积计算
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，围绕角平分线的性质和判定展开，需要掌握构造辅助线证明角平分线的方法，同时考查了拆分三角形面积求解未知线段的思路，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6