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23. (11分)(2025·重庆)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况. 如图21,A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台,某一时刻,观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处,乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视,D位于C的正西方向上,B位于C的北偏西30°方向上.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24,\sqrt{7}\approx2.65$)
(1)求BD的长度.(结果保留小数点后一位)
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视,乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时,它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时,两无人机可以开始相互接收到信号?(结果保留小数点后一位)
(1)求BD的长度.(结果保留小数点后一位)
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视,乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时,它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时,两无人机可以开始相互接收到信号?(结果保留小数点后一位)
答案
解：(1) 以点A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得：$A(0,0)$，$B(10, 0)$。
∵ 点D在A的南偏西$30°$方向20千米处，
∴ D的横坐标为 $-20·\sin30°=-10$，纵坐标为 $-20·\cos30°=-10\sqrt{3}$，即$D(-10, -10\sqrt{3})$。
由两点间距离公式得：
$BD = \sqrt{(10 - (-10))^2 + (0 - (-10\sqrt{3}))^2} = \sqrt{400+300} = 10\sqrt{7} \approx 10×2.65 = 26.5$
∴ BD的长度约为26.5千米。
(2) ∵ D位于C的正西方向，
∴ 点C的纵坐标与点D的纵坐标相同，设$C(x, -10\sqrt{3})$。
∵ B位于C的北偏西$30°$方向，
∴ $\tan30° = \frac{x - 10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$x=20$，即$C(20, -10\sqrt{3})$。
∴ $BC=\sqrt{(20-10)^2 + (-10\sqrt{3} - 0)^2} = 20\ \mathrm{km}$，$DC=20 - (-10)=30\ \mathrm{km}$。
设甲无人机飞离B处$x$千米，甲速度为$v$，则飞行时间$t=\frac{x}{v}$，乙无人机飞行的距离为$2v· t=2x$千米。
可得甲的坐标为$(10 + 0.5x, -\frac{\sqrt{3}}{2}x)$，乙的坐标为$(-10 + 2x, -10\sqrt{3})$。
由两无人机相距20千米，得：
$[(10 + 0.5x) - (-10 + 2x)]^2 + [-\frac{\sqrt{3}}{2}x - (-10\sqrt{3})]^2 = 20^2$
化简得：
$(20 - 1.5x)^2 + (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 = 400$
展开整理得：$x^2 - 30x + 100 = 0$，
解得：$x_1=15 - 5\sqrt{5} \approx 15 - 5×2.24 = 3.8$，$x_2=15 + 5\sqrt{5} \approx 26.2$。
∵ $2x ≤ 30$，即$x ≤ 15$，∴ $x_2$舍去。
答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
由题意得：$A(0,0)$，$B(10, 0)$。
∵ 点D在A的南偏西$30°$方向20千米处，
∴ D的横坐标为 $-20·\sin30°=-10$，纵坐标为 $-20·\cos30°=-10\sqrt{3}$，即$D(-10, -10\sqrt{3})$。
由两点间距离公式得：
$BD = \sqrt{(10 - (-10))^2 + (0 - (-10\sqrt{3}))^2} = \sqrt{400+300} = 10\sqrt{7} \approx 10×2.65 = 26.5$
∴ BD的长度约为26.5千米。
(2) ∵ D位于C的正西方向，
∴ 点C的纵坐标与点D的纵坐标相同，设$C(x, -10\sqrt{3})$。
∵ B位于C的北偏西$30°$方向，
∴ $\tan30° = \frac{x - 10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$x=20$，即$C(20, -10\sqrt{3})$。
∴ $BC=\sqrt{(20-10)^2 + (-10\sqrt{3} - 0)^2} = 20\ \mathrm{km}$，$DC=20 - (-10)=30\ \mathrm{km}$。
设甲无人机飞离B处$x$千米，甲速度为$v$，则飞行时间$t=\frac{x}{v}$，乙无人机飞行的距离为$2v· t=2x$千米。
可得甲的坐标为$(10 + 0.5x, -\frac{\sqrt{3}}{2}x)$，乙的坐标为$(-10 + 2x, -10\sqrt{3})$。
由两无人机相距20千米，得：
$[(10 + 0.5x) - (-10 + 2x)]^2 + [-\frac{\sqrt{3}}{2}x - (-10\sqrt{3})]^2 = 20^2$
化简得：
$(20 - 1.5x)^2 + (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 = 400$
展开整理得：$x^2 - 30x + 100 = 0$，
解得：$x_1=15 - 5\sqrt{5} \approx 15 - 5×2.24 = 3.8$，$x_2=15 + 5\sqrt{5} \approx 26.2$。
∵ $2x ≤ 30$，即$x ≤ 15$，∴ $x_2$舍去。
答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
解析
【分析】
(1) 求解BD长度时，可通过建立平面直角坐标系将方位信息转化为点的坐标来计算。先以点A为原点，正东为x轴正方向、正北为y轴正方向建立坐标系，先确定A、B的坐标，再根据D在A的南偏西30°方向20km的条件求出D的坐标，最后代入两点间距离公式即可求出BD的长度。
(2) 求解甲无人机飞离B处的距离时，首先要确定点C的坐标：由于D在C的正西方向，可知C与D纵坐标相同，再结合B在C北偏西30°的条件求出C的坐标，进而得到BC、DC的长度。设甲飞离B处x km，由乙速度是甲的2倍可知乙飞行距离为2x km，分别表示出此时甲、乙的坐标，根据两机相距20km列一元二次方程求解，最后结合乙的最大飞行距离（DC=30km，故2x≤30即x≤15）舍去不符合实际的根，得到结果。
【解析】
(1) 以点A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得$A(0,0)$，$B(10, 0)$。
∵ 点D在A的南偏西$30°$方向20千米处，
∴ D的横坐标为$-20·\sin30°=-10$，纵坐标为$-20·\cos30°=-10\sqrt{3}$，即$D(-10, -10\sqrt{3})$。
由两点间距离公式得：
$BD = \sqrt{(10 - (-10))^2 + (0 - (-10\sqrt{3}))^2} = \sqrt{400+300} = 10\sqrt{7} \approx 10×2.65 = 26.5$（千米）。
(2)
∵ D位于C的正西方向，
∴ 点C的纵坐标与点D的纵坐标相同，设$C(x, -10\sqrt{3})$。
∵ B位于C的北偏西$30°$方向，
∴ $\tan30° = \frac{x - 10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$x=20$，即$C(20, -10\sqrt{3})$。
∴ $BC=\sqrt{(20-10)^2 + (-10\sqrt{3} - 0)^2} = 20\ \mathrm{km}$，$DC=20 - (-10)=30\ \mathrm{km}$。
设甲无人机飞离B处$x$千米，甲的速度为$v$，则飞行时间$t=\frac{x}{v}$，乙无人机飞行的距离为$2v· t=2x$千米。
此时甲的坐标为$(10 + 0.5x, -\frac{\sqrt{3}}{2}x)$，乙的坐标为$(-10 + 2x, -10\sqrt{3})$。
由两无人机相距20千米，得：
$[(10 + 0.5x) - (-10 + 2x)]^2 + [-\frac{\sqrt{3}}{2}x - (-10\sqrt{3})]^2 = 20^2$
化简得：$(20 - 1.5x)^2 + (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 = 400$
展开整理得：$x^2 - 30x + 100 = 0$
解得：$x_1=15 - 5\sqrt{5} \approx 15 - 5×2.24 = 3.8$，$x_2=15 + 5\sqrt{5} \approx 26.2$。
∵ 乙最多飞行DC的长度30km，即$2x ≤ 30$，$x ≤ 15$，
∴ $x_2$舍去。
【答案】
(1) BD的长度约为26.5千米；
(2) 甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 两点间距离公式
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题以森林防火的实际场景为载体，综合考查了方位角识别、平面直角坐标系的应用、一元二次方程的求解等知识，注重对学生将实际问题转化为数学模型能力的考查，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.6
(1) 求解BD长度时，可通过建立平面直角坐标系将方位信息转化为点的坐标来计算。先以点A为原点，正东为x轴正方向、正北为y轴正方向建立坐标系，先确定A、B的坐标，再根据D在A的南偏西30°方向20km的条件求出D的坐标，最后代入两点间距离公式即可求出BD的长度。
(2) 求解甲无人机飞离B处的距离时，首先要确定点C的坐标：由于D在C的正西方向，可知C与D纵坐标相同，再结合B在C北偏西30°的条件求出C的坐标，进而得到BC、DC的长度。设甲飞离B处x km，由乙速度是甲的2倍可知乙飞行距离为2x km，分别表示出此时甲、乙的坐标，根据两机相距20km列一元二次方程求解，最后结合乙的最大飞行距离（DC=30km，故2x≤30即x≤15）舍去不符合实际的根，得到结果。
【解析】
(1) 以点A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得$A(0,0)$，$B(10, 0)$。
∵ 点D在A的南偏西$30°$方向20千米处，
∴ D的横坐标为$-20·\sin30°=-10$，纵坐标为$-20·\cos30°=-10\sqrt{3}$，即$D(-10, -10\sqrt{3})$。
由两点间距离公式得：
$BD = \sqrt{(10 - (-10))^2 + (0 - (-10\sqrt{3}))^2} = \sqrt{400+300} = 10\sqrt{7} \approx 10×2.65 = 26.5$（千米）。
(2)
∵ D位于C的正西方向，
∴ 点C的纵坐标与点D的纵坐标相同，设$C(x, -10\sqrt{3})$。
∵ B位于C的北偏西$30°$方向，
∴ $\tan30° = \frac{x - 10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$x=20$，即$C(20, -10\sqrt{3})$。
∴ $BC=\sqrt{(20-10)^2 + (-10\sqrt{3} - 0)^2} = 20\ \mathrm{km}$，$DC=20 - (-10)=30\ \mathrm{km}$。
设甲无人机飞离B处$x$千米，甲的速度为$v$，则飞行时间$t=\frac{x}{v}$，乙无人机飞行的距离为$2v· t=2x$千米。
此时甲的坐标为$(10 + 0.5x, -\frac{\sqrt{3}}{2}x)$，乙的坐标为$(-10 + 2x, -10\sqrt{3})$。
由两无人机相距20千米，得：
$[(10 + 0.5x) - (-10 + 2x)]^2 + [-\frac{\sqrt{3}}{2}x - (-10\sqrt{3})]^2 = 20^2$
化简得：$(20 - 1.5x)^2 + (10\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 = 400$
展开整理得：$x^2 - 30x + 100 = 0$
解得：$x_1=15 - 5\sqrt{5} \approx 15 - 5×2.24 = 3.8$，$x_2=15 + 5\sqrt{5} \approx 26.2$。
∵ 乙最多飞行DC的长度30km，即$2x ≤ 30$，$x ≤ 15$，
∴ $x_2$舍去。
【答案】
(1) BD的长度约为26.5千米；
(2) 甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
【知识点】
1. 方位角的应用
2. 两点间距离公式
3. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题以森林防火的实际场景为载体，综合考查了方位角识别、平面直角坐标系的应用、一元二次方程的求解等知识，注重对学生将实际问题转化为数学模型能力的考查，解题时需注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.6
