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20. (9分)如图18,点C在以AB为直径的⊙O上,过点C作⊙O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径.
答案
(1) 证明：
连接OC，
∵ 直线l是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥l。
∵ AD⊥l，
∴ AD//OC，
∴ ∠DAC = ∠OCA。
又∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OAC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
又∵ AD⊥l，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ACB。
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}∠ADC = ∠ACB \\∠DAC = ∠CAB\end{cases}$
∴ △ABC∽△ACD。
---
(2) 解：
在Rt△ACD中，AC=5，CD=4，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
∵ △ABC∽△ACD，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$，
代入数值：$5^2 = 3 · AB$，
解得 $AB = \frac{25}{3}$，
∴ ⊙O的半径为 $\frac{1}{2}AB = \frac{25}{6}$。
答：⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。
连接OC，
∵ 直线l是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥l。
∵ AD⊥l，
∴ AD//OC，
∴ ∠DAC = ∠OCA。
又∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OAC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
又∵ AD⊥l，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ACB。
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}∠ADC = ∠ACB \\∠DAC = ∠CAB\end{cases}$
∴ △ABC∽△ACD。
---
(2) 解：
在Rt△ACD中，AC=5，CD=4，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
∵ △ABC∽△ACD，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$，
代入数值：$5^2 = 3 · AB$，
解得 $AB = \frac{25}{3}$，
∴ ⊙O的半径为 $\frac{1}{2}AB = \frac{25}{6}$。
答：⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△ACD，需找到两组对应角相等：首先根据切线的性质，连接过切点的半径OC可得OC⊥l，结合AD⊥l推出AD//OC，进而推导得到∠DAC=∠CAB；再根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=∠ADC=90°，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明结论。
(2) 先在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例关系求出直径AB的长度，半径即为AB的一半。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
∵ 直线l是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥l。
∵ AD⊥l，
∴ AD//OC，
∴ ∠DAC = ∠OCA。
又
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OAC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
又
∵ AD⊥l，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ACB。
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}∠ADC = ∠ACB \\∠DAC = ∠CAB\end{cases}$
∴ △ABC∽△ACD。
(2) 解：
在Rt△ACD中，AC=5，CD=4，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
∵ △ABC∽△ACD，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$，
代入数值：$5^2 = 3 · AB$，
解得 $AB = \frac{25}{3}$，
∴ ⊙O的半径为 $\frac{1}{2}AB = \frac{25}{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{\dfrac{25}{6}}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问考查了切线性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定，需要掌握构造过切点半径的常用辅助线方法；第二问结合勾股定理和相似三角形的比例关系求线段长度，是圆综合题的常考形式，熟练掌握各知识点的关联应用是解题关键。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△ABC∽△ACD，需找到两组对应角相等：首先根据切线的性质，连接过切点的半径OC可得OC⊥l，结合AD⊥l推出AD//OC，进而推导得到∠DAC=∠CAB；再根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=∠ADC=90°，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”证明结论。
(2) 先在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，再利用(1)中相似三角形的对应边成比例关系求出直径AB的长度，半径即为AB的一半。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
∵ 直线l是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥l。
∵ AD⊥l，
∴ AD//OC，
∴ ∠DAC = ∠OCA。
又
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA，
∴ ∠DAC = ∠OAC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
又
∵ AD⊥l，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ACB。
在△ABC和△ACD中：
$\begin{cases}∠ADC = ∠ACB \\∠DAC = ∠CAB\end{cases}$
∴ △ABC∽△ACD。
(2) 解：
在Rt△ACD中，AC=5，CD=4，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
∵ △ABC∽△ACD，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{AB}{AC}$，即 $AC^2 = AD · AB$，
代入数值：$5^2 = 3 · AB$，
解得 $AB = \frac{25}{3}$，
∴ ⊙O的半径为 $\frac{1}{2}AB = \frac{25}{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{\dfrac{25}{6}}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，第一问考查了切线性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定，需要掌握构造过切点半径的常用辅助线方法；第二问结合勾股定理和相似三角形的比例关系求线段长度，是圆综合题的常考形式，熟练掌握各知识点的关联应用是解题关键。
【难度系数】
0.65
21. (10分)如图19,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACD$，$∠ BAC = ∠ BCA$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCA$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ BCA = ∠ ABE$。
又∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
答：$AE$的长为9。
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠ BAC = ∠ ACD$，$∠ BAC = ∠ BCA$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCA$。
又∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ BCA = ∠ ABE$。
又∵ $∠ BAC = ∠ EAB$（公共角），
∴ $△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
答：$AE$的长为9。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先采用两角分别相等的判定方法。首先结合菱形的性质：菱形对边平行、邻边相等，可推导出∠ACD与∠BCA相等，再结合已知条件∠ACD=∠ABE，可得到△ABC和△AEB的一组对应角相等；两个三角形还有公共角∠BAC=∠EAB，满足两角对应相等，即可证得相似。
(2) 第一问已证两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AE、AC三边的比例关系，将已知的AB和AC的数值代入比例式，即可求解得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠BAC = ∠ACD$，$∠BAC = ∠BCA$，
∴ $∠ACD = ∠BCA$。
又
∵ $∠ACD = ∠ABE$，
∴ $∠BCA = ∠ABE$。
又
∵ $∠BAC = ∠EAB$（公共角），
∴ $△ABC ∽ △AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $△ABC ∽ △AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
【答案】
(1) △ABC∽△AEB得证；(2) $AE=9$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规题型，解题关键在于熟练掌握菱形的性质找到等角，进而证明三角形相似，再利用相似的比例关系计算线段长度，对基础几何知识的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两个三角形相似，优先采用两角分别相等的判定方法。首先结合菱形的性质：菱形对边平行、邻边相等，可推导出∠ACD与∠BCA相等，再结合已知条件∠ACD=∠ABE，可得到△ABC和△AEB的一组对应角相等；两个三角形还有公共角∠BAC=∠EAB，满足两角对应相等，即可证得相似。
(2) 第一问已证两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AE、AC三边的比例关系，将已知的AB和AC的数值代入比例式，即可求解得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $AB// CD$，$AB=BC$，
∴ $∠BAC = ∠ACD$，$∠BAC = ∠BCA$，
∴ $∠ACD = ∠BCA$。
又
∵ $∠ACD = ∠ABE$，
∴ $∠BCA = ∠ABE$。
又
∵ $∠BAC = ∠EAB$（公共角），
∴ $△ABC ∽ △AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ $△ABC ∽ △AEB$，
∴ $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$，即 $AB^2 = AC · AE$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$6^2 = 4 · AE$，
解得 $AE = 9$。
【答案】
(1) △ABC∽△AEB得证；(2) $AE=9$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何常规题型，解题关键在于熟练掌握菱形的性质找到等角，进而证明三角形相似，再利用相似的比例关系计算线段长度，对基础几何知识的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
22. (10分)(2025·巴中)某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动,绘制了如图20所示的图形. 在A处测得塔顶D的仰角为30°,向前行40 m,在B处测得塔顶D的仰角为75°,A和B与电塔底部C在同一直线上.
(1)求点B到AD的距离;
(2)求高压电塔CD的高度.(结果保留根号)
23. (11分)(2025·重庆)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望
(1)求点B到AD的距离;
(2)求高压电塔CD的高度.(结果保留根号)
23. (11分)(2025·重庆)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望
答案
解：
(1) 过点B作BE⊥AD于点E。
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=40 m，
∴ $BE = AB·\sin30° = 40×\frac{1}{2} = 20\ \mathrm{m}$
即点B到AD的距离为20 m。
(2) 由三角形外角性质得：
$∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A = 75° - 30° = 45°$
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠ADB=45°，BE=20 m，
∴ $DE = BE = 20\ \mathrm{m}$
在Rt△ABE中，
$AE = AB·\cos30° = 40×\frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AD = AE + DE = (20\sqrt{3} + 20)\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，∠A=30°，∠C=90°，
∴ $CD = AD·\sin30° = (20\sqrt{3} + 20)×\frac{1}{2} = (10\sqrt{3} + 10)\ \mathrm{m}$
答：(1) 点B到AD的距离为20 m；(2) 高压电塔CD的高度为$(10+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(1) 过点B作BE⊥AD于点E。
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=40 m，
∴ $BE = AB·\sin30° = 40×\frac{1}{2} = 20\ \mathrm{m}$
即点B到AD的距离为20 m。
(2) 由三角形外角性质得：
$∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A = 75° - 30° = 45°$
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠ADB=45°，BE=20 m，
∴ $DE = BE = 20\ \mathrm{m}$
在Rt△ABE中，
$AE = AB·\cos30° = 40×\frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AD = AE + DE = (20\sqrt{3} + 20)\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，∠A=30°，∠C=90°，
∴ $CD = AD·\sin30° = (20\sqrt{3} + 20)×\frac{1}{2} = (10\sqrt{3} + 10)\ \mathrm{m}$
答：(1) 点B到AD的距离为20 m；(2) 高压电塔CD的高度为$(10+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求点B到AD的距离，需先过点B作AD的垂线BE构造直角三角形。已知Rt△ABE中∠A=30°，斜边AB长40m，可利用特殊角的三角函数值或直角三角形30°角的性质直接计算BE的长度。
(2) 求CD的高度，首先利用三角形外角性质求出∠ADB的度数，可判定Rt△BDE为等腰直角三角形，得到DE=BE；再在Rt△ABE中用余弦求出AE的长度，相加得到AD的总长度；最后在Rt△ACD中，利用30°角的三角函数值即可求出CD的高度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AD于点E。
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=40 m，
∴ $BE = AB·\sin30° = 40×\frac{1}{2} = 20\ \mathrm{m}$
即点B到AD的距离为20 m。
(2) 由三角形外角性质得：
$∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A = 75° - 30° = 45°$
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠ADB=45°，BE=20 m，
∴ $DE = BE = 20\ \mathrm{m}$
在Rt△ABE中，
$AE = AB·\cos30° = 40×\frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AD = AE + DE = (20\sqrt{3} + 20)\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，∠A=30°，∠C=90°，
∴ $CD = AD·\sin30° = (20\sqrt{3} + 20)×\frac{1}{2} = (10\sqrt{3} + 10)\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 点B到AD的距离为$\boldsymbol{20\ \mathrm{m}}$；
(2) 高压电塔CD的高度为$\boldsymbol{(10+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 三角形外角定理
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题核心是通过作辅助线构造合适的直角三角形，结合三角形基础性质和特殊角的三角函数值逐步求解边长，题目贴近生活实际，侧重考察学生将实际问题转化为数学模型求解的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点B到AD的距离，需先过点B作AD的垂线BE构造直角三角形。已知Rt△ABE中∠A=30°，斜边AB长40m，可利用特殊角的三角函数值或直角三角形30°角的性质直接计算BE的长度。
(2) 求CD的高度，首先利用三角形外角性质求出∠ADB的度数，可判定Rt△BDE为等腰直角三角形，得到DE=BE；再在Rt△ABE中用余弦求出AE的长度，相加得到AD的总长度；最后在Rt△ACD中，利用30°角的三角函数值即可求出CD的高度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AD于点E。
在Rt△ABE中，∠A=30°，AB=40 m，
∴ $BE = AB·\sin30° = 40×\frac{1}{2} = 20\ \mathrm{m}$
即点B到AD的距离为20 m。
(2) 由三角形外角性质得：
$∠ ADB = ∠ DBC - ∠ A = 75° - 30° = 45°$
在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠ADB=45°，BE=20 m，
∴ $DE = BE = 20\ \mathrm{m}$
在Rt△ABE中，
$AE = AB·\cos30° = 40×\frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
∴ $AD = AE + DE = (20\sqrt{3} + 20)\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，∠A=30°，∠C=90°，
∴ $CD = AD·\sin30° = (20\sqrt{3} + 20)×\frac{1}{2} = (10\sqrt{3} + 10)\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 点B到AD的距离为$\boldsymbol{20\ \mathrm{m}}$；
(2) 高压电塔CD的高度为$\boldsymbol{(10+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 三角形外角定理
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题核心是通过作辅助线构造合适的直角三角形，结合三角形基础性质和特殊角的三角函数值逐步求解边长，题目贴近生活实际，侧重考察学生将实际问题转化为数学模型求解的能力。
【难度系数】
0.7
