17.(9分)如图15,在$\odot O$中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.
(1)求证:$△ AEC ∽ △ DEB$;
(2)连接AD,若$AD=3$,$∠ C=30°$,求$\odot O$的半径.

(1) 证明：
在$\odot O$中，$∠ C$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C = ∠ B$，
又$\because ∠ AEC = ∠ DEB$（对顶角相等），
$\therefore △ AEC ∽ △ DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\because ∠ C = 30°$，且$∠ C$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=30°$，$AD=3$，
$\therefore AB = 2AD = 6$，
$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{1}{2}AB = 3$。
答：$\odot O$的半径为$3$。

【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先用两角分别相等的判定方法：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ C=∠ B$，再结合对顶角相等的性质得到$∠ AEC=∠ DEB$，即可完成相似证明。
(2) 求圆的半径可先求直径$AB$的长度：首先根据直径所对的圆周角是直角，可得$△ ADB$是直角三角形；再利用同弧所对圆周角相等，将已知的$∠ C=30°$转化为$∠ B=30°$，最后根据含30°角的直角三角形的性质求出直径长度，除以2即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：
在$\odot O$中，$∠ C$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C = ∠ B$，
又$\because ∠ AEC = ∠ DEB$（对顶角相等），
$\therefore △ AEC ∽ △ DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\because ∠ C = 30°$，且$∠ C$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=30°$，$AD=3$，
$\therefore AB = 2AD = 6$，
$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{1}{2}AB = 3$。
【答案】
(1) 已证$△ AEC ∽ △ DEB$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了圆周角相关性质、相似三角形判定、直角三角形特殊性质进行考察，解题的核心是熟练掌握相关定理，快速找到角的等量关系，是圆章节的常规高频题型。
【难度系数】
0.7

18. (9分)(2025·宿迁)小明和小军两名同学对某河流的宽度进行测量,如图16所示,两人分别站在同侧河岸上的点A和B处,选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A,B,C在同一水平面内),小明同学在点A处测得$∠ BAC$为$42°$,小军同学在点B处测得$∠ ABC$为$61°$,两人之间的距离AB为60米,求此河流的宽度.
(参考数据:$\sin42°\approx0.67$,$\tan42°\approx0.90$,
$\sin61°\approx0.87$,$\tan61°\approx1.80$)

解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长即为所求河流的宽度。
设CD = x 米，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∵ tan∠BAC = $\frac{CD}{AD}$，
∴ $AD = \frac{CD}{\tan42°} \approx \frac{x}{0.9}$。
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∵ tan∠ABC = $\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan61°} \approx \frac{x}{1.8}$。
∵ AD + BD = AB = 60，
∴ $\frac{x}{0.9} + \frac{x}{1.8} = 60$，
解得：$2x + x = 108$，即$3x=108$，$x=36$。
答：此河流的宽度约为36米。

【分析】
要计算河流宽度，本质是求点C到AB的垂直距离，因此优先考虑过C作AB的垂线CD，将斜三角形ABC拆分为两个直角三角形。接下来利用两个直角三角形中已知锐角的正切值，用含CD（设为x）的式子分别表示出AD和BD的长度，再结合AD+BD=AB=60米的等量关系列方程，即可解出x的值，也就是河流宽度。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长即为所求河流的宽度。
设CD = x 米，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∵ tan∠BAC = $\frac{CD}{AD}$，
∴ $AD = \frac{CD}{\tan42°} \approx \frac{x}{0.9}$。
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∵ tan∠ABC = $\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan61°} \approx \frac{x}{1.8}$。
∵ AD + BD = AB = 60，
∴ $\frac{x}{0.9} + \frac{x}{1.8} = 60$，
通分化简得$2x + x = 108$，即$3x=108$，解得$x=36$。
【答案】
此河流的宽度约为36米。
【知识点】
锐角三角函数应用，解直角三角形，一元一次方程求解
【点评】
本题是三角函数实际应用的基础题型，通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合三角函数关系和线段和差关系建立方程求解，既考查了三角函数的运用能力，也体现了转化思想、方程思想在解题中的价值，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7

19.(9分)如图17,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9,BC=6$,求EC的长.

(1) 证明：
∵ $∠ BCE = ∠ ACD$，
∴ $∠ BCE + ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ ACE$，
即 $∠ ACB = ∠ DCE$。
又∵ $∠ A = ∠ D$，
∴ $△ ABC ∽ △ DEC$。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ DEC$，
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}} = (\frac{BC}{EC})^2 = \frac{4}{9}$
开方得 $\frac{BC}{EC} = \frac{2}{3}$。
将 $BC=6$ 代入得：
$\frac{6}{EC} = \frac{2}{3}$
解得 $EC=9$。
答：$EC$ 的长为 $9$。

【分析】
（1）要证明△ABC∽△DEC，已知∠A=∠D，只需再证明一组对应角相等即可。由已知∠BCE=∠ACD，给两个角同时加上公共角∠ACE，可推出∠ACB=∠DCE，满足两角分别相等的相似判定条件。（2）已知两个相似三角形的面积比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，可得到对应边BC与EC的比值，代入BC的长度即可求出EC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BCE = ∠ ACD$，
∴ $∠ BCE + ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ ACE$，
即 $∠ ACB = ∠ DCE$。
又
∵ $∠ A = ∠ D$，
∴ $△ ABC ∽ △ DEC$。
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ DEC$，
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}} = (\frac{BC}{EC})^2 = \frac{4}{9}$
边长为正，开方取正根得 $\frac{BC}{EC} = \frac{2}{3}$。
将 $BC=6$ 代入得：
$\frac{6}{EC} = \frac{2}{3}$
解得 $EC=9$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC ∽ △ DEC$；
(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础考题，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，通过角的等量变换得到对应角相等完成相似判定，再利用面积比与相似比的关系求解线段长，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8