16.【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y(单位:A)的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图7所示.已知小灯泡的电阻为3 Ω(不计温度对灯泡电阻影响)，滑动变阻器的电阻为x(单位:Ω,0≤x≤9)(串联电路中总电阻=灯泡电阻+滑动变阻器的电阻)，通过多次实验，得到以下数据(如表)：
| 电阻$x/\Omega$ | $a$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 电流$y/\mathrm{A}$ | $6$ | $4.8$ | | $3$ | $b$ | $2$ |
(1)根据实验结果填空:$a=$ ,$b=$ .根据实验数据直接写出$y$关于$x$的函数解析式: $(0≤x≤9)$.
(2)【初步探究】请在图8的平面直角坐标系中画出$y$与$x$的函数图象,并写出函数$y$的一条性质: .
(3)【深入探究】已知一次函数$y'=-\dfrac{4}{3}x+8(x≥0)$,结合(2)中函数图象分析,请直接写出当$y≤y'$时,$x$的取值范围: .

16. (1)1 2.4 $y=\frac{24}{x+3}$ (2)描点并连线如所示，y随x的增大而减小(答案不唯一，正确即可) (3)0≤x≤3

【分析】
(1) 首先结合串联电路的特点和欧姆定律，总电压固定为24V，总电阻为滑动变阻器电阻x与灯泡电阻3Ω之和，根据“电流=电压÷电阻”即可得到y与x的函数关系；再将已知的y=6代入解析式求a，将x=7代入解析式求b即可。
(2) 绘制函数图像遵循“描点-连线”的步骤即可，观察图像的增减性、分布区间等即可写出函数性质。
(3) 要求y≤y'的x范围，将两个函数解析式代入不等式，结合x的取值范围求解不等式，也可通过找两个函数的交点，结合图像判断符合要求的区间。
【解析】
(1) 由题意可知，串联电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=x+3\ \Omega$，总电压$U=24\ \mathrm{V}$，根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$可得：
$y=\frac{24}{x+3}$
当$y=6$时，代入得$6=\frac{24}{a+3}$，解得$a=1$；
当$x=7$时，代入得$y=\frac{24}{7+3}=2.4$，即$b=2.4$。
(2) 依次描出点$(1,6)$、$(2,4.8)$、$(3,4)$、$(5,3)$、$(7,2.4)$、$(9,2)$，再用平滑曲线连接各点，得到函数图像如所示；观察图像可得性质：$y$随$x$的增大而减小（性质合理即可）。
(3) 令$y≤ y'$，即$\frac{24}{x+3}≤ -\frac{4}{3}x+8$，
$\because 0≤ x≤9$，$\therefore x+3＞0$，不等式两边同时乘$(x+3)$不等号方向不变：
$24≤ (-\frac{4}{3}x+8)(x+3)$
展开整理得$4x(x-3)≤0$，解得$0≤ x≤3$，符合x的取值范围。
【答案】
(1) $1$；$2.4$；$y=\dfrac{24}{x+3}$
(2) 描点并连线如所示，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，正确即可）
(3) $0≤ x≤ 3$
【知识点】
反比例函数的应用；一次函数的性质；不等式求解
【点评】
本题结合物理电学知识考查函数的实际应用，需要学生掌握跨学科知识的融合运用，熟悉函数解析式求法、图像绘制及利用函数关系解不等式的方法，有一定综合性。
【难度系数】
0.65

17. 通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $ (单位:min)变化的函数图象如图 9 所示,当 $ 0 ≤ x ≤ 10 $ 和 $ 10 ≤ x ≤ 20 $ 时,图象是线段;当 $ 20 ≤ x ≤ 40 $ 时,图象是双曲线的一部分.根据函数图象回答下列问题:
(1)分别求出当 $ 0 ≤ x ≤ 10 $ 与 $ 20 ≤ x ≤ 40 $ 时,注意力指标数 $ y $ 关于时间 $ x $ 的函数解析式.
(2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受,注意力指标数应不低于30,而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8 min,为了让学生完全理解和接受,这节课张老师最多能讲解几道数学综合题?

17. (1)双曲线图象经过点C(20,48)，设$y=\frac{k}{x}$，则$\frac{k}{20}=48$，解得k=960，
∴$y=\frac{960}{x}(20≤x≤40)$. 当x=40时，$y=\frac{960}{40}=24$，
∴D(40,24).
∴A(0,24). 当0≤x≤10时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数. 点B(10,48)，设y = mx + n，则$\begin{cases}n=24,\\10m+n=48,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2.4,\\n=24,\end{cases}$
∴$y=2.4x+24(0≤x≤10)$ (2)当y=30时，30=2.4x+24，x=2.5；当y=30时，$30=\frac{960}{x}$，x=32，注意力指标数不低于30的时间为32−2.5=29.5(min).
∵29.5÷8=3.6875，
∴这节课张老师最多能讲解3道数学综合题

【分析】
（1）求解分段函数解析式时，优先处理已知点明确的20≤x≤40段反比例函数：将C点坐标代入反比例函数通式求出解析式，再代入x=40得到D点纵坐标，即A点纵坐标，得到A点坐标后，结合B点坐标即可求出0≤x≤10段的一次函数解析式。
（2）要计算符合注意力要求的总时长，分别在两个函数段中令y=30，求出对应的x值，两个x的差值就是有效时长，再用有效时长除以单题所需时间，取整数部分即为最多讲解的题数。
【解析】
(1) 先求$20\le x\le40$段的函数解析式：
设该段反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，已知图象过点$C(20,48)$，代入得：
$\frac{k}{20}=48$，解得$k=960$，
∴$20\le x\le40$时，解析式为$y=\frac{960}{x}$。
当$x=40$时，$y=\frac{960}{40}=24$，即$D(40,24)$，由图可知A点纵坐标与D点相同，故$A(0,24)$。
再求$0\le x\le10$段的一次函数解析式：
设该段解析式为$y=mx+n$，将$A(0,24)$、$B(10,48)$代入得：
$\begin{cases}n=24\\10m+n=48\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=2.4\\n=24\end{cases}$，
∴$0\le x\le10$时，解析式为$y=2.4x+24$。
(2) 求注意力指标数不低于30的时间段：
在$0\le x\le10$段，令$y=30$，代入$y=2.4x+24$得：
$30=2.4x+24$，解得$x=2.5$；
在$20\le x\le40$段，令$y=30$，代入$y=\frac{960}{x}$得：
$30=\frac{960}{x}$，解得$x=32$；
∴符合要求的总时长为$32-2.5=29.5(\mathrm{min})$。
每道题讲解需要8min，$29.5÷8=3.6875$，题数取正整数，故最多能讲解3道。
【答案】
(1) $0\le x\le10$时，$y=2.4x+24$；$20\le x\le40$时，$y=\frac{960}{x}$
(2) 3道
【知识点】
一次函数解析式求解，反比例函数解析式求解，分段函数应用
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，需要学生准确读取图象信息，分段求解函数解析式，再根据函数值要求计算对应的自变量范围，对学生的计算能力和分段讨论思维有一定考查。
【难度系数】
0.7