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1. 某“复兴号”高铁列车在相邻两站间运行,可近似看成匀加速启动到匀速行驶再到匀减速进站三个阶段.设列车加速时间与减速时间相等,均为$t_0$ h,匀速行驶速度为 300 km/h,全程行驶时间为$t$ h.
(1)填空.
①用含$t$,$t_0$的式子表示匀速行驶的时间为
②加速、减速阶段的平均速度为
③用含$t$,$t_0$的式子表示总路程$s$的解析式为
(2)若$t_0=6$ min,全程路程$s=600$ km,求全程时间$t$.
(1)填空.
①用含$t$,$t_0$的式子表示匀速行驶的时间为
$(t-2t_0)$
h;②加速、减速阶段的平均速度为
150
km/h;③用含$t$,$t_0$的式子表示总路程$s$的解析式为
$s=300t-300t_0$
.(2)若$t_0=6$ min,全程路程$s=600$ km,求全程时间$t$.
答案
1.(1)① $(t-2t_0)$ ② 150 ③ $s=300t-300t_0$
(2) 把$t_0=6\ \mathrm{min}=0.1\ \mathrm{h},s=600$代入$s=300t-300t_0$,得$600=300t-300×0.1$,解得$t=2.1$. $\therefore$全程时间为$2.1\ \mathrm{h}$
(2) 把$t_0=6\ \mathrm{min}=0.1\ \mathrm{h},s=600$代入$s=300t-300t_0$,得$600=300t-300×0.1$,解得$t=2.1$. $\therefore$全程时间为$2.1\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
(1) ① 总行驶时间包含加速、匀速、减速三个阶段，已知加速和减速时间均为$t_0$h，因此匀速行驶时间等于总时间减去加速、减速的总时长即可。
② 匀加速或匀减速阶段的平均速度等于初速度与末速度的平均值，加速阶段初速度为0、末速度为300km/h，减速阶段初速度为300km/h、末速度为0，代入公式即可求出平均速度。
③ 总路程等于加速路程、匀速路程、减速路程之和，分别计算三个阶段的路程再相加化简，就能得到总路程$s$的解析式。
(2) 先将$t_0$的单位由分钟换算为小时，再代入(1)中得到的总路程解析式，解关于$t$的一元一次方程即可求出全程时间。
【解析】
(1) ① 匀速行驶时间 = 总时间 - 加速时间 - 减速时间 = $t - t_0 - t_0 = t-2t_0$（h）；
② 加速、减速阶段的平均速度 = $\frac{0 + 300}{2} = 150$（km/h）；
③ 加速阶段路程：$150× t_0$，减速阶段路程：$150× t_0$，匀速阶段路程：$300×(t-2t_0)$，总路程$s = 150t_0 + 300(t-2t_0) + 150t_0$，化简得$s=300t-300t_0$。
(2) 先进行单位换算：$t_0 = 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h}$，把$t_0=0.1$、$s=600$代入$s=300t - 300t_0$可得：
$600 = 300t - 300×0.1$
整理得$300t = 630$，解得$t=2.1$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{t-2t_0}$；② $\boldsymbol{150}$；③ $\boldsymbol{s=300t-300t_0}$
(2) 全程时间为$\boldsymbol{2.1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
行程问题计算；代数式表示数量关系；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合高铁运行的生活场景命题，贴近实际，核心考察行程中匀变速、匀速的路程计算，以及代数表达式的化简和方程求解，解题时需注意时间单位的统一，避免因单位错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) ① 总行驶时间包含加速、匀速、减速三个阶段，已知加速和减速时间均为$t_0$h，因此匀速行驶时间等于总时间减去加速、减速的总时长即可。
② 匀加速或匀减速阶段的平均速度等于初速度与末速度的平均值，加速阶段初速度为0、末速度为300km/h，减速阶段初速度为300km/h、末速度为0，代入公式即可求出平均速度。
③ 总路程等于加速路程、匀速路程、减速路程之和，分别计算三个阶段的路程再相加化简，就能得到总路程$s$的解析式。
(2) 先将$t_0$的单位由分钟换算为小时，再代入(1)中得到的总路程解析式，解关于$t$的一元一次方程即可求出全程时间。
【解析】
(1) ① 匀速行驶时间 = 总时间 - 加速时间 - 减速时间 = $t - t_0 - t_0 = t-2t_0$（h）；
② 加速、减速阶段的平均速度 = $\frac{0 + 300}{2} = 150$（km/h）；
③ 加速阶段路程：$150× t_0$，减速阶段路程：$150× t_0$，匀速阶段路程：$300×(t-2t_0)$，总路程$s = 150t_0 + 300(t-2t_0) + 150t_0$，化简得$s=300t-300t_0$。
(2) 先进行单位换算：$t_0 = 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h}$，把$t_0=0.1$、$s=600$代入$s=300t - 300t_0$可得：
$600 = 300t - 300×0.1$
整理得$300t = 630$，解得$t=2.1$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{t-2t_0}$；② $\boldsymbol{150}$；③ $\boldsymbol{s=300t-300t_0}$
(2) 全程时间为$\boldsymbol{2.1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
行程问题计算；代数式表示数量关系；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合高铁运行的生活场景命题，贴近实际，核心考察行程中匀变速、匀速的路程计算，以及代数表达式的化简和方程求解，解题时需注意时间单位的统一，避免因单位错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙两座城市之间开通高速列车，列车在两城区行驶分为出站加速、中途匀速、进站减速三个阶段.已知列车从静止加速至最高稳定行驶速度，用时为15 min，加速阶段记录数据如下：
(1)在一次函数、反比例函数、二次函数中，判断并分别求出加速阶段速度$v$关于时间$t$、路程$s$关于时间$t$的函数解析式.
(2)列车减速过程与加速过程完全一致，减速时长同样为15 min，若列车以最高速度匀速行驶12 min，该趟列车从出发到完全停下一共行驶多少千米？
(1)在一次函数、反比例函数、二次函数中，判断并分别求出加速阶段速度$v$关于时间$t$、路程$s$关于时间$t$的函数解析式.
(2)列车减速过程与加速过程完全一致，减速时长同样为15 min，若列车以最高速度匀速行驶12 min，该趟列车从出发到完全停下一共行驶多少千米？
答案
(1) 由题意,设速度$v$关于时间$t$的函数解析式为$v=mt+n$,路程$s$关于时间$t$的函数解析式为$s=at^2+bt+c$,把$(0,0),(3,69)$代入$v=mt+n$,得$\begin{cases}n=0,\\3m+n=69,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=23,\\n=0,\end{cases}$$\therefore v=23t$.把$(6,138),(9,207),(12,276),(15,345)$代入验证,均符合该一次函数解析式.把$(0,0)(3,3),(6,12)$代入$s=at^2+bt+c$,可得$\begin{cases}c=0,\\9a+3b=3,\\36a+6b=12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=0,\\c=0,\end{cases}$$\therefore s=\dfrac{1}{3}t^2$.将表格中其余对应值代入验证,均符合该二次函数解析式
(2) 当$t=15$时,$s_{\mathrm{加速}}=\dfrac{1}{3}×15^2=75(\mathrm{km})$,$s_{\mathrm{匀速}}=345×\dfrac{12}{60}=69(\mathrm{km})$,$s_{\mathrm{总}}=75×2+69=219(\mathrm{km})$,$\therefore$该趟列车从出发到完全停下一共行驶$219\ \mathrm{km}$
(2) 当$t=15$时,$s_{\mathrm{加速}}=\dfrac{1}{3}×15^2=75(\mathrm{km})$,$s_{\mathrm{匀速}}=345×\dfrac{12}{60}=69(\mathrm{km})$,$s_{\mathrm{总}}=75×2+69=219(\mathrm{km})$,$\therefore$该趟列车从出发到完全停下一共行驶$219\ \mathrm{km}$
解析
【分析】
(1) 观察表格数据：速度v随时间t均匀增加，每3min速度增加69km/h，符合一次函数特征；路程s的增长速度越来越快，且s与t²成正比例关系，符合二次函数特征。分别设对应函数解析式，选取表格中已知点代入求解，再将其余点代入验证解析式是否成立即可。
(2) 总行驶路程=加速阶段路程+匀速阶段路程+减速阶段路程，已知减速过程和加速过程完全一致，因此减速路程等于加速路程；先求出最高速度，将匀速行驶时间换算为小时单位，根据路程=速度×时间算出匀速路程，三者相加即可得到总路程。
【解析】
(1) 观察速度v和时间t的数据，判断v是t的一次函数，设解析式为$v=mt+n$，
将$(0,0)$、$(3,69)$代入解析式，得：
$\begin{cases}n=0\\3m+n=69\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=23\\n=0\end{cases}$
即$v=23t$，将$(6,138)$、$(9,207)$、$(12,276)$、$(15,345)$代入验证，均满足该解析式，因此速度v关于时间t的函数解析式为$v=23t\ (0≤ t≤15)$（t单位：min，v单位：km/h）。
观察路程s和时间t的数据，判断s是t的二次函数，设解析式为$s=at^2+bt+c$，
将$(0,0)$、$(3,3)$、$(6,12)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=0\\9a+3b=3\\36a+6b=12\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=0\\c=0\end{cases}$
即$s=\dfrac{1}{3}t^2$，将$(9,27)$、$(12,48)$、$(15,75)$代入验证，均满足该解析式，因此路程s关于时间t的函数解析式为$s=\dfrac{1}{3}t^2\ (0≤ t≤15)$（t单位：min，s单位：km）。
(2) 加速阶段时长15min，对应路程$s_{\mathrm{加速}}=\dfrac{1}{3}×15^2=75\ \mathrm{km}$，
因减速过程与加速过程完全一致，故$s_{\mathrm{减速}}=s_{\mathrm{加速}}=75\ \mathrm{km}$，
列车最高速度为345km/h，匀速行驶时间12min$=\dfrac{12}{60}\ \mathrm{h}=0.2\ \mathrm{h}$，
匀速行驶路程$s_{\mathrm{匀速}}=345×0.2=69\ \mathrm{km}$，
总行驶路程$s_{\mathrm{总}}=75+69+75=219\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 速度$v$关于时间$t$的函数解析式为$\boldsymbol{v=23t}$，路程$s$关于时间$t$的函数解析式为$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{3}t^2}$；
(2) 该趟列车从出发到完全停下一共行驶$\boldsymbol{219\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
一次函数的应用；二次函数的应用；行程问题计算
【点评】
本题结合高铁运行的实际场景考查函数的实际应用，需要先根据数据变化规律判断函数类型，再用待定系数法求解解析式，解题时要注意时间单位的统一，既考查了函数的基础知识，也锻炼了结合实际解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察表格数据：速度v随时间t均匀增加，每3min速度增加69km/h，符合一次函数特征；路程s的增长速度越来越快，且s与t²成正比例关系，符合二次函数特征。分别设对应函数解析式，选取表格中已知点代入求解，再将其余点代入验证解析式是否成立即可。
(2) 总行驶路程=加速阶段路程+匀速阶段路程+减速阶段路程，已知减速过程和加速过程完全一致，因此减速路程等于加速路程；先求出最高速度，将匀速行驶时间换算为小时单位，根据路程=速度×时间算出匀速路程，三者相加即可得到总路程。
【解析】
(1) 观察速度v和时间t的数据，判断v是t的一次函数，设解析式为$v=mt+n$，
将$(0,0)$、$(3,69)$代入解析式，得：
$\begin{cases}n=0\\3m+n=69\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=23\\n=0\end{cases}$
即$v=23t$，将$(6,138)$、$(9,207)$、$(12,276)$、$(15,345)$代入验证，均满足该解析式，因此速度v关于时间t的函数解析式为$v=23t\ (0≤ t≤15)$（t单位：min，v单位：km/h）。
观察路程s和时间t的数据，判断s是t的二次函数，设解析式为$s=at^2+bt+c$，
将$(0,0)$、$(3,3)$、$(6,12)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=0\\9a+3b=3\\36a+6b=12\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=0\\c=0\end{cases}$
即$s=\dfrac{1}{3}t^2$，将$(9,27)$、$(12,48)$、$(15,75)$代入验证，均满足该解析式，因此路程s关于时间t的函数解析式为$s=\dfrac{1}{3}t^2\ (0≤ t≤15)$（t单位：min，s单位：km）。
(2) 加速阶段时长15min，对应路程$s_{\mathrm{加速}}=\dfrac{1}{3}×15^2=75\ \mathrm{km}$，
因减速过程与加速过程完全一致，故$s_{\mathrm{减速}}=s_{\mathrm{加速}}=75\ \mathrm{km}$，
列车最高速度为345km/h，匀速行驶时间12min$=\dfrac{12}{60}\ \mathrm{h}=0.2\ \mathrm{h}$，
匀速行驶路程$s_{\mathrm{匀速}}=345×0.2=69\ \mathrm{km}$，
总行驶路程$s_{\mathrm{总}}=75+69+75=219\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 速度$v$关于时间$t$的函数解析式为$\boldsymbol{v=23t}$，路程$s$关于时间$t$的函数解析式为$\boldsymbol{s=\dfrac{1}{3}t^2}$；
(2) 该趟列车从出发到完全停下一共行驶$\boldsymbol{219\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
一次函数的应用；二次函数的应用；行程问题计算
【点评】
本题结合高铁运行的实际场景考查函数的实际应用，需要先根据数据变化规律判断函数类型，再用待定系数法求解解析式，解题时要注意时间单位的统一，既考查了函数的基础知识，也锻炼了结合实际解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
