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3.【背景】清晨从北京南站登上G字头“复兴号”，傍晚就能抵达上海虹桥站，京沪高铁这条串联京津冀与长三角的黄金通道，以稳定的运行效率，让跨城出行告别了漫长旅途.列车的行驶速度与全程耗时之间藏着清晰的数量关系，也让我们能直观感受中国高铁的“中国速度”.
【素材】某列京沪高铁列车从北京南站驶往上海虹桥站，驶完全程所需的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系如下表：
【问题】
(1)这段铁路全长多少千米？
(2)t与v之间有什么关系？请写出这个关系式.
(3)如果高铁行驶的平均速度为325 km/h，驶完全程需要多长时间？
【素材】某列京沪高铁列车从北京南站驶往上海虹桥站，驶完全程所需的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系如下表：
【问题】
(1)这段铁路全长多少千米？
(2)t与v之间有什么关系？请写出这个关系式.
(3)如果高铁行驶的平均速度为325 km/h，驶完全程需要多长时间？
答案
(1) $s=vt=260×5=1\ 300(\mathrm{km})$,$\therefore$这段铁路全长$1\ 300\ \mathrm{km}$
(2) $\because$路程$s=1\ 300\ \mathrm{km}$固定不变,$\therefore t=\dfrac{1\ 300}{v}$,这是反比例函数关系
(3) 将$v=325$代入$t=\dfrac{1\ 300}{v}$,$t=\dfrac{1\ 300}{325}=4(\mathrm{h})$,$\therefore$高铁行驶的平均速度为$325\ \mathrm{km/h}$,驶完全程需要$4\ \mathrm{h}$
(2) $\because$路程$s=1\ 300\ \mathrm{km}$固定不变,$\therefore t=\dfrac{1\ 300}{v}$,这是反比例函数关系
(3) 将$v=325$代入$t=\dfrac{1\ 300}{v}$,$t=\dfrac{1\ 300}{325}=4(\mathrm{h})$,$\therefore$高铁行驶的平均速度为$325\ \mathrm{km/h}$,驶完全程需要$4\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
要解决这三个问题，需利用路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间。问题(1)通过表格中任意一组速度和时间计算乘积，得到固定的铁路全长；问题(2)根据路程不变，推导时间与速度的反比例关系式；问题(3)将给定速度代入关系式计算对应时间。
【解析】
(1) 根据路程公式 $ s = vt $，选取表格中 $ v=260\ \mathrm{km/h} $，$ t=5\ \mathrm{h} $，代入得：
$ s = 260 × 5 = 1300\ (\mathrm{km}) $，验证其他组数据（如 $ 320 × \frac{65}{16}=1300 $、$ 300 × \frac{13}{3}=1300 $）均符合，故这段铁路全长为1300km。
(2) 由(1)知路程 $ s=1300\ \mathrm{km} $ 固定，根据 $ s=vt $，变形得 $ t = \frac{s}{v} = \frac{1300}{v} $，因此t与v成反比例关系，关系式为 $ t = \frac{1300}{v} $。
(3) 将 $ v=325\ \mathrm{km/h} $ 代入 $ t = \frac{1300}{v} $，计算得：
$ t = \frac{1300}{325} = 4\ (\mathrm{h}) $。
【答案】
(1) 这段铁路全长1300km；(2) $ t = \frac{1300}{v} $；(3) 驶完全程需要4h。
【知识点】
反比例函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合高铁行程的实际场景，考查反比例函数的基础应用，核心是利用表格数据确定固定路程，再推导关系式并代入求值，步骤清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.3
要解决这三个问题，需利用路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间。问题(1)通过表格中任意一组速度和时间计算乘积，得到固定的铁路全长；问题(2)根据路程不变，推导时间与速度的反比例关系式；问题(3)将给定速度代入关系式计算对应时间。
【解析】
(1) 根据路程公式 $ s = vt $，选取表格中 $ v=260\ \mathrm{km/h} $，$ t=5\ \mathrm{h} $，代入得：
$ s = 260 × 5 = 1300\ (\mathrm{km}) $，验证其他组数据（如 $ 320 × \frac{65}{16}=1300 $、$ 300 × \frac{13}{3}=1300 $）均符合，故这段铁路全长为1300km。
(2) 由(1)知路程 $ s=1300\ \mathrm{km} $ 固定，根据 $ s=vt $，变形得 $ t = \frac{s}{v} = \frac{1300}{v} $，因此t与v成反比例关系，关系式为 $ t = \frac{1300}{v} $。
(3) 将 $ v=325\ \mathrm{km/h} $ 代入 $ t = \frac{1300}{v} $，计算得：
$ t = \frac{1300}{325} = 4\ (\mathrm{h}) $。
【答案】
(1) 这段铁路全长1300km；(2) $ t = \frac{1300}{v} $；(3) 驶完全程需要4h。
【知识点】
反比例函数应用、路程速度时间关系
【点评】
本题结合高铁行程的实际场景，考查反比例函数的基础应用，核心是利用表格数据确定固定路程，再推导关系式并代入求值，步骤清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.3
4. 项目式学习.
项目主题:高铁建设中的数学.
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数,且加减速过程中列车速度随时间变化的关系为$v=v_0+at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$ km,时间也相同,均为$t$ s.
素材三:匀加速或匀减速(即加速度不变)过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为$s=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$,其中$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算.
(1)如果高铁列车的最高速度$v=360$ km/h,加速度$a=0.5$ m/s²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t=$
(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的路程$d=$
任务二:应用与推理.
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$ km中,除去两端的加减速路程$d$ km,列车以最高速度行驶的距离为$(x-2d)$km,请直接写出列车全程行驶的时间$T$(单位:h)关于$x$的函数解析式.
任务三:设计与分析.
(4)假设距某站台2 km有一辆高铁正以180 km/h的速度驶来,轨道上出现障碍物,列车需紧急停车,若减速度$a=-0.5$ m/s²,列车能否安全停车?分析计算后的答案,结合现实,说说你的想法.
项目主题:高铁建设中的数学.
项目背景:随着中国经济的快速发展,高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.假设某城市计划建设一条新的高铁线路,以缩短与邻近城市的旅行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下,开展了相关探究.
素材一:为了保证安全,高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止,都需要一定的时间,假设加速度和减速度都是常数,且加减速过程中列车速度随时间变化的关系为$v=v_0+at$,其中$v$是最终速度,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
素材二:列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离,已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同,均为$d$ km,时间也相同,均为$t$ s.
素材三:匀加速或匀减速(即加速度不变)过程中,在单向行驶时,路程与运动时间的关系为$s=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$,其中$s$是路程,$v_0$是初始速度,$a$是加速度(或减速度),$t$是时间.
任务一:理解与计算.
(1)如果高铁列车的最高速度$v=360$ km/h,加速度$a=0.5$ m/s²,则从静止加速到最高速度所需的时间$t=$
200
s.(2)在(1)的条件下,列车从静止加速到最高速度所需的路程$d=$
10
km.任务二:应用与推理.
(3)在(1)的条件下,假设高铁线路全程$x$ km中,除去两端的加减速路程$d$ km,列车以最高速度行驶的距离为$(x-2d)$km,请直接写出列车全程行驶的时间$T$(单位:h)关于$x$的函数解析式.
任务三:设计与分析.
(4)假设距某站台2 km有一辆高铁正以180 km/h的速度驶来,轨道上出现障碍物,列车需紧急停车,若减速度$a=-0.5$ m/s²,列车能否安全停车?分析计算后的答案,结合现实,说说你的想法.
答案
4.(1) 根据题中所给的信息可得$v=v_0+at$,变形可得$t=\dfrac{v-v_0}{a}$. $\because v_0=0,v=360\ \mathrm{km/h}=100\ \mathrm{m/s},a=0.5\ \mathrm{m/s}^2$,$\therefore t=\dfrac{100-0}{0.5}=200(\mathrm{s})$,故答案为200
(2) 由(1)知$v_0=0,t=200,a=0.5$,$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=0×200+\dfrac{1}{2}×0.5×200^2=10\ 000(\mathrm{m})$.$\because10\ 000\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{km}$,$\therefore$列车从静止加速到最高速度所需的路程$d=10\ \mathrm{km}$,故答案为10
(3) $\because$加速和减速时间都是$t$ s 且加减速路程都是$d$ km,$\therefore$加速和减速的总时间为$2t=400\ \mathrm{s}=\dfrac{1}{9}\ \mathrm{h}$. $\therefore$匀速行驶的时间为$(T-\dfrac{1}{9})\ \mathrm{h}$,匀速行驶的路程为$(x-20)\ \mathrm{km}$,速度为$360\ \mathrm{km/h}$,$\therefore T-\dfrac{1}{9}=\dfrac{x-20}{360}$.$\therefore T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$. $\therefore$列车全程行驶的时间$T$关于$x$的函数解析式为$T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$
(4) $\because v=0$,$v_0=180\ \mathrm{km/h}=50\ \mathrm{m/s}$,$a=-0.5\ \mathrm{m/s}^2$,$\therefore t=\dfrac{0-50}{-0.5}=100(\mathrm{s})$.$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=50×100+\dfrac{1}{2}×(-0.5)×100^2=2\ 500(\mathrm{m})$.$\therefore2\ 500\ \mathrm{m}=2.5\ \mathrm{km}$.$\because2.5\ \mathrm{km}＞2\ \mathrm{km}$,$\therefore$列车不能安全停车 想法:高铁制动距离长、反应时间极短,切勿进入轨道,安全意识一刻也不能松懈(言之有理即可)
(2) 由(1)知$v_0=0,t=200,a=0.5$,$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=0×200+\dfrac{1}{2}×0.5×200^2=10\ 000(\mathrm{m})$.$\because10\ 000\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{km}$,$\therefore$列车从静止加速到最高速度所需的路程$d=10\ \mathrm{km}$,故答案为10
(3) $\because$加速和减速时间都是$t$ s 且加减速路程都是$d$ km,$\therefore$加速和减速的总时间为$2t=400\ \mathrm{s}=\dfrac{1}{9}\ \mathrm{h}$. $\therefore$匀速行驶的时间为$(T-\dfrac{1}{9})\ \mathrm{h}$,匀速行驶的路程为$(x-20)\ \mathrm{km}$,速度为$360\ \mathrm{km/h}$,$\therefore T-\dfrac{1}{9}=\dfrac{x-20}{360}$.$\therefore T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$. $\therefore$列车全程行驶的时间$T$关于$x$的函数解析式为$T=\dfrac{x}{360}+\dfrac{1}{18}$
(4) $\because v=0$,$v_0=180\ \mathrm{km/h}=50\ \mathrm{m/s}$,$a=-0.5\ \mathrm{m/s}^2$,$\therefore t=\dfrac{0-50}{-0.5}=100(\mathrm{s})$.$\therefore s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2=50×100+\dfrac{1}{2}×(-0.5)×100^2=2\ 500(\mathrm{m})$.$\therefore2\ 500\ \mathrm{m}=2.5\ \mathrm{km}$.$\because2.5\ \mathrm{km}＞2\ \mathrm{km}$,$\therefore$列车不能安全停车 想法:高铁制动距离长、反应时间极短,切勿进入轨道,安全意识一刻也不能松懈(言之有理即可)
解析
【分析】
本题围绕高铁运动的匀变速直线运动展开，需注意不同速度单位（km/h与m/s）的统一，运用匀变速直线运动的速度公式、位移公式解决计算问题，再结合实际场景分析安全问题，同时需掌握函数解析式的推导方法。
(1) 求加速时间：利用速度公式$v=v_0+at$，先将最高速度转换为m/s，代入初始速度$v_0=0$和加速度$a$，即可计算加速时间。
(2) 求加速路程：利用位移公式$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$，代入(1)中得到的时间和加速度，计算后将单位从m转换为km。
(3) 推导全程时间函数：先计算加减速总时间并转换为小时，再算出匀速行驶的路程，根据“时间=路程÷速度”得到匀速时间，总时间为加减速时间加匀速时间，整理成关于$x$的函数。
(4) 判断能否安全停车：先计算列车从180km/h减速到0的制动距离，转换单位后与2km比较，若制动距离大于2km则不能安全停车，再结合实际谈安全意识。
【解析】
(1) 单位换算：最高速度$v=360\ \mathrm{km/h}=100\ \mathrm{m/s}$，初始速度$v_0=0$，加速度$a=0.5\ \mathrm{m/s}^2$。根据速度公式$v=v_0+at$，变形得$t=\frac{v-v_0}{a}=\frac{100-0}{0.5}=200\ \mathrm{s}$。
(2) 代入位移公式：$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2=0×200+\frac{1}{2}×0.5×200^2=10000\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{km}$，即$d=10\ \mathrm{km}$。
(3) 加减速总时间：$2t=400\ \mathrm{s}=\frac{1}{9}\ \mathrm{h}$，加减速总路程$2d=20\ \mathrm{km}$。匀速行驶路程为$(x-20)\ \mathrm{km}$，速度$360\ \mathrm{km/h}$，匀速时间为$\frac{x-20}{360}\ \mathrm{h}$。全程时间$T=\frac{1}{9}+\frac{x-20}{360}$，整理得$T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$。
(4) 单位换算：初始速度$v_0=180\ \mathrm{km/h}=50\ \mathrm{m/s}$，末速度$v=0$，减速度$a=-0.5\ \mathrm{m/s}^2$。制动时间$t=\frac{0-50}{-0.5}=100\ \mathrm{s}$，制动路程$s=50×100+\frac{1}{2}×(-0.5)×100^2=2500\ \mathrm{m}=2.5\ \mathrm{km}$。因为$2.5\ \mathrm{km}＞2\ \mathrm{km}$，所以列车不能安全停车。想法：高铁制动距离长，切勿靠近轨道，需增强安全意识，遵守安全规则。
【答案】
(1) 200；(2)10；(3)$T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$；(4)列车不能安全停车，想法略（言之有理即可）
【知识点】
匀变速直线运动公式、单位换算、函数解析式
【点评】
本题结合高铁实际场景，考察匀变速直线运动公式的应用，注重单位统一的细节，同时渗透安全意识教育，是一道联系实际的综合题。
【难度系数】
0.6
本题围绕高铁运动的匀变速直线运动展开，需注意不同速度单位（km/h与m/s）的统一，运用匀变速直线运动的速度公式、位移公式解决计算问题，再结合实际场景分析安全问题，同时需掌握函数解析式的推导方法。
(1) 求加速时间：利用速度公式$v=v_0+at$，先将最高速度转换为m/s，代入初始速度$v_0=0$和加速度$a$，即可计算加速时间。
(2) 求加速路程：利用位移公式$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2$，代入(1)中得到的时间和加速度，计算后将单位从m转换为km。
(3) 推导全程时间函数：先计算加减速总时间并转换为小时，再算出匀速行驶的路程，根据“时间=路程÷速度”得到匀速时间，总时间为加减速时间加匀速时间，整理成关于$x$的函数。
(4) 判断能否安全停车：先计算列车从180km/h减速到0的制动距离，转换单位后与2km比较，若制动距离大于2km则不能安全停车，再结合实际谈安全意识。
【解析】
(1) 单位换算：最高速度$v=360\ \mathrm{km/h}=100\ \mathrm{m/s}$，初始速度$v_0=0$，加速度$a=0.5\ \mathrm{m/s}^2$。根据速度公式$v=v_0+at$，变形得$t=\frac{v-v_0}{a}=\frac{100-0}{0.5}=200\ \mathrm{s}$。
(2) 代入位移公式：$s=v_0t+\frac{1}{2}at^2=0×200+\frac{1}{2}×0.5×200^2=10000\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{km}$，即$d=10\ \mathrm{km}$。
(3) 加减速总时间：$2t=400\ \mathrm{s}=\frac{1}{9}\ \mathrm{h}$，加减速总路程$2d=20\ \mathrm{km}$。匀速行驶路程为$(x-20)\ \mathrm{km}$，速度$360\ \mathrm{km/h}$，匀速时间为$\frac{x-20}{360}\ \mathrm{h}$。全程时间$T=\frac{1}{9}+\frac{x-20}{360}$，整理得$T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$。
(4) 单位换算：初始速度$v_0=180\ \mathrm{km/h}=50\ \mathrm{m/s}$，末速度$v=0$，减速度$a=-0.5\ \mathrm{m/s}^2$。制动时间$t=\frac{0-50}{-0.5}=100\ \mathrm{s}$，制动路程$s=50×100+\frac{1}{2}×(-0.5)×100^2=2500\ \mathrm{m}=2.5\ \mathrm{km}$。因为$2.5\ \mathrm{km}＞2\ \mathrm{km}$，所以列车不能安全停车。想法：高铁制动距离长，切勿靠近轨道，需增强安全意识，遵守安全规则。
【答案】
(1) 200；(2)10；(3)$T=\frac{x}{360}+\frac{1}{18}$；(4)列车不能安全停车，想法略（言之有理即可）
【知识点】
匀变速直线运动公式、单位换算、函数解析式
【点评】
本题结合高铁实际场景，考察匀变速直线运动公式的应用，注重单位统一的细节，同时渗透安全意识教育，是一道联系实际的综合题。
【难度系数】
0.6
