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9. 如图4，已知点A在反比例函数图象上，过点A作AB⊥x轴于点B.若△AOB的面积为1，则此反比例函数的解析式为(
A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=-\dfrac{2}{x}$
C.$y=\dfrac{1}{x}$
D.$y=-\dfrac{1}{x}$
A
).A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=-\dfrac{2}{x}$
C.$y=\dfrac{1}{x}$
D.$y=-\dfrac{1}{x}$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时可先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先设出反比例函数解析式，结合已知的三角形面积求出$|k|$，再根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的值即可得到函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(x,y)$。
∵$AB⊥ x$轴，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∵点A在反比例函数图象上，
∴$xy=k$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=1$，代入得$\frac{1}{2}|k|=1$，解得$|k|=2$，即$k=\pm2$。
由图可知反比例函数图象位于第一、三象限，因此$k＞0$，故$k=2$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的图象与性质
3. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时要注意结合函数图象的位置判断k的符号，避免因忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时可先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先设出反比例函数解析式，结合已知的三角形面积求出$|k|$，再根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的值即可得到函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(x,y)$。
∵$AB⊥ x$轴，
∴$OB=|x|$，$AB=|y|$，
∵点A在反比例函数图象上，
∴$xy=k$。
$△ AOB$的面积$S=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=1$，代入得$\frac{1}{2}|k|=1$，解得$|k|=2$，即$k=\pm2$。
由图可知反比例函数图象位于第一、三象限，因此$k＞0$，故$k=2$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的图象与性质
3. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题时要注意结合函数图象的位置判断k的符号，避免因忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.8
10. 密度计浸在液体中的深度$h$(单位:cm)与液体的密度$\rho$(单位:g/cm³,$\rho＞0$)是反比例函数关系,为$h=\frac{20}{\rho}$.当$10＜\rho＜40$时,密度计浸在液体中的深度$h$的取值范围为(
A.$1＜h＜2$
B.$2＜h＜4$
C.$\frac{1}{2}＜h＜1$
D.$\frac{1}{2}＜h＜2$
D
).A.$1＜h＜2$
B.$2＜h＜4$
C.$\frac{1}{2}＜h＜1$
D.$\frac{1}{2}＜h＜2$
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题思路如下：第一步，先根据反比例函数解析式确定k的正负，判断函数在ρ＞0范围内的增减性；第二步，分别计算自变量ρ取区间端点10和40时对应的h值；第三步，结合函数的增减性对应不等号方向，确定h的取值范围，注意不要颠倒大小关系。
【解析】
解：已知反比例函数为$h=\frac{20}{\rho}$，其中比例系数$k=20＞0$，且$\rho＞0$，因此在$\rho＞0$的区间内，h随ρ的增大而减小。
当$\rho=10$时，代入解析式得：$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，代入解析式得：$h=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$；
因为$10＜\rho＜40$，且h随ρ增大而减小，所以h的取值范围为$\frac{1}{2}＜h＜2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，函数值范围计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是结合自变量的取值范围和函数增减性推导函数值的范围，需注意增减性与不等号方向的对应关系，避免出错。
【难度系数】
0.75
本题考查反比例函数增减性的应用，解题思路如下：第一步，先根据反比例函数解析式确定k的正负，判断函数在ρ＞0范围内的增减性；第二步，分别计算自变量ρ取区间端点10和40时对应的h值；第三步，结合函数的增减性对应不等号方向，确定h的取值范围，注意不要颠倒大小关系。
【解析】
解：已知反比例函数为$h=\frac{20}{\rho}$，其中比例系数$k=20＞0$，且$\rho＞0$，因此在$\rho＞0$的区间内，h随ρ的增大而减小。
当$\rho=10$时，代入解析式得：$h=\frac{20}{10}=2$；
当$\rho=40$时，代入解析式得：$h=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$；
因为$10＜\rho＜40$，且h随ρ增大而减小，所以h的取值范围为$\frac{1}{2}＜h＜2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，函数值范围计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考查反比例函数增减性的应用，解题关键是结合自变量的取值范围和函数增减性推导函数值的范围，需注意增减性与不等号方向的对应关系，避免出错。
【难度系数】
0.75
二、填空题
11. 若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点$A(-3,4)$和点$B(2,a)$两点，则$a=$
11. 若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点$A(-3,4)$和点$B(2,a)$两点，则$a=$
-6
.答案
11. -6
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆反比例函数的性质，反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标代入解析式$y=\frac{k}{x}$都成立，因此可以先利用已知点A的坐标求出常数k的值，确定反比例函数的完整解析式；再将点B的横坐标代入已求出的解析式，即可计算得到a的值。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-3,4)$
∴ 把$x=-3$，$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=4×(-3)=-12$
∴ 该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$
又
∵ 点$B(2,a)$在该反比例函数的图象上
∴ 把$x=2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$a=-\frac{12}{2}=-6$
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，主要考查函数图象与解析式的对应关系，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速解答，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先回忆反比例函数的性质，反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标代入解析式$y=\frac{k}{x}$都成立，因此可以先利用已知点A的坐标求出常数k的值，确定反比例函数的完整解析式；再将点B的横坐标代入已求出的解析式，即可计算得到a的值。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-3,4)$
∴ 把$x=-3$，$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=4×(-3)=-12$
∴ 该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$
又
∵ 点$B(2,a)$在该反比例函数的图象上
∴ 把$x=2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得：
$a=-\frac{12}{2}=-6$
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，主要考查函数图象与解析式的对应关系，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速解答，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
12. 若反比例函数$y=\dfrac{k+4}{x}$的图象在第二、第四象限，则$k$的取值范围是
$k＜-4$
。答案
12. $k＜-4$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，若图象在第二、四象限，则$m＜0$。本题中反比例函数的比例系数为$k+4$，因此只需根据图象位置列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。
已知反比例函数$y=\frac{k+4}{x}$的图象在第二、第四象限，因此比例系数满足：
$k+4＜0$
移项解得：$k＜-4$
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，解题时只需准确对应系数列不等式求解即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的图象所在象限由比例系数$m$的符号决定，若图象在第二、四象限，则$m＜0$。本题中反比例函数的比例系数为$k+4$，因此只需根据图象位置列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。
已知反比例函数$y=\frac{k+4}{x}$的图象在第二、第四象限，因此比例系数满足：
$k+4＜0$
移项解得：$k＜-4$
【答案】
$k＜-4$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，解题时只需准确对应系数列不等式求解即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图5，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则反比例函数的解析式为
$y=-\frac{8}{x}$
。答案
13. $y=-\frac{8}{x}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。解题步骤可分为三步：第一步利用三角形面积列等式求出$|k|$；第二步根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负；第三步代入k的值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|$。
已知$△ AOM$的面积为4，代入得：$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$，即$k=\pm8$。
观察图象可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题时需注意不能忽略反比例函数图象所在象限对k符号的影响，避免出现只算绝对值错得$y=\frac{8}{x}$的失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆反比例函数中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。解题步骤可分为三步：第一步利用三角形面积列等式求出$|k|$；第二步根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负；第三步代入k的值即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|$。
已知$△ AOM$的面积为4，代入得：$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$，即$k=\pm8$。
观察图象可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题时需注意不能忽略反比例函数图象所在象限对k符号的影响，避免出现只算绝对值错得$y=\frac{8}{x}$的失误。
【难度系数】
0.7
14. 研究发现,近视镜的度数y(单位:度)与镜片焦距x(单位:m)成反比例函数关系.小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25 m,经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康,现在镜片焦距为0.4 m,则小明的近视镜度数调整为
250
度.答案
14. 250
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据近视镜度数y与镜片焦距x成反比例的关系，设出反比例函数的一般形式；再将已知的x=0.25、y=400代入解析式，求出比例系数k，确定完整的函数解析式；最后将矫正后的焦距x=0.4代入解析式，计算得到调整后的眼镜度数。
【解析】
因为近视镜的度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，所以设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x＞0 $）。
将 $ x=0.25 $，$ y=400 $ 代入解析式得：
$ 400 = \frac{k}{0.25} $
解得 $ k = 400 × 0.25 = 100 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{100}{x} $。
当镜片焦距 $ x=0.4 \, \mathrm{m} $ 时，代入解析式得：
$ y = \frac{100}{0.4} = 250 $
即小明的近视镜度数调整为250度。
【答案】
250
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，贴近生活实际，解题核心是先利用已知对应值确定反比例函数的系数，再代入未知量求解，主要考查学生对反比例函数基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据近视镜度数y与镜片焦距x成反比例的关系，设出反比例函数的一般形式；再将已知的x=0.25、y=400代入解析式，求出比例系数k，确定完整的函数解析式；最后将矫正后的焦距x=0.4代入解析式，计算得到调整后的眼镜度数。
【解析】
因为近视镜的度数y与镜片焦距x成反比例函数关系，所以设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ x＞0 $）。
将 $ x=0.25 $，$ y=400 $ 代入解析式得：
$ 400 = \frac{k}{0.25} $
解得 $ k = 400 × 0.25 = 100 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{100}{x} $。
当镜片焦距 $ x=0.4 \, \mathrm{m} $ 时，代入解析式得：
$ y = \frac{100}{0.4} = 250 $
即小明的近视镜度数调整为250度。
【答案】
250
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，贴近生活实际，解题核心是先利用已知对应值确定反比例函数的系数，再代入未知量求解，主要考查学生对反比例函数基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
15. 如图6，平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为5 cm，2 cm，直尺的宽度为1 cm，OB=1 cm.(注:平面直角坐标系的1个单位长度为1 cm)
(1)求点A的坐标及反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的解析式；
(2)求点C的坐标.
15. 如图6，平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为5 cm，2 cm，直尺的宽度为1 cm，OB=1 cm.(注:平面直角坐标系的1个单位长度为1 cm)
(1)求点A的坐标及反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的解析式；
(2)求点C的坐标.
答案
15. (1)
∵平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为5 cm，2 cm，
∴AB=5−2=3(cm).
∵OB=1 cm，AB//y轴，
∴A(1,3). 把A(1,3)代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$3=\frac{k}{1}$，解得k=3，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$ (2)
∵OB=1 cm，
∴OD=OB+BD=2(cm).
∴点C的横坐标为2，当x=2时，$y=\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为$(2,\frac{3}{2})$
∵平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为5 cm，2 cm，
∴AB=5−2=3(cm).
∵OB=1 cm，AB//y轴，
∴A(1,3). 把A(1,3)代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$3=\frac{k}{1}$，解得k=3，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$ (2)
∵OB=1 cm，
∴OD=OB+BD=2(cm).
∴点C的横坐标为2，当x=2时，$y=\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为$(2,\frac{3}{2})$
解析
【分析】
（1）求解点A坐标时，先根据OB的长度确定A点的横坐标，再通过A、B的刻度差计算得到AB的长度，也就是A点的纵坐标；得到A点坐标后，将其代入反比例函数表达式即可求出k的值，进而得到反比例函数的解析式。
（2）求解点C坐标时，首先根据直尺的宽度得到D点的横坐标，也就是C点的横坐标，再将横坐标代入已求出的反比例函数解析式，计算得到对应的纵坐标，即可得到C点的坐标。
【解析】
(1)
∵平行于y轴的直尺与反比例函数图象交于点A、C，与x轴交于点B、D，点A、B的刻度分别为5 cm、2 cm，
∴AB=5−2=3(cm)。
∵OB=1 cm，AB//y轴，
∴点A的横坐标为1，纵坐标为3，即A(1,3)。
把A(1,3)代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$3=\frac{k}{1}$，解得k=3，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
(2)
∵直尺的宽度为1 cm，即BD=1 cm，
∴OD=OB+BD=1+1=2(cm)，即点C的横坐标为2。
将x=2代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}(x＞0)}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(2,\frac{3}{2})}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质
【点评】
本题结合直尺的实际场景考查反比例函数的基础应用，解题的关键是将题干中的长度信息正确对应为平面直角坐标系内点的坐标，计算量小，只要理清坐标和实际长度的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求解点A坐标时，先根据OB的长度确定A点的横坐标，再通过A、B的刻度差计算得到AB的长度，也就是A点的纵坐标；得到A点坐标后，将其代入反比例函数表达式即可求出k的值，进而得到反比例函数的解析式。
（2）求解点C坐标时，首先根据直尺的宽度得到D点的横坐标，也就是C点的横坐标，再将横坐标代入已求出的反比例函数解析式，计算得到对应的纵坐标，即可得到C点的坐标。
【解析】
(1)
∵平行于y轴的直尺与反比例函数图象交于点A、C，与x轴交于点B、D，点A、B的刻度分别为5 cm、2 cm，
∴AB=5−2=3(cm)。
∵OB=1 cm，AB//y轴，
∴点A的横坐标为1，纵坐标为3，即A(1,3)。
把A(1,3)代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$3=\frac{k}{1}$，解得k=3，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}(x＞0)$。
(2)
∵直尺的宽度为1 cm，即BD=1 cm，
∴OD=OB+BD=1+1=2(cm)，即点C的横坐标为2。
将x=2代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为$(2,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}(x＞0)}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(2,\frac{3}{2})}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质
【点评】
本题结合直尺的实际场景考查反比例函数的基础应用，解题的关键是将题干中的长度信息正确对应为平面直角坐标系内点的坐标，计算量小，只要理清坐标和实际长度的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
