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2. 如图26.2-10所示，抛物线的函数解析式是(
A.$y=x^2 - x + 2$
B.$y=x^2 + x + 2$
C.$y=-x^2 - x + 2$
D.$y=-x^2 + x + 2$
D
).A.$y=x^2 - x + 2$
B.$y=x^2 + x + 2$
C.$y=-x^2 - x + 2$
D.$y=-x^2 + x + 2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从图象特征入手：①抛物线开口向下，可判断二次项系数小于0，先排除开口向上的选项；②再结合图象上已知的交点坐标（与x轴交点(-1,0)、(2,0)，与y轴交点(0,2)），用待定系数法求解析式，或者代入剩余选项验证即可得到正确答案。
【解析】
步骤1：判断二次项系数符号
由抛物线开口向下，可知二次项系数$a＜0$，选项A、B中$a=1＞0$，不符合图象特征，排除A、B。
步骤2：用待定系数法求解析式
已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$，设交点式为$y=a(x+1)(x-2)$，
将抛物线与y轴的交点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a×(0+1)×(0-2)$
解得$a=-1$，
因此解析式为$y=-(x+1)(x-2)$，展开得：
$y=-(x^2 - 2x + x - 2) = -x^2 + x + 2$，对应选项D。
也可通过代入验证：将$x=2$代入选项C，得$y=-4-2+2=-4≠0$，排除C，最终选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，解题时可先通过图象的开口方向、交点等特征快速排除错误选项，再结合点的坐标验证或用待定系数法计算，能有效简化解题过程，减少计算量。
【难度系数】
0.7
解题时先从图象特征入手：①抛物线开口向下，可判断二次项系数小于0，先排除开口向上的选项；②再结合图象上已知的交点坐标（与x轴交点(-1,0)、(2,0)，与y轴交点(0,2)），用待定系数法求解析式，或者代入剩余选项验证即可得到正确答案。
【解析】
步骤1：判断二次项系数符号
由抛物线开口向下，可知二次项系数$a＜0$，选项A、B中$a=1＞0$，不符合图象特征，排除A、B。
步骤2：用待定系数法求解析式
已知抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$，设交点式为$y=a(x+1)(x-2)$，
将抛物线与y轴的交点$(0,2)$代入解析式，得：
$2=a×(0+1)×(0-2)$
解得$a=-1$，
因此解析式为$y=-(x+1)(x-2)$，展开得：
$y=-(x^2 - 2x + x - 2) = -x^2 + x + 2$，对应选项D。
也可通过代入验证：将$x=2$代入选项C，得$y=-4-2+2=-4≠0$，排除C，最终选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的确定，解题时可先通过图象的开口方向、交点等特征快速排除错误选项，再结合点的坐标验证或用待定系数法计算，能有效简化解题过程，减少计算量。
【难度系数】
0.7
3. 下列二次函数中，图象以直线$x=2$为对称轴，且经过点$(0,1)$的是(
A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x+2)^2 -3$
C
).A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x+2)^2 +1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x+2)^2 -3$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时可分两步筛选：第一步先根据对称轴条件排除不符合的选项，二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴是$x=2$，因此可先排除对称轴不是$x=2$的选项；第二步将点$(0,1)$代入剩余选项，验证哪个选项满足点在函数图象上即可。
【解析】
1. 根据二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数，对称轴为直线$x=h$。
题目要求图象以直线$x=2$为对称轴，因此$h=2$：
选项B：$y=(x+2)^2+1$中$h=-2$，对称轴为$x=-2$，排除；
选项D：$y=(x+2)^2-3$中$h=-2$，对称轴为$x=-2$，排除。
2. 剩余A、C两个选项，将点$(0,1)$代入验证：
代入A选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合要求，排除；
代入C选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称轴，函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是掌握二次函数顶点式中参数与对称轴的对应关系，同时学会用代入点坐标的方法验证解析式是否符合要求，解题时用排除法可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步筛选：第一步先根据对称轴条件排除不符合的选项，二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，题目要求对称轴是$x=2$，因此可先排除对称轴不是$x=2$的选项；第二步将点$(0,1)$代入剩余选项，验证哪个选项满足点在函数图象上即可。
【解析】
1. 根据二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数，对称轴为直线$x=h$。
题目要求图象以直线$x=2$为对称轴，因此$h=2$：
选项B：$y=(x+2)^2+1$中$h=-2$，对称轴为$x=-2$，排除；
选项D：$y=(x+2)^2-3$中$h=-2$，对称轴为$x=-2$，排除。
2. 剩余A、C两个选项，将点$(0,1)$代入验证：
代入A选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2+1=4+1=5≠1$，不符合要求，排除；
代入C选项：当$x=0$时，$y=(0-2)^2-3=4-3=1$，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数对称轴，函数图象上点的特征
【点评】
本题是二次函数基础题，解题核心是掌握二次函数顶点式中参数与对称轴的对应关系，同时学会用代入点坐标的方法验证解析式是否符合要求，解题时用排除法可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 要得到二次函数 $y=-x^2+2x-2$ 的图象，需将 $y=-x^2$ 的图象(
A.向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D
).A.向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案
4. D
解析
【分析】
要判断二次函数图象的平移方式，我们可以利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律解题，具体思路如下：首先需要将目标二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，得到它的顶点坐标，再和原函数$y=-x^2$的顶点坐标对比，就能得出具体的平移方向和距离。
【解析】
第一步：用配方法将$y=-x^2+2x-2$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x-2\\&=-(x^2-2x)-2\\&=-(x^2-2x+1-1)-2\\&=-(x-1)^2+1-2\\&=-(x-1)^2-1\end{aligned}$
第二步：对比两个函数的顶点坐标：
原函数$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$，变形后函数的顶点为$(1,-1)$。
第三步：根据平移规律判断：
横坐标从0到1，说明图象向右平移1个单位长度；纵坐标从0到-1，说明图象向下平移1个单位长度。
因此需将$y=-x^2$的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律，配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础常考题，解题核心是先将一般式转化为顶点式明确顶点变化，再结合平移规则即可快速求解，熟练掌握配方法和平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象的平移方式，我们可以利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律解题，具体思路如下：首先需要将目标二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，得到它的顶点坐标，再和原函数$y=-x^2$的顶点坐标对比，就能得出具体的平移方向和距离。
【解析】
第一步：用配方法将$y=-x^2+2x-2$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x-2\\&=-(x^2-2x)-2\\&=-(x^2-2x+1-1)-2\\&=-(x-1)^2+1-2\\&=-(x-1)^2-1\end{aligned}$
第二步：对比两个函数的顶点坐标：
原函数$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$，变形后函数的顶点为$(1,-1)$。
第三步：根据平移规律判断：
横坐标从0到1，说明图象向右平移1个单位长度；纵坐标从0到-1，说明图象向下平移1个单位长度。
因此需将$y=-x^2$的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律，配方法化顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础常考题，解题核心是先将一般式转化为顶点式明确顶点变化，再结合平移规则即可快速求解，熟练掌握配方法和平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 关于二次函数$y=2x^2+4x-1$，下列说法正确的是(
A.图象与$y$轴的公共点坐标为$(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.$y$的最小值为$-3$
D
).A.图象与$y$轴的公共点坐标为$(0,1)$
B.图象的对称轴在$y$轴的右侧
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
D.$y$的最小值为$-3$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题时先提取二次函数的各项系数$a=2$，$b=4$，$c=-1$，再结合二次函数交点坐标、对称轴、增减性、最值的相关性质，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，其中$a=2$，$b=4$，$c=-1$，逐个分析选项：
A选项：图象与$y$轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式得$y=-1$，故交点坐标为$(0,-1)$，A错误；
B选项：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{4}{2×2}=-1$，在$y$轴左侧，B错误；
C选项：$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$，则$x＜-1$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞-1$时$y$随$x$的增大而增大，因此当$-1＜x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D选项：抛物线开口向上，顶点处取得最小值，将$x=-1$代入解析式得$y=2×(-1)^2+4×(-1)-1=-3$，即$y$的最小值为$-3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，熟练掌握二次函数各项性质的计算方法，用排除法即可快速选出正确答案，是高频基础考点。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的图象与性质，解题时先提取二次函数的各项系数$a=2$，$b=4$，$c=-1$，再结合二次函数交点坐标、对称轴、增减性、最值的相关性质，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，其中$a=2$，$b=4$，$c=-1$，逐个分析选项：
A选项：图象与$y$轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式得$y=-1$，故交点坐标为$(0,-1)$，A错误；
B选项：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{4}{2×2}=-1$，在$y$轴左侧，B错误；
C选项：$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$，则$x＜-1$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞-1$时$y$随$x$的增大而增大，因此当$-1＜x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D选项：抛物线开口向上，顶点处取得最小值，将$x=-1$代入解析式得$y=2×(-1)^2+4×(-1)-1=-3$，即$y$的最小值为$-3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，熟练掌握二次函数各项性质的计算方法，用排除法即可快速选出正确答案，是高频基础考点。
【难度系数】
0.7
6. 已知抛物线 $ y = ax^2 + x + 2 $ 经过点(-1,0)，则 $ a = $
-1
，这条抛物线的开口向 下
。答案
6. -1 下
解析
【分析】
要解决这道题，第一步利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点(-1,0)的横、纵坐标代入抛物线解析式，得到仅含未知数a的方程，解方程即可求出a的值；第二步根据二次函数的性质，抛物线开口方向由二次项系数a的符号决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，结合求出的a的符号即可判断开口方向。
【解析】
∵ 抛物线 $ y = ax^2 + x + 2 $ 经过点$(-1,0)$
∴ 将$x=-1$，$y=0$代入解析式得：
$0=a×(-1)^2 + (-1) + 2$
化简得：$0=a+1$
解得：$a=-1$
∵ 二次项系数$a=-1＜0$
∴ 这条抛物线的开口向下。
【答案】
-1；下
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系，以及二次项系数对抛物线开口方向的影响规律。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，第一步利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将已知点(-1,0)的横、纵坐标代入抛物线解析式，得到仅含未知数a的方程，解方程即可求出a的值；第二步根据二次函数的性质，抛物线开口方向由二次项系数a的符号决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，结合求出的a的符号即可判断开口方向。
【解析】
∵ 抛物线 $ y = ax^2 + x + 2 $ 经过点$(-1,0)$
∴ 将$x=-1$，$y=0$代入解析式得：
$0=a×(-1)^2 + (-1) + 2$
化简得：$0=a+1$
解得：$a=-1$
∵ 二次项系数$a=-1＜0$
∴ 这条抛物线的开口向下。
【答案】
-1；下
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握函数图象与点坐标的对应关系，以及二次项系数对抛物线开口方向的影响规律。
【难度系数】
0.9
7. 二次函数$y=x^2 -2x +6$的最小值是
5
。答案
7. 5
解析
【分析】
首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标。求顶点纵坐标可采用两种九年级要求掌握的方法：①配方法：将函数解析式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，$k$即为最值；②顶点坐标公式：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入对应系数即可求出最小值。
【解析】
方法一：配方法
对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x+6\\&=x^2-2x+1+5\\&=(x-1)^2+5\end{aligned}$
$\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore$当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值0，此时$y$的最小值为$0+5=5$。
方法二：公式法
对于$y=x^2-2x+6$，对应系数为$a=1$，$b=-2$，$c=6$，
$\because a=1＞0$，函数开口向上，存在最小值，
代入顶点纵坐标公式得最小值：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6-(-2)^2}{4×1}=\frac{24-4}{4}=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的性质；配方法；二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，重点考查对二次函数开口方向与最值关系的理解，以及配方法或顶点坐标公式的应用，是二次函数模块需要熟练掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.85
首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标。求顶点纵坐标可采用两种九年级要求掌握的方法：①配方法：将函数解析式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，$k$即为最值；②顶点坐标公式：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入对应系数即可求出最小值。
【解析】
方法一：配方法
对二次函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x+6\\&=x^2-2x+1+5\\&=(x-1)^2+5\end{aligned}$
$\because (x-1)^2≥0$，
$\therefore$当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值0，此时$y$的最小值为$0+5=5$。
方法二：公式法
对于$y=x^2-2x+6$，对应系数为$a=1$，$b=-2$，$c=6$，
$\because a=1＞0$，函数开口向上，存在最小值，
代入顶点纵坐标公式得最小值：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×6-(-2)^2}{4×1}=\frac{24-4}{4}=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的性质；配方法；二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数最值的基础题型，重点考查对二次函数开口方向与最值关系的理解，以及配方法或顶点坐标公式的应用，是二次函数模块需要熟练掌握的核心基础内容。
【难度系数】
0.85
8. 将二次函数$y=2x^2 -1$的图象向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为。
答案
解：根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将函数$y=2x^2 -1$的图象向上平移2个单位长度，函数整体值增加2。
可得平移后的解析式为：
$y=2x^2 -1 + 2$
整理得：$y=2x^2 +1$
所得函数的解析式为$\boldsymbol{y=2x^2 +1}$。
可得平移后的解析式为：
$y=2x^2 -1 + 2$
整理得：$y=2x^2 +1$
所得函数的解析式为$\boldsymbol{y=2x^2 +1}$。
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移变换，解题时首先回忆函数图象平移的规律：上下平移时针对函数整体值进行“上加下减”操作，左右平移时针对自变量x进行“左加右减”操作。本题明确是向上平移2个单位长度，因此只需要在原函数解析式的基础上整体加上2，再化简整理即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律：图象向上平移n个单位，函数解析式整体加n；向下平移n个单位，函数解析式整体减n。
将函数$y=2x^2 -1$的图象向上平移2个单位长度，需给原函数整体加2，可得：
$y=2x^2 -1 + 2$
整理得：$y=2x^2 +1$
【答案】
$\boldsymbol{y=2x^2 +1}$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移变换规则，只要熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀，明确上下平移是对函数整体值进行加减、左右平移是对自变量x进行加减，即可快速准确求解，注意不要混淆上下和左右平移的加减对象。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的上下平移变换，解题时首先回忆函数图象平移的规律：上下平移时针对函数整体值进行“上加下减”操作，左右平移时针对自变量x进行“左加右减”操作。本题明确是向上平移2个单位长度，因此只需要在原函数解析式的基础上整体加上2，再化简整理即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
根据二次函数图象平移“上加下减”的规律：图象向上平移n个单位，函数解析式整体加n；向下平移n个单位，函数解析式整体减n。
将函数$y=2x^2 -1$的图象向上平移2个单位长度，需给原函数整体加2，可得：
$y=2x^2 -1 + 2$
整理得：$y=2x^2 +1$
【答案】
$\boldsymbol{y=2x^2 +1}$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移变换规则，只要熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀，明确上下平移是对函数整体值进行加减、左右平移是对自变量x进行加减，即可快速准确求解，注意不要混淆上下和左右平移的加减对象。
【难度系数】
0.9
9. 抛物线 $y=ax^2+x+c$ 与 $x$ 轴的公共点是$(-1,0),(3,0)$，求这条抛物线的对称轴.
答案
解：
∵抛物线与x轴的两个交点$(-1,0)$、$(3,0)$是关于抛物线对称轴对称的点，
∴这条抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
∵抛物线与x轴的两个交点$(-1,0)$、$(3,0)$是关于抛物线对称轴对称的点，
∴这条抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
解析
【分析】
首先回忆二次函数的图象性质：抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点是关于对称轴对称的点，两点到对称轴的距离相等，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标的算术平均数，无需代入点坐标求解a、c的值，直接利用该性质即可快速算出对称轴。
【解析】
∵抛物线与x轴的两个交点$(-1,0)$、$(3,0)$是关于抛物线对称轴对称的点，
∴这条抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
【答案】
直线$x=1$
【知识点】
二次函数的对称性；抛物线对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称轴求解的基础题，解题时无需计算解析式的未知参数，直接利用抛物线与x轴交点的对称性质即可快速得到结果，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数的图象性质：抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点是关于对称轴对称的点，两点到对称轴的距离相等，因此对称轴的横坐标为两个交点横坐标的算术平均数，无需代入点坐标求解a、c的值，直接利用该性质即可快速算出对称轴。
【解析】
∵抛物线与x轴的两个交点$(-1,0)$、$(3,0)$是关于抛物线对称轴对称的点，
∴这条抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
【答案】
直线$x=1$
【知识点】
二次函数的对称性；抛物线对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称轴求解的基础题，解题时无需计算解析式的未知参数，直接利用抛物线与x轴交点的对称性质即可快速得到结果，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
10. 如图26.2-11，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的顶点在第一象限，且过点$(0,1)$和$(-1,0)$。有下列结论：①$ab＜0$；②$0＜a+b+c＜2$；③$0＜b＜1$；④当$x＞-1$时，$y＞0$。其中正确的结论有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先从已知的两个交点坐标入手，先求出c的值，推导a和b的数量关系，再结合抛物线的开口方向、对称轴位置、对称性等性质逐一判断四个结论：1. 由开口方向得a的符号，结合对称轴在y轴右侧推导b的符号，判断①；2. a+b+c是x=1时的函数值，结合抛物线与x轴交点的对称性判断x=1时函数值的范围，再结合a和b的关系推导范围判断②；3. 结合a＜0和a=b-1的关系推导b的取值范围判断③；4. 根据抛物线与x轴的两个交点位置，判断x＞-1时y的符号判断④。
【解析】
解：
∵二次函数过点$(0,1)$，将点代入解析式得$c=1$；
∵二次函数过点$(-1,0)$，代入得$a-b+c=0$，即$a = b-1$；
由图象可知抛物线开口向下，故$a＜0$；
抛物线对称轴在y轴右侧，由对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
∵$a＜0$，
∴$-b＜0$，即$b＞0$，因此$ab＜0$，结论①正确；
$a+b+c$是$x=1$时的函数值：
∵抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴在$x＞0$的位置，根据抛物线对称性，另一个交点的横坐标$x_0＞1$，
因此$x=1$时，函数图象在x轴上方，即$a+b+c＞0$；
又
∵$a = b-1 ＜0$，得$b＜1$，
∴$a+b+c = (b-1)+b+1=2b$，结合$0＜b＜1$，得$0＜2b＜2$，即$0＜a+b+c＜2$，结论②正确；
由上述推导可知$b＞0$且$b＜1$，即$0＜b＜1$，结论③正确；
对于结论④：
∵抛物线与x轴的另一个交点横坐标$x_0＞1$，因此当$x＞x_0$时，$y＜0$，即$x＞-1$时存在$y＜0$的情况，结论④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题的关键是将图象特征转化为系数的关系，结合对称性判断特殊点的函数值范围，逐一验证结论。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知的两个交点坐标入手，先求出c的值，推导a和b的数量关系，再结合抛物线的开口方向、对称轴位置、对称性等性质逐一判断四个结论：1. 由开口方向得a的符号，结合对称轴在y轴右侧推导b的符号，判断①；2. a+b+c是x=1时的函数值，结合抛物线与x轴交点的对称性判断x=1时函数值的范围，再结合a和b的关系推导范围判断②；3. 结合a＜0和a=b-1的关系推导b的取值范围判断③；4. 根据抛物线与x轴的两个交点位置，判断x＞-1时y的符号判断④。
【解析】
解：
∵二次函数过点$(0,1)$，将点代入解析式得$c=1$；
∵二次函数过点$(-1,0)$，代入得$a-b+c=0$，即$a = b-1$；
由图象可知抛物线开口向下，故$a＜0$；
抛物线对称轴在y轴右侧，由对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
∵$a＜0$，
∴$-b＜0$，即$b＞0$，因此$ab＜0$，结论①正确；
$a+b+c$是$x=1$时的函数值：
∵抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴在$x＞0$的位置，根据抛物线对称性，另一个交点的横坐标$x_0＞1$，
因此$x=1$时，函数图象在x轴上方，即$a+b+c＞0$；
又
∵$a = b-1 ＜0$，得$b＜1$，
∴$a+b+c = (b-1)+b+1=2b$，结合$0＜b＜1$，得$0＜2b＜2$，即$0＜a+b+c＜2$，结论②正确；
由上述推导可知$b＞0$且$b＜1$，即$0＜b＜1$，结论③正确；
对于结论④：
∵抛物线与x轴的另一个交点横坐标$x_0＞1$，因此当$x＞x_0$时，$y＜0$，即$x＞-1$时存在$y＜0$的情况，结论④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题的关键是将图象特征转化为系数的关系，结合对称性判断特殊点的函数值范围，逐一验证结论。
【难度系数】
0.65
11. 在平面直角坐标系中，函数$y=x^2 +4x +4$的图象经过点$(m,y_1)$和$(m+1,y_2)$.若$m＞0$,则$y_1$
＜
$y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
11. ＜
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路一：先将二次函数解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再结合二次函数的增减性判断大小。抛物线开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合m＞0的条件，可判断两个点的横坐标都在对称轴右侧，且m＜m+1，即可得出y₁和y₂的大小关系。思路二：将两个点的横坐标分别代入函数解析式，表示出y₁和y₂，通过作差法计算y₂与y₁的差，结合m＞0判断差的正负，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
对函数解析式变形得：$y=x^2 +4x +4=(x+2)^2$，
由此可知该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，
当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵ $m＞0$，
∴ $m+1＞m＞0＞-2$，即两个点的横坐标都在对称轴右侧，且$m ＜ m+1$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
方法二：作差法比较大小
将点$(m,y_1)$代入函数得：$y_1 = m^2 +4m +4$，
将点$(m+1,y_2)$代入函数得：$y_2=(m+1)^2 +4(m+1) +4 = m^2 + 6m +9$，
计算差值：$y_2 - y_1 = (m^2 +6m +9) - (m^2 +4m +4) = 2m +5$，
∵ $m＞0$，
∴ $2m +5 ＞ 0$，即$y_2 ＞ y_1$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性；作差法比较大小；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数基础应用类题目，两种解题方法都较为常规，核心是掌握二次函数的增减性规律，或熟练运用作差法比较代数式的大小，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：思路一：先将二次函数解析式化为顶点式，确定开口方向和对称轴，再结合二次函数的增减性判断大小。抛物线开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，结合m＞0的条件，可判断两个点的横坐标都在对称轴右侧，且m＜m+1，即可得出y₁和y₂的大小关系。思路二：将两个点的横坐标分别代入函数解析式，表示出y₁和y₂，通过作差法计算y₂与y₁的差，结合m＞0判断差的正负，即可比较两个函数值的大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
对函数解析式变形得：$y=x^2 +4x +4=(x+2)^2$，
由此可知该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，
当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵ $m＞0$，
∴ $m+1＞m＞0＞-2$，即两个点的横坐标都在对称轴右侧，且$m ＜ m+1$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
方法二：作差法比较大小
将点$(m,y_1)$代入函数得：$y_1 = m^2 +4m +4$，
将点$(m+1,y_2)$代入函数得：$y_2=(m+1)^2 +4(m+1) +4 = m^2 + 6m +9$，
计算差值：$y_2 - y_1 = (m^2 +6m +9) - (m^2 +4m +4) = 2m +5$，
∵ $m＞0$，
∴ $2m +5 ＞ 0$，即$y_2 ＞ y_1$，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性；作差法比较大小；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数基础应用类题目，两种解题方法都较为常规，核心是掌握二次函数的增减性规律，或熟练运用作差法比较代数式的大小，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
12. 二次函数$y=x^2+x+1$的最小值为
$\frac{3}{4}$
。答案
12. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点处的函数值就是函数的最小值。求解这类题有两种常用的课内方法：一是用配方法将一般式转化为顶点式，直接读取顶点纵坐标得到最小值；二是直接代入最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。本题中$a=1＞0$，存在最小值，任选上述方法即可求解。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2+x+1\\&=x^2+x+(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 +1\\&=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
∵$(x+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，最小值为$\frac{3}{4}$。
方法二（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最值公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题$a=1＞0$，存在最小值，代入$a=1,b=1,c=1$得：
最小值$=\frac{4×1×1 - 1^2}{4×1}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
二次函数最值；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，核心考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或最值公式，结合二次函数开口方向的性质即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点处的函数值就是函数的最小值。求解这类题有两种常用的课内方法：一是用配方法将一般式转化为顶点式，直接读取顶点纵坐标得到最小值；二是直接代入最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。本题中$a=1＞0$，存在最小值，任选上述方法即可求解。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$\begin{aligned}y&=x^2+x+1\\&=x^2+x+(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 +1\\&=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
∵$(x+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，最小值为$\frac{3}{4}$。
方法二（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最值公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题$a=1＞0$，存在最小值，代入$a=1,b=1,c=1$得：
最小值$=\frac{4×1×1 - 1^2}{4×1}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
二次函数最值；配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，核心考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或最值公式，结合二次函数开口方向的性质即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型题目。
【难度系数】
0.8
13.若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是
$\frac{21}{4}$
。答案
13. $\frac{21}{4}$
解析
【分析】
要求$2x+y$的最大值，首先可以从已知等式中用含$x$的代数式表示出$y$，再将$y$代入$2x+y$中，把所求式子转化为关于$x$的二次函数，再根据二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值）计算最大值即可。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，移项得：
$y = -x^2 + 3x - 1$
将$y = -x^2 + 3x - 1$代入$2x + y$，得：
$2x + y = 2x + (-x^2 + 3x - 1) = -x^2 + 5x - 1$
该式是关于$x$的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-1)} = \frac{5}{2}$时，$2x+y$取得最大值：
$-(\frac{5}{2})^2 + 5×\frac{5}{2} - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{21}{4}$
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
1. 代数式变形 2. 二次函数最值 3. 代入消元
【点评】
本题属于代数综合类基础题，解题核心是通过消元将二元代数式转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求解最值，这类题型是函数与代数式结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$2x+y$的最大值，首先可以从已知等式中用含$x$的代数式表示出$y$，再将$y$代入$2x+y$中，把所求式子转化为关于$x$的二次函数，再根据二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值）计算最大值即可。
【解析】
解：由已知方程$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，移项得：
$y = -x^2 + 3x - 1$
将$y = -x^2 + 3x - 1$代入$2x + y$，得：
$2x + y = 2x + (-x^2 + 3x - 1) = -x^2 + 5x - 1$
该式是关于$x$的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2×(-1)} = \frac{5}{2}$时，$2x+y$取得最大值：
$-(\frac{5}{2})^2 + 5×\frac{5}{2} - 1 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 1 = \frac{21}{4}$
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
1. 代数式变形 2. 二次函数最值 3. 代入消元
【点评】
本题属于代数综合类基础题，解题核心是通过消元将二元代数式转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求解最值，这类题型是函数与代数式结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
