登录
1. 通过配方,可以将二次函数$y=ax^2+bx+c$转化为$y=a(x-h)^2+k$,即$y=ax^2+bx+c$化成$y=$
(1)对称轴是直线$x=$
(2)顶点是
$a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
。(1)对称轴是直线$x=$
$-\dfrac{b}{2a}$
;(2)顶点是
$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
。答案
1. $a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
(1) $-\dfrac{b}{2a}$
(2) $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
(1) $-\dfrac{b}{2a}$
(2) $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要掌握二次函数一般式配方为顶点式的方法，以及顶点式对应的性质：首先对一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）进行配方，先提取二次项系数$a$，再凑完全平方，整理后得到顶点式，再根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$、顶点坐标为$(h,k)$，对应求出对称轴和顶点即可。
【解析】
我们对二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）逐步配方：
1. 提取二次项系数$a$，将含$x$的项放在括号内：
$y = a(x^2 + \dfrac{b}{a}x) + c$
2. 括号内加上并减去一次项系数一半的平方$(\dfrac{b}{2a})^2$，保证式子值不变：
$y = a[x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 - (\dfrac{b}{2a})^2] + c$
3. 将括号内前三项改写为完全平方形式：
$y = a[(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}] + c$
4. 展开括号并合并常数项：
$y = a(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c = a(x + \dfrac{b}{2a})^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$
结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：
(1) 对称轴为直线$x=h$，此处$h=-\dfrac{b}{2a}$，因此对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$；
(2) 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h$和$k$的值，得顶点为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
(1) $-\dfrac{b}{2a}$
(2) $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方、二次函数顶点式、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查一般式到顶点式的配方推导，以及顶点式对应的图像性质结论，熟练掌握配方步骤和相关结论是后续学习二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要掌握二次函数一般式配方为顶点式的方法，以及顶点式对应的性质：首先对一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）进行配方，先提取二次项系数$a$，再凑完全平方，整理后得到顶点式，再根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$、顶点坐标为$(h,k)$，对应求出对称轴和顶点即可。
【解析】
我们对二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）逐步配方：
1. 提取二次项系数$a$，将含$x$的项放在括号内：
$y = a(x^2 + \dfrac{b}{a}x) + c$
2. 括号内加上并减去一次项系数一半的平方$(\dfrac{b}{2a})^2$，保证式子值不变：
$y = a[x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 - (\dfrac{b}{2a})^2] + c$
3. 将括号内前三项改写为完全平方形式：
$y = a[(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}] + c$
4. 展开括号并合并常数项：
$y = a(x + \dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c = a(x + \dfrac{b}{2a})^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$
结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：
(1) 对称轴为直线$x=h$，此处$h=-\dfrac{b}{2a}$，因此对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$；
(2) 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h$和$k$的值，得顶点为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
(1) $-\dfrac{b}{2a}$
(2) $(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方、二次函数顶点式、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查一般式到顶点式的配方推导，以及顶点式对应的图像性质结论，熟练掌握配方步骤和相关结论是后续学习二次函数相关内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的性质：
(1)当 $ a＞0 $ 时，函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象开口向
(2)当 $ a＜0 $ 时，函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象开口向
(1)当 $ a＞0 $ 时，函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象开口向
上
，顶点是抛物线的最 低
点. 当 $ x＞-\frac{b}{2a} $ 时，y 随 x 的增大而 增大
；当 $ x＜-\frac{b}{2a} $ 时，y 随 x 的增大而 减小
.(2)当 $ a＜0 $ 时，函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象开口向
下
，顶点是抛物线的最 高
点. 当 $ x＞-\frac{b}{2a} $ 时，y 随 x 的增大而 减小
；当 $ x＜-\frac{b}{2a} $ 时，y 随 x 的增大而 增大
.答案
2. (1) 上 低 增大 减小
(2) 下 高 减小 增大
(2) 下 高 减小 增大
解析
【分析】
解题时可结合二次函数图象的特征逐步推导：①首先由二次项系数a的符号判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②再由开口方向判断顶点的最值属性：开口向上时顶点是抛物线的最低点，开口向下时顶点是抛物线的最高点；③最后结合对称轴$x=-\frac{b}{2a}$判断两侧的增减性：开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大、左侧y随x增大而减小；开口向下时增减性相反，对应填写即可。
【解析】
(1) 当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点；该函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，因此当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小。
(2) 当$a＜0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点；该函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，因此当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大。
【答案】
(1) 上 低 增大 减小
(2) 下 高 减小 增大
【知识点】
二次函数开口判定、二次函数顶点性质、二次函数增减性
【点评】
本题是对二次函数基本性质的直接考查，属于基础概念类题型，熟练掌握a的符号对二次函数图象特征、增减性的影响，是解决二次函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时可结合二次函数图象的特征逐步推导：①首先由二次项系数a的符号判断开口方向：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；②再由开口方向判断顶点的最值属性：开口向上时顶点是抛物线的最低点，开口向下时顶点是抛物线的最高点；③最后结合对称轴$x=-\frac{b}{2a}$判断两侧的增减性：开口向上时对称轴右侧y随x增大而增大、左侧y随x增大而减小；开口向下时增减性相反，对应填写即可。
【解析】
(1) 当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点；该函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，因此当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小。
(2) 当$a＜0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点；该函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，因此当$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；当$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大。
【答案】
(1) 上 低 增大 减小
(2) 下 高 减小 增大
【知识点】
二次函数开口判定、二次函数顶点性质、二次函数增减性
【点评】
本题是对二次函数基本性质的直接考查，属于基础概念类题型，熟练掌握a的符号对二次函数图象特征、增减性的影响，是解决二次函数相关问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
例 已知二次函数
$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
的图象如图26.2-9所示，有下列结论：
图26.2-9
①$a,b$同号；②当$x=1$和$x=3$时，函数值相等；③$4a+b=0$；④当$y=-2$时，$x$的值只能取0.
其中正确的是
解 ①由图象开口向上，则$a＞0$，∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，∴$b＜0$，∴$a,b$异号，故此选项不合题意.
②∵对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，∴直线$x=1$和直线$x=3$关于直线$x=2$对称，∴它们对应的函数值相等，故此选项符合题意.
③由$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$4a+b=0$，故此选项符合题意.
④由图象可得当$y=-2$时，$x$的值有两个，故此选项不合题意.
故答案为②③.
方法感悟 1. 当$ab＞0$，对称轴在$y$轴左侧；当$ab＜0$，对称轴在$y$轴右侧.
2. 常数项$c$决定抛物线与$y$轴的公共点.抛物线与$y$轴交于$(0,c)$.
3. 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点横坐标关于对称轴对称.
基础训练
$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
的图象如图26.2-9所示，有下列结论：
图26.2-9
①$a,b$同号；②当$x=1$和$x=3$时，函数值相等；③$4a+b=0$；④当$y=-2$时，$x$的值只能取0.
其中正确的是
②③
.(将所有正确结论的序号都填入)解 ①由图象开口向上，则$a＞0$，∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，∴$b＜0$，∴$a,b$异号，故此选项不合题意.
②∵对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，∴直线$x=1$和直线$x=3$关于直线$x=2$对称，∴它们对应的函数值相等，故此选项符合题意.
③由$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$4a+b=0$，故此选项符合题意.
④由图象可得当$y=-2$时，$x$的值有两个，故此选项不合题意.
故答案为②③.
方法感悟 1. 当$ab＞0$，对称轴在$y$轴左侧；当$ab＜0$，对称轴在$y$轴右侧.
2. 常数项$c$决定抛物线与$y$轴的公共点.抛物线与$y$轴交于$(0,c)$.
3. 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点横坐标关于对称轴对称.
基础训练
答案
②③
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：抛物线开口向上、与x轴交于(-1,0)和(5,0)、与y轴交于(0,-2)，再结合二次函数的性质逐一判断4个结论：
1. 判断①：由开口方向得a的符号，再由对称轴位置推导b的符号，即可判断a、b是否同号；
2. 判断②：先利用x轴两交点坐标求出抛物线对称轴，再判断x=1和x=3是否关于对称轴对称，若对称则对应函数值相等；
3. 判断③：将对称轴数值代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，整理即可验证等式是否成立；
4. 判断④：观察图象，直线y=-2与抛物线的交点个数，即可判断x的取值个数。
【解析】
①由图象可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(5,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2＞0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$，因此a、b异号，①错误；
②
∵对称轴为直线$x=2$，$x=1$和$x=3$到对称轴的距离均为$|2-1|=|3-2|=1$，两点关于对称轴对称，
∴当x=1和x=3时，函数值相等，②正确；
③将对称轴$x=2$代入公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，即$4a+b=0$，③正确；
④由图象可知抛物线与y轴交于$(0,-2)$，根据对称性，存在另一个关于$x=2$对称的点的函数值也为-2，因此当$y=-2$时，x的值有2个，④错误。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数图象与性质结合的典型题型，解题核心是准确从图象中提取开口方向、交点坐标等信息，结合二次函数的对称性、系数与图象的关系等知识点逐一验证结论，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图象中提取关键信息：抛物线开口向上、与x轴交于(-1,0)和(5,0)、与y轴交于(0,-2)，再结合二次函数的性质逐一判断4个结论：
1. 判断①：由开口方向得a的符号，再由对称轴位置推导b的符号，即可判断a、b是否同号；
2. 判断②：先利用x轴两交点坐标求出抛物线对称轴，再判断x=1和x=3是否关于对称轴对称，若对称则对应函数值相等；
3. 判断③：将对称轴数值代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，整理即可验证等式是否成立；
4. 判断④：观察图象，直线y=-2与抛物线的交点个数，即可判断x的取值个数。
【解析】
①由图象可知抛物线开口向上，因此$a＞0$；
抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(5,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2＞0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$，因此a、b异号，①错误；
②
∵对称轴为直线$x=2$，$x=1$和$x=3$到对称轴的距离均为$|2-1|=|3-2|=1$，两点关于对称轴对称，
∴当x=1和x=3时，函数值相等，②正确；
③将对称轴$x=2$代入公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，即$4a+b=0$，③正确；
④由图象可知抛物线与y轴交于$(0,-2)$，根据对称性，存在另一个关于$x=2$对称的点的函数值也为-2，因此当$y=-2$时，x的值有2个，④错误。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数图象与性质结合的典型题型，解题核心是准确从图象中提取开口方向、交点坐标等信息，结合二次函数的对称性、系数与图象的关系等知识点逐一验证结论，能有效考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
1. 用配方法将二次函数 $y=x^2 -8x -9$ 化为 $y=a(x-h)^2 +k$ 的形式为(
A.$y=(x-4)^2 +7$
B.$y=(x-4)^2 -25$
C.$y=(x+4)^2 +7$
D.$y=(x+4)^2 -25$
B
).A.$y=(x-4)^2 +7$
B.$y=(x-4)^2 -25$
C.$y=(x+4)^2 +7$
D.$y=(x+4)^2 -25$
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，解题思路清晰明确：配方法的核心是对含x的二次项和一次项构造完全平方式，本题二次项系数为1，无需额外提取系数，只需先对x的一次项系数取半、平方，通过“加一个再减同一个数”保证原式值不变，最后整理成顶点式即可，解题时要重点注意一次项的符号不要出错。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -8x -9$按配方法步骤转化：
1. 先将含$x$的项组合，常数项单独放置：
$y=(x^2 -8x) -9$
2. 计算一次项系数一半的平方：一次项系数为$-8$，其一半是$-4$，平方为$(-4)^2=16$，在括号内加16再减16，保证原式值不变：
$y=(x^2 -8x +16 -16) -9$
3. 将括号内前三项改写为完全平方式，再合并所有常数项：
$y=(x-4)^2 -16 -9$
$y=(x-4)^2 -25$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数顶点式转化
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是二次函数相关考点的基础内容，做题时注意不要弄错一次项系数的符号。
【难度系数】
0.8
本题要求用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，解题思路清晰明确：配方法的核心是对含x的二次项和一次项构造完全平方式，本题二次项系数为1，无需额外提取系数，只需先对x的一次项系数取半、平方，通过“加一个再减同一个数”保证原式值不变，最后整理成顶点式即可，解题时要重点注意一次项的符号不要出错。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -8x -9$按配方法步骤转化：
1. 先将含$x$的项组合，常数项单独放置：
$y=(x^2 -8x) -9$
2. 计算一次项系数一半的平方：一次项系数为$-8$，其一半是$-4$，平方为$(-4)^2=16$，在括号内加16再减16，保证原式值不变：
$y=(x^2 -8x +16 -16) -9$
3. 将括号内前三项改写为完全平方式，再合并所有常数项：
$y=(x-4)^2 -16 -9$
$y=(x-4)^2 -25$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数顶点式转化
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是二次函数相关考点的基础内容，做题时注意不要弄错一次项系数的符号。
【难度系数】
0.8
