2026年自主学习能力测评九年级数学上册人教版第35页答案
6. 将抛物线 $y=-10(x+1)^2 -3$ 向右平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度,平移后所得抛物线对应的函数解析式是
$y=-10(x-4)^2-4$
。

答案

6. $y=-10(x-4)^2-4$

解析

【分析】
解决本题需要用到二次函数图象平移的核心规律“左加右减,上加下减”:其中“左加右减”是针对自变量x本身进行运算,“上加下减”是针对函数整体的常数项进行运算。我们可以直接按照平移规则逐步对原解析式变形,也可以先确定原抛物线顶点坐标,平移后得到新顶点坐标,再代入顶点式得到结果,两种方法都能快速求出平移后的解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-10(x+1)^2 -3$:
1. 第一步向右平移5个单位长度,根据“左加右减”规则,将解析式中的$x$替换为$x-5$,可得:
$y=-10(x-5+1)^2 -3=-10(x-4)^2 -3$
2. 第二步再向下平移1个单位长度,根据“上加下减”规则,在解析式末尾减去1,可得:
$y=-10(x-4)^2 -3 -1=-10(x-4)^2 -4$
【答案】
$y=-10(x-4)^2-4$
【知识点】
二次函数图象平移规律;二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题,核心考查平移规则的应用,解题时要特别注意“左加右减”仅作用于自变量x,不要和常数项的运算混淆,掌握规则后很容易得分。
【难度系数】
0.8
7. 点P在二次函数$y=(x-1)^2+3$的图象上,且到该抛物线对称轴的距离为3,则点P的坐标为
$(-2,12)$或$(4,12)$
。

答案

7. $(-2,12)$或$(4,12)$

解析

【分析】
解题首先要明确二次函数顶点式的对称轴求法:对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$,其对称轴为直线$x=h$。先求出本题抛物线的对称轴,再根据点P到对称轴的距离为3,可得点P的横坐标与对称轴横坐标的差的绝对值为3,由此算出两个可能的横坐标,最后将横坐标代入二次函数解析式求出对应的纵坐标,即可得到点P的坐标,注意不要漏解。
【解析】
解:已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+3$,属于顶点式,因此该抛物线的对称轴为直线$x=1$。
∵点P到抛物线对称轴的距离为3
∴点P的横坐标$x$满足$\left|x-1\right|=3$
解得:$x=1+3=4$ 或 $x=1-3=-2$
①当$x=4$时,代入解析式得:$y=(4-1)^2+3=9+3=12$,此时点P坐标为$(4,12)$
②当$x=-2$时,代入解析式得:$y=(-2-1)^2+3=9+3=12$,此时点P坐标为$(-2,12)$
综上,点P的坐标为$(-2,12)$或$(4,12)$。
【答案】
$(-2,12)$或$(4,12)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 点到直线的距离
3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型,解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的对称轴求法,同时要注意到对称轴两侧距离相等的点有两个,避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
8. 有下列关于二次函数$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$($m$为常数)的结论:①该函数的图象与函数$y=-x^2$的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点$(0,1)$;③当$x>0$时,$y$随$x$的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数$y=x^2 +1$的图象上。其中正确结论的序号是________。

答案

①②④

解析

【分析】
解题时需逐个验证4个结论,思路如下:1. 根据二次项系数的绝对值判断两个函数图象形状是否相同;2. 将点的横坐标代入函数解析式,验证纵坐标是否对应,判断函数是否经过该点;3. 结合二次函数的开口方向和对称轴,分析增减性是否成立;4. 先求出给定二次函数的顶点坐标,代入另一函数解析式验证是否满足,判断顶点是否在对应图象上。
【解析】
我们对每个结论逐一验证:
① 二次函数的图象形状仅由二次项系数的绝对值决定,函数$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$的二次项系数为$-1$,函数$y=-x^2$的二次项系数也为$-1$,二者二次项系数的绝对值相等,因此图象形状相同,①正确。
② 将$x=0$代入$y=-(x-m)^2 + m^2 +1$,计算得:
$y=-(0-m)^2 + m^2 +1 = -m^2 + m^2 +1 =1$
无论$m$取何值,$x=0$时$y=1$恒成立,因此函数图象一定经过点$(0,1)$,②正确。
③ 该二次函数开口向下(二次项系数$-1<0$),对称轴为直线$x=m$,根据增减性规律,仅当$x>m$时$y$随$x$的增大而减小。由于$m$的取值不确定,因此“$x>0$时$y$随$x$的增大而减小”不成立,例如$m=2$时,$0<x<2$区间内$y$随$x$的增大而增大,③错误。
④ 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$,因此该函数的顶点坐标为$(m, m^2+1)$。将$x=m$代入$y=x^2+1$,得$y=m^2+1$,与顶点纵坐标相等,因此该函数的顶点在$y=x^2+1$的图象上,④正确。
综上,正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的性质,二次函数顶点式,点与函数图象的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质,需要熟练掌握二次函数的形状判断、点坐标验证、增减性规律及顶点坐标的求法,逐个推导即可得出正确结果,易错点是忽略对称轴$x=m$的取值可变性,误判结论③正确。
【难度系数】
0.7
9. 足球训练中某球员从球门正前方9 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行至与球门水平距离3 m处时,球达到最高点,此时球离地面3 m.现以O为原点建立如图26.2-7所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)已知球门高OB为2.44 m,通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

图26.2-7

答案

9. (1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(3,3)$,设抛物线的函数解析式为$y=a(x-3)^2+3$,把点$A(9,0)$代入得$36a+3=0$,解得$a=-\frac{1}{12}$,$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-3)^2+3$
(2) 当$x=0$时,$y=-\frac{1}{12}×9+3=\frac{9}{4}<2.44$,$\therefore$球能射进球门

解析

【分析】
(1) 求解抛物线解析式时,首先根据题意确定抛物线的顶点坐标为$(3,3)$,选择顶点式设解析式更简便,再代入抛物线经过的已知点$A(9,0)$求出参数$a$,即可得到完整解析式。
(2) 判断球能否进球门时,球门对应$x=0$的位置,只需将$x=0$代入解析式求出此时球的高度,和球门高度$2.44\ \mathrm{m}$比较:若球的高度小于球门高度则能射进,反之不能。
【解析】
(1) 由题意得抛物线的顶点坐标为$(3,3)$,设抛物线的函数解析式为$y=a(x-3)^2+3\ (a\ne0)$。
将点$A(9,0)$代入解析式得:
$a×(9-3)^2+3=0$,即$36a+3=0$,
解得$a=-\frac{1}{12}$,
因此抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-3)^2+3$。
(2) 把$x=0$代入抛物线解析式,计算球到达球门处的高度:
$y=-\frac{1}{12}×(0-3)^2+3=-\frac{9}{12}+3=2.25\ \mathrm{m}$,
已知球门高为$2.44\ \mathrm{m}$,因为$2.25<2.44$,所以球能射进球门。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-3)^2+3$
(2) 球能射进球门
【知识点】
二次函数顶点式,二次函数解析式求解,二次函数实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用,解题核心是准确提取抛物线上的已知点信息,选择合适的解析式形式计算,再通过代入求值解决实际判断问题,侧重考查二次函数基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.75
10. 如图26.2-8,直线$y=-3x+3$与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过点A,B,并与x轴交于另一点C,其顶点为P。
(1)求a,k的值。
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由。

答案

(1) 在$y=-3x+3$中,令$y=0$,可求得$x=1$,令$x=0$,可求得$y=3$,$\therefore A(1,0),B(0,3)$. 把A,B坐标分别代入$y=a(x-2)^2+k$,可得$\begin{cases}a+k=0,\\4a+k=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\k=-1\end{cases}$
(2) 抛物线的对称轴上存在一点N,使$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形.理由如下:由条件可设点N的坐标为$(2,n)$,则$NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$,$NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2$,且$AB^2=10$,当$△ ABN$为以AB为斜边的直角三角形时,由勾股定理可得$NB^2+NA^2=AB^2$,$\therefore n^2-6n+13+1+n^2=10$,解得$n=1$或$n=2$,即点N的坐标为$(2,1)$或$(2,2)$.综上可知存在满足条件的点N,其坐标为$(2,1)$或$(2,2)$

解析

【分析】
(1) 首先求一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标:对于直线$y=-3x+3$,令$y=0$可求出x轴交点A的横坐标,令$x=0$可求出y轴交点B的纵坐标。再将A、B两点坐标代入抛物线的顶点式,得到关于a、k的二元一次方程组,解方程组即可求出a、k的值。
(2) 抛物线$y=a(x-2)^2+k$的对称轴是直线$x=2$,因此可设对称轴上的点N坐标为$(2,n)$。因为$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形,根据勾股定理,两条直角边的平方和等于斜边的平方,即$NA^2+NB^2=AB^2$,分别用坐标表示出三条边的平方,代入等式得到关于n的方程,解方程求出n的值,即可判断是否存在符合条件的点N。
【解析】
(1) 对于直线$y=-3x+3$:
令$y=0$,得$0=-3x+3$,解得$x=1$,$\therefore A(1,0)$;
令$x=0$,得$y=3$,$\therefore B(0,3)$。
将$A(1,0)$、$B(0,3)$代入$y=a(x-2)^2+k$,可得:
$\begin{cases}a(1-2)^2+k=0 \\a(0-2)^2+k=3 \end{cases}$,化简为$\begin{cases}a+k=0 \\4a+k=3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程,得$3a=3$,解得$a=1$,
将$a=1$代入$a+k=0$,得$k=-1$。
(2) 存在满足条件的点N,理由如下:
抛物线的对称轴为直线$x=2$,设点N的坐标为$(2,n)$,则:
$NB^2=(2-0)^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$,
$NA^2=(2-1)^2+(n-0)^2=1+n^2$,
$AB^2=(1-0)^2+(0-3)^2=10$。
因为$△ ABN$是以AB为斜边的直角三角形,所以$NB^2+NA^2=AB^2$,代入得:
$n^2-6n+13+1+n^2=10$
整理得$n^2-3n+2=0$,解得$n=1$或$n=2$。
即点N的坐标为$(2,1)$或$(2,2)$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=1 \\k=-1 \end{cases}$
(2) 存在,点N的坐标为$(2,1)$或$(2,2)$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 待定系数法求二次函数解析式
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于函数综合基础题,结合直角三角形的性质考查方程思想的运用,解题关键是熟练掌握函数解析式的求解方法,学会利用坐标结合勾股定理列方程解决几何问题,计算时注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
11. 二次函数$y=(x-20)^2 +26$的最小值为
26
。

答案

11. 26

解析

【分析】
首先观察给出的二次函数解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式,解题时先判断二次项系数$a$的正负,确定抛物线的开口方向:若$a>0$,抛物线开口向上,顶点为函数的最低点,顶点的纵坐标$k$就是函数的最小值;若$a<0$,抛物线开口向下,顶点为最高点,纵坐标$k$是最大值。本题中$a=1>0$,直接取顶点纵坐标即可得到最小值。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-20)^2 +26$,属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$,其中二次项系数$a=1>0$,因此抛物线开口向上,函数存在最小值。
该抛物线的顶点坐标为$(h,k)=(20,26)$,顶点为抛物线的最低点,因此当$x=20$时,$y$取得最小值,最小值为26。
【答案】
26
【知识点】
二次函数顶点式的性质;二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数最值的求解,属于基础题,只需掌握顶点式中参数与抛物线顶点、开口方向的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9