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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的公共点的情况有三种：
(1)$\Delta＞0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$有________个不相等的实数根$⇔$与$x$轴有________个公共点；
(2)$\Delta=0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$有________个相等的实数根$⇔$与$x$轴有________个公共点；
(3)$\Delta＜0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根$⇔$与$x$轴________公共点。
(1)$\Delta＞0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$有________个不相等的实数根$⇔$与$x$轴有________个公共点；
(2)$\Delta=0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$有________个相等的实数根$⇔$与$x$轴有________个公共点；
(3)$\Delta＜0⇔$方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根$⇔$与$x$轴________公共点。
答案
(1) 两 两 (2) 两 一 (3) 没
解析
【分析】
解题时需要将一元二次方程根的判别式、方程根的个数、二次函数图象与x轴公共点的个数三者对应起来思考：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，因此根的数量与交点数量直接相关。首先回忆判别式$\Delta=b^2-4ac$的三种取值对应的方程根的情况，再对应到交点个数即可：
1. 当$\Delta＞0$时，方程存在两个不同的解，对应有两个不同的x使得函数值为0，因此与x轴有2个交点；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的解（重根），仅存在1个x使得函数值为0，因此与x轴只有1个交点；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数解，不存在x使得函数值为0，因此与x轴没有交点。
【解析】
根据判别式与方程根、函数交点的对应关系填空：
(1) $\Delta＞0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，对应二次函数与$x$轴有两个公共点；
(2) $\Delta=0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，对应二次函数与$x$轴有一个公共点；
(3) $\Delta＜0$时，方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，对应二次函数与$x$轴没有公共点。
【答案】
(1) 两 两 (2) 两 一 (3) 没
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数与x轴的交点
3. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是理解并熟记判别式、方程根的个数、二次函数与x轴交点个数三者的对应关系，是函数与方程结合的基础内容，熟练掌握知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时需要将一元二次方程根的判别式、方程根的个数、二次函数图象与x轴公共点的个数三者对应起来思考：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，因此根的数量与交点数量直接相关。首先回忆判别式$\Delta=b^2-4ac$的三种取值对应的方程根的情况，再对应到交点个数即可：
1. 当$\Delta＞0$时，方程存在两个不同的解，对应有两个不同的x使得函数值为0，因此与x轴有2个交点；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的解（重根），仅存在1个x使得函数值为0，因此与x轴只有1个交点；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数解，不存在x使得函数值为0，因此与x轴没有交点。
【解析】
根据判别式与方程根、函数交点的对应关系填空：
(1) $\Delta＞0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，对应二次函数与$x$轴有两个公共点；
(2) $\Delta=0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，对应二次函数与$x$轴有一个公共点；
(3) $\Delta＜0$时，方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，对应二次函数与$x$轴没有公共点。
【答案】
(1) 两 两 (2) 两 一 (3) 没
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数与x轴的交点
3. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是理解并熟记判别式、方程根的个数、二次函数与x轴交点个数三者的对应关系，是函数与方程结合的基础内容，熟练掌握知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
答案
解析
【分析】
解题的核心逻辑是一元二次方程与二次函数的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。思考步骤如下：①先将待解的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，写出对应的二次函数解析式；②画出该二次函数的大致图象，观察图象与x轴的交点位置，确定交点所在的相邻整数区间；③在区间内取数代入二次函数，根据交点两侧函数值异号的规律逐步缩小根的范围，最终得到符合精度要求的近似根。
【解析】
我们以求解一元二次方程$x^2-2x-1=0$的近似根（精确到0.1）为例，演示完整解题步骤：
1. 确定对应二次函数：待解方程对应的二次函数为$\boldsymbol{y=x^2-2x-1}$。
2. 绘制函数图象定位交点区间：
该二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，顶点坐标为$(1,-2)$，列表取点计算函数值：
|x| -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
|y| 2 | -1 | -2 | -1 | 2 |
描点画出大致图象后，可观察到图象与x轴有两个交点，一个落在$(-1,0)$区间，另一个落在$(2,3)$区间。
3. 求$(-1,0)$区间内的近似根：
代入$x=-0.4$，得$y=(-0.4)^2-2×(-0.4)-1=-0.04＜0$；
代入$x=-0.5$，得$y=(-0.5)^2-2×(-0.5)-1=0.25＞0$；
可知根在$(-0.5,-0.4)$之间，且$x=-0.4$时函数值更接近0，因此该区间近似根为$x\approx-0.4$。
4. 求$(2,3)$区间内的近似根：
代入$x=2.4$，得$y=2.4^2-2×2.4-1=-0.04＜0$；
代入$x=2.5$，得$y=2.5^2-2×2.5-1=0.25＞0$；
可知根在$(2.4,2.5)$之间，且$x=2.4$时函数值更接近0，因此该区间近似根为$x\approx2.4$。
若题目给出具体一元二次方程，按照上述步骤即可求得对应近似根。
【答案】
以方程$x^2-2x-1=0$（精确到0.1）为例，近似根为$\boldsymbol{x_1\approx-0.4}$，$\boldsymbol{x_2\approx2.4}$；通用求解步骤为：①确定方程对应的二次函数；②画图象确定根的所在区间；③试值缩小区间得到符合精度的近似根。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图像法求方程近似根
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是理解方程根与函数图象和x轴交点的对应关系，通过逐步试值缩小根的范围即可得到近似结果，熟练掌握二次函数图象的画法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题的核心逻辑是一元二次方程与二次函数的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实根，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。思考步骤如下：①先将待解的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，写出对应的二次函数解析式；②画出该二次函数的大致图象，观察图象与x轴的交点位置，确定交点所在的相邻整数区间；③在区间内取数代入二次函数，根据交点两侧函数值异号的规律逐步缩小根的范围，最终得到符合精度要求的近似根。
【解析】
我们以求解一元二次方程$x^2-2x-1=0$的近似根（精确到0.1）为例，演示完整解题步骤：
1. 确定对应二次函数：待解方程对应的二次函数为$\boldsymbol{y=x^2-2x-1}$。
2. 绘制函数图象定位交点区间：
该二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，顶点坐标为$(1,-2)$，列表取点计算函数值：
|x| -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
|y| 2 | -1 | -2 | -1 | 2 |
描点画出大致图象后，可观察到图象与x轴有两个交点，一个落在$(-1,0)$区间，另一个落在$(2,3)$区间。
3. 求$(-1,0)$区间内的近似根：
代入$x=-0.4$，得$y=(-0.4)^2-2×(-0.4)-1=-0.04＜0$；
代入$x=-0.5$，得$y=(-0.5)^2-2×(-0.5)-1=0.25＞0$；
可知根在$(-0.5,-0.4)$之间，且$x=-0.4$时函数值更接近0，因此该区间近似根为$x\approx-0.4$。
4. 求$(2,3)$区间内的近似根：
代入$x=2.4$，得$y=2.4^2-2×2.4-1=-0.04＜0$；
代入$x=2.5$，得$y=2.5^2-2×2.5-1=0.25＞0$；
可知根在$(2.4,2.5)$之间，且$x=2.4$时函数值更接近0，因此该区间近似根为$x\approx2.4$。
若题目给出具体一元二次方程，按照上述步骤即可求得对应近似根。
【答案】
以方程$x^2-2x-1=0$（精确到0.1）为例，近似根为$\boldsymbol{x_1\approx-0.4}$，$\boldsymbol{x_2\approx2.4}$；通用求解步骤为：①确定方程对应的二次函数；②画图象确定根的所在区间；③试值缩小区间得到符合精度的近似根。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图像法求方程近似根
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是理解方程根与函数图象和x轴交点的对应关系，通过逐步试值缩小根的范围即可得到近似结果，熟练掌握二次函数图象的画法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
例 已知抛物线$y=-x^2+4x-3$与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧).
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)确定此抛物线与直线$y=-2x+6$公共点的个数,并说明理由.
解 (1)根据题意,得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3, \\ y=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1, \\ y_1=0 \end{cases}$和$\begin{cases} x_2=3, \\ y_2=0. \end{cases}$
所以抛物线与$x$轴的公共点坐标为$A(1,0),B(3,0)$.
(2)由题意列方程组,得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3, \\ y=-2x+6, \end{cases}$
整理得$x^2-6x+9=0$.
因为$\Delta=0$,所以方程有两个相等的实数根.
所以方程组只有一组解.
所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有一个公共点.
方法感悟 将二次函数中的$y$给定一个值,就可以将其转化为一个一元二次方程.给出$y$值的方式有很多,最常见的一种就是求抛物线与$x$轴(或直线$y=t$)的公共点,即给出$y=0$(或$y=t$).
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)确定此抛物线与直线$y=-2x+6$公共点的个数,并说明理由.
解 (1)根据题意,得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3, \\ y=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=1, \\ y_1=0 \end{cases}$和$\begin{cases} x_2=3, \\ y_2=0. \end{cases}$
所以抛物线与$x$轴的公共点坐标为$A(1,0),B(3,0)$.
(2)由题意列方程组,得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3, \\ y=-2x+6, \end{cases}$
整理得$x^2-6x+9=0$.
因为$\Delta=0$,所以方程有两个相等的实数根.
所以方程组只有一组解.
所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有一个公共点.
方法感悟 将二次函数中的$y$给定一个值,就可以将其转化为一个一元二次方程.给出$y$值的方式有很多,最常见的一种就是求抛物线与$x$轴(或直线$y=t$)的公共点,即给出$y=0$(或$y=t$).
答案
解：(1) 令抛物线解析式中$y=0$，得方程
$-x^2+4x-3=0$，
变形为$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
因为点A在点B的左侧，
所以$A(1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点，理由如下：
联立两个函数的解析式，得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$，
消去$y$，整理得$x^2-6x+9=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×9=0$，
因此这个方程有两个相等的实数根，对应的方程组只有一组解，
所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点。
$-x^2+4x-3=0$，
变形为$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
因为点A在点B的左侧，
所以$A(1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点，理由如下：
联立两个函数的解析式，得
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$，
消去$y$，整理得$x^2-6x+9=0$。
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×9=0$，
因此这个方程有两个相等的实数根，对应的方程组只有一组解，
所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点。
解析
【分析】
(1) 求抛物线与x轴的交点坐标时，x轴上所有点的纵坐标都是0，因此只需令抛物线解析式中的y=0，求解对应的一元二次方程得到x的取值，再结合“点A在点B左侧”的条件，就能确定A、B两点的坐标。
(2) 判断抛物线和直线的公共点个数，核心方法是联立两个函数的解析式组成方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式Δ的取值判断根的个数：Δ＞0对应2个公共点，Δ=0对应1个公共点，Δ＜0对应没有公共点，由此即可得出结论。
【解析】
(1) 令抛物线解析式$y=-x^2+4x-3$中$y=0$，可得方程：
$-x^2+4x-3=0$
整理得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
因为点A在点B的左侧，所以$A(1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点，理由如下：
联立两个函数的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$
消去y，将第二个式子的y代入第一个式子，得$-2x+6=-x^2+4x-3$
整理得$x^2-6x+9=0$
计算该一元二次方程的判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×9=36-36=0$
因此这个方程有两个相等的实数根，对应的方程组只有一组解，所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$；
(2) 公共点个数为1个。
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；函数交点与方程组的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联应用，解题逻辑清晰，核心是掌握“函数交点的坐标对应联立方程组的解”这一规律，同时需要熟练掌握一元二次方程的解法和用判别式判断根的情况的方法，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线与x轴的交点坐标时，x轴上所有点的纵坐标都是0，因此只需令抛物线解析式中的y=0，求解对应的一元二次方程得到x的取值，再结合“点A在点B左侧”的条件，就能确定A、B两点的坐标。
(2) 判断抛物线和直线的公共点个数，核心方法是联立两个函数的解析式组成方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式Δ的取值判断根的个数：Δ＞0对应2个公共点，Δ=0对应1个公共点，Δ＜0对应没有公共点，由此即可得出结论。
【解析】
(1) 令抛物线解析式$y=-x^2+4x-3$中$y=0$，可得方程：
$-x^2+4x-3=0$
整理得$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
因为点A在点B的左侧，所以$A(1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点，理由如下：
联立两个函数的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=-x^2+4x-3 \\ y=-2x+6 \end{cases}$
消去y，将第二个式子的y代入第一个式子，得$-2x+6=-x^2+4x-3$
整理得$x^2-6x+9=0$
计算该一元二次方程的判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×9=36-36=0$
因此这个方程有两个相等的实数根，对应的方程组只有一组解，所以此抛物线与直线$y=-2x+6$只有1个公共点。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$；
(2) 公共点个数为1个。
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解；函数交点与方程组的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关联应用，解题逻辑清晰，核心是掌握“函数交点的坐标对应联立方程组的解”这一规律，同时需要熟练掌握一元二次方程的解法和用判别式判断根的情况的方法，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
1. 抛物线$y=x^2+4x+4$与$x$轴的公共点有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的公共点个数，本质是判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数，可通过计算根的判别式Δ=b²-4ac的符号快速判定：Δ＞0时有2个公共点，Δ=0时有1个公共点，Δ＜0时没有公共点。本题先确定二次函数解析式中a、b、c的取值，再计算判别式即可得出结论。
【解析】
对于抛物线$y=x^2+4x+4$，对应二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=4$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×4 = 16-16=0$
说明一元二次方程$x^2+4x+4=0$有两个相等的实数根，因此抛物线与x轴只有1个公共点。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握判别式的三种取值对应的交点情况即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线与x轴的公共点个数，本质是判断当y=0时对应的一元二次方程的实数根的个数，可通过计算根的判别式Δ=b²-4ac的符号快速判定：Δ＞0时有2个公共点，Δ=0时有1个公共点，Δ＜0时没有公共点。本题先确定二次函数解析式中a、b、c的取值，再计算判别式即可得出结论。
【解析】
对于抛物线$y=x^2+4x+4$，对应二次项系数$a=1$，一次项系数$b=4$，常数项$c=4$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×4 = 16-16=0$
说明一元二次方程$x^2+4x+4=0$有两个相等的实数根，因此抛物线与x轴只有1个公共点。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练掌握判别式的三种取值对应的交点情况即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知二次函数$y=(k-1)x^2+2x+1$的图象与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是（
A.$k＜2$
B.$k=2$
C.$k≤2$
D.$k≤2$且$k≠1$
D
）。A.$k＜2$
B.$k=2$
C.$k≤2$
D.$k≤2$且$k≠1$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干给出的“二次函数”这个前提条件，第一步先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，得到k的第一个限制条件；其次，二次函数图象与x轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，代入系数计算得到k的第二个限制条件；最后联立两个限制条件，即可得到k的完整取值范围，对应正确选项。
【解析】
∵ 函数$y=(k-1)x^2+2x+1$是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 二次函数图象与x轴有公共点
∴ 对应一元二次方程$(k-1)x^2+2x+1=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中$a=k-1$，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×1 ≥ 0$
$4 - 4(k-1) ≥ 0$
两边同时除以4得：$1 - (k-1) ≥ 0$
化简得：$2 - k ≥ 0$，解得$k≤2$
联立两个条件，得$k$的取值范围是$k≤2$且$k≠1$
故选D
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的典型易错题，解题时容易忽略“二次函数二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式计算得到$k≤2$误选C，因此审题时要格外注意题干给出的函数类型，优先考虑定义限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干给出的“二次函数”这个前提条件，第一步先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，得到k的第一个限制条件；其次，二次函数图象与x轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，代入系数计算得到k的第二个限制条件；最后联立两个限制条件，即可得到k的完整取值范围，对应正确选项。
【解析】
∵ 函数$y=(k-1)x^2+2x+1$是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 二次函数图象与x轴有公共点
∴ 对应一元二次方程$(k-1)x^2+2x+1=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中$a=k-1$，$b=2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×1 ≥ 0$
$4 - 4(k-1) ≥ 0$
两边同时除以4得：$1 - (k-1) ≥ 0$
化简得：$2 - k ≥ 0$，解得$k≤2$
联立两个条件，得$k$的取值范围是$k≤2$且$k≠1$
故选D
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的典型易错题，解题时容易忽略“二次函数二次项系数不为0”的隐含前提，仅通过判别式计算得到$k≤2$误选C，因此审题时要格外注意题干给出的函数类型，优先考虑定义限制条件。
【难度系数】
0.7
