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3. 观察二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x$的图象(如图26.3-1所示)，不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$的解集是(
A.$x＞-4$
B.$x＜0$
C.$x＜-4$或$x＞0$
D.$-4＜x＜0$
D
).A.$x＞-4$
B.$x＜0$
C.$x＜-4$或$x＞0$
D.$-4＜x＜0$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这个不等式问题，首先要明确一元二次不等式和对应二次函数图象的关系：不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$的解集，就是二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x$的图象位于x轴上方时对应的x的取值范围。解题时可以先观察图象找到抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线的开口方向，就能确定满足y＞0的x的区间；也可以通过代数因式分解的方法直接求解不等式。
【解析】
方法1（图象法）：
不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$的含义是二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x$的函数值大于0，对应图象为抛物线在x轴上方的部分。
由题图可知，抛物线与x轴交于点$(-4,0)$和$(0,0)$，且抛物线开口向下，因此当x的取值在$-4$和$0$之间时，抛物线位于x轴上方，即满足$y＞0$，故不等式的解集为$-4＜x＜0$。
方法2（代数法）：
对不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$变形，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得：
$x^2 +4x ＜ 0$
因式分解得：$x(x+4) ＜ 0$
则两个因式异号，分两种情况讨论：
①$\begin{cases}x＞0 \\ x+4＜0 \end{cases}$，此不等式组无解；
②$\begin{cases}x＜0 \\ x+4＞0 \end{cases}$，解得$-4 ＜ x ＜ 0$。
综上，不等式的解集为$-4＜x＜0$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象，一元二次不等式解法，数形结合思想
【点评】
本题可以通过图象观察和代数计算两种方法求解，直观体现了数形结合思想在解一元二次不等式中的便捷性，核心是理解不等式与函数图象的对应关系，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
要解决这个不等式问题，首先要明确一元二次不等式和对应二次函数图象的关系：不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$的解集，就是二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x$的图象位于x轴上方时对应的x的取值范围。解题时可以先观察图象找到抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线的开口方向，就能确定满足y＞0的x的区间；也可以通过代数因式分解的方法直接求解不等式。
【解析】
方法1（图象法）：
不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$的含义是二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -2x$的函数值大于0，对应图象为抛物线在x轴上方的部分。
由题图可知，抛物线与x轴交于点$(-4,0)$和$(0,0)$，且抛物线开口向下，因此当x的取值在$-4$和$0$之间时，抛物线位于x轴上方，即满足$y＞0$，故不等式的解集为$-4＜x＜0$。
方法2（代数法）：
对不等式$-\dfrac{1}{2}x^2 -2x ＞0$变形，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得：
$x^2 +4x ＜ 0$
因式分解得：$x(x+4) ＜ 0$
则两个因式异号，分两种情况讨论：
①$\begin{cases}x＞0 \\ x+4＜0 \end{cases}$，此不等式组无解；
②$\begin{cases}x＜0 \\ x+4＞0 \end{cases}$，解得$-4 ＜ x ＜ 0$。
综上，不等式的解集为$-4＜x＜0$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象，一元二次不等式解法，数形结合思想
【点评】
本题可以通过图象观察和代数计算两种方法求解，直观体现了数形结合思想在解一元二次不等式中的便捷性，核心是理解不等式与函数图象的对应关系，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=x^2 -3x -4$的图象与x轴的两个公共点之间的距离为(
A.1
B.3
C.4
D.5
D
).A.1
B.3
C.4
D.5
答案
4. D
解析
【分析】
要求二次函数图象与x轴两个公共点的距离，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此我们可以先令y=0，得到对应的一元二次方程，求解方程得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差的绝对值，就是两个公共点之间的距离。
【解析】
令二次函数$y=x^2 -3x -4$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -3x -4 = 0$
对左边因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-1$
因此二次函数与x轴的两个公共点坐标为$(4,0)$和$(-1,0)$，两点之间的距离为：
$|4 - (-1)| = 5$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与x轴交点 2.一元二次方程求解 3.数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与对应一元二次方程的联系，只要掌握求二次函数与坐标轴交点的方法，结合数轴上两点距离的计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求二次函数图象与x轴两个公共点的距离，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此我们可以先令y=0，得到对应的一元二次方程，求解方程得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差的绝对值，就是两个公共点之间的距离。
【解析】
令二次函数$y=x^2 -3x -4$中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 -3x -4 = 0$
对左边因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-1$
因此二次函数与x轴的两个公共点坐标为$(4,0)$和$(-1,0)$，两点之间的距离为：
$|4 - (-1)| = 5$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与x轴交点 2.一元二次方程求解 3.数轴两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与对应一元二次方程的联系，只要掌握求二次函数与坐标轴交点的方法，结合数轴上两点距离的计算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 对于二次函数$y=2x^2 -1$，当$y=1$时，$x$的值是
±1
。答案
5. ±1
解析
【分析】
要解决已知二次函数的函数值求对应自变量x的问题，核心思路是将已知的函数值代入二次函数解析式，把问题转化为求解关于x的一元二次方程，再按照一元二次方程的解法计算即可得到x的值。
【解析】
将$y=1$代入二次函数解析式$y=2x^2 -1$中，可得：
$\quad 1=2x^2 -1$
移项得：$2x^2=1+1$
合并同类项得：$2x^2=2$
两边同时除以2得：$x^2=1$
开平方得：$x=\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
二次函数求值、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本应用，核心是将函数求值问题转化为解方程问题，计算难度低，掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决已知二次函数的函数值求对应自变量x的问题，核心思路是将已知的函数值代入二次函数解析式，把问题转化为求解关于x的一元二次方程，再按照一元二次方程的解法计算即可得到x的值。
【解析】
将$y=1$代入二次函数解析式$y=2x^2 -1$中，可得：
$\quad 1=2x^2 -1$
移项得：$2x^2=1+1$
合并同类项得：$2x^2=2$
两边同时除以2得：$x^2=1$
开平方得：$x=\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
二次函数求值、解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数的基本应用，核心是将函数求值问题转化为解方程问题，计算难度低，掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6. 二次函数$y=-x^2+bx+c$的部分图象如图26.3-2所示，则关于x的一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根为
$x_1=1,x_2=-3$
。答案
6. $x_1=1,x_2=-3$
解析
【分析】
要解一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根，需明确其根就是对应二次函数$y=-x^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。从图像可直接得到一个交点的横坐标为1，且函数对称轴为直线$x=-1$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标关系即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：由二次函数的性质可知，一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。
1. 观察图像可得：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(1,0)$，即方程的一个根为$x_1=1$。
2. 设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$x_2$，由于抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
将$x_1=1$代入上式：$\frac{1+x_2}{2}=-1$，解得$x_2=-3$。
综上，方程$-x^2+bx+c=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数图像性质的基础应用，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，结合对称性求解未知交点，熟练掌握图像性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
要解一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根，需明确其根就是对应二次函数$y=-x^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。从图像可直接得到一个交点的横坐标为1，且函数对称轴为直线$x=-1$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标关系即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：由二次函数的性质可知，一元二次方程$-x^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。
1. 观察图像可得：抛物线的对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(1,0)$，即方程的一个根为$x_1=1$。
2. 设抛物线与x轴的另一个交点横坐标为$x_2$，由于抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-1$对称，因此两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
将$x_1=1$代入上式：$\frac{1+x_2}{2}=-1$，解得$x_2=-3$。
综上，方程$-x^2+bx+c=0$的根为$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数图像性质的基础应用，解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，结合对称性求解未知交点，熟练掌握图像性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
7. 如图26.3-3所示，已知抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标是
(4,3)
。答案
7. (4,3)
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先，AB与x轴平行，说明A、B两点的纵坐标相等，可得B点纵坐标和A点一致为3；其次，抛物线是轴对称图形，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称，已知对称轴为直线x=2，只需利用对称点的横坐标与对称轴的关系，即可求出B点的横坐标。
【解析】
解：
∵AB与x轴平行，点A的坐标为$(0,3)$，
∴点B的纵坐标与点A相同，为$3$，且点A、B关于抛物线的对称轴对称。
∵抛物线的对称轴为直线$x=2$，设点B的横坐标为$m$，
∴两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{0+m}{2}=2$，
解得$m=4$，
∴点B的坐标为$(4,3)$。
【答案】
$(4,3)$
【知识点】
二次函数的对称性；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题不需要求解函数解析式，只要抓住二次函数的轴对称性和平行于坐标轴的点的坐标特征即可快速解题，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：首先，AB与x轴平行，说明A、B两点的纵坐标相等，可得B点纵坐标和A点一致为3；其次，抛物线是轴对称图形，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称，已知对称轴为直线x=2，只需利用对称点的横坐标与对称轴的关系，即可求出B点的横坐标。
【解析】
解：
∵AB与x轴平行，点A的坐标为$(0,3)$，
∴点B的纵坐标与点A相同，为$3$，且点A、B关于抛物线的对称轴对称。
∵抛物线的对称轴为直线$x=2$，设点B的横坐标为$m$，
∴两点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即$\frac{0+m}{2}=2$，
解得$m=4$，
∴点B的坐标为$(4,3)$。
【答案】
$(4,3)$
【知识点】
二次函数的对称性；平行于x轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题不需要求解函数解析式，只要抓住二次函数的轴对称性和平行于坐标轴的点的坐标特征即可快速解题，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.9
8. 已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象如图26.3-4所示，它与$x$轴的一个公共点坐标为$(-1,0)$，与$y$轴的公共点坐标为$(0,3)$。
(1)求出$b,c$的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
(2)根据图象，写出函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围。
图26.3-4
(1)求出$b,c$的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
(2)根据图象，写出函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围。
图26.3-4
答案
(1)b=2,c=3,顶
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式中的未知系数b、c，可采用待定系数法：将已知的两个点$(-1,0)$和$(0,3)$分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值；得到完整解析式后，可通过配方法或顶点坐标公式计算顶点坐标。
(2) 函数值y为正数对应抛物线在x轴上方的图象部分，需先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合图象开口方向直接写出对应x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$、$(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c =0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，得$-1 -b +3=0$，解得$b=2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
将解析式配方求顶点坐标：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，当函数值$y＞0$时，图象位于x轴上方，对应自变量x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-1＜x＜3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法的应用、二次函数顶点坐标的求解以及结合图象解不等式的能力，熟练掌握二次函数的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 求二次函数解析式中的未知系数b、c，可采用待定系数法：将已知的两个点$(-1,0)$和$(0,3)$分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到b、c的值；得到完整解析式后，可通过配方法或顶点坐标公式计算顶点坐标。
(2) 函数值y为正数对应抛物线在x轴上方的图象部分，需先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再结合图象开口方向直接写出对应x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(-1,0)$、$(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b +c =0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入第一个方程，得$-1 -b +3=0$，解得$b=2$。
因此二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
将解析式配方求顶点坐标：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，当函数值$y＞0$时，图象位于x轴上方，对应自变量x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=3$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) $-1＜x＜3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法的应用、二次函数顶点坐标的求解以及结合图象解不等式的能力，熟练掌握二次函数的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
