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1. 圆锥的侧面积公式：$S_{侧}=$
答案
1. $π rl$
解析
【分析】
本题考查圆锥侧面积公式的推导与记忆，解题时首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径对应圆锥的母线长$l$，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长$2π r$；再结合扇形面积公式即可推导出圆锥侧面积公式，记忆公式时注意区分母线长$l$和圆锥的高$h$，不要混淆参数。
【解析】
圆锥的侧面展开图是扇形，其中：
扇形的半径 = 圆锥的母线长，记为$ l $；
扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，即$ C=2π r $（$ r $为圆锥底面圆的半径）；
根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{1}{2}× 弧长 × 扇形半径 $，代入对应参数可得：
$ S_{侧}=\frac{1}{2}× 2π r × l=π rl $。
【答案】
$π rl$
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积公式；圆锥展开图特征
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对圆锥侧面积公式的掌握，理解圆锥侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查圆锥侧面积公式的推导与记忆，解题时首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径对应圆锥的母线长$l$，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长$2π r$；再结合扇形面积公式即可推导出圆锥侧面积公式，记忆公式时注意区分母线长$l$和圆锥的高$h$，不要混淆参数。
【解析】
圆锥的侧面展开图是扇形，其中：
扇形的半径 = 圆锥的母线长，记为$ l $；
扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长，即$ C=2π r $（$ r $为圆锥底面圆的半径）；
根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{1}{2}× 弧长 × 扇形半径 $，代入对应参数可得：
$ S_{侧}=\frac{1}{2}× 2π r × l=π rl $。
【答案】
$π rl$
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积公式；圆锥展开图特征
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对圆锥侧面积公式的掌握，理解圆锥侧面展开图和圆锥各参数的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 圆锥的全面积公式：$S_{全}=$
$π r(r+l)$
.答案
2. $π r(r+l)$
解析
【分析】
要推导圆锥的全面积公式，首先明确全面积是圆锥所有表面的面积之和，圆锥由底面圆形和侧面曲面两部分组成，因此全面积等于底面积加侧面积。首先回忆底面圆的面积公式，再回忆圆锥侧面积的计算公式，最后将两个面积相加并化简即可得到结果。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$：
1. 计算底面圆的面积：底面是半径为$r$的圆，因此底面积$S_{底}=π r^2$；
2. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面展开为扇形，对应侧面积公式为$S_{侧}=π rl$；
3. 计算全面积：全面积为侧面积与底面积之和，因此$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl + π r^2$，提取公因式$π r$后化简得$S_{全}=π r(r+l)$。
【答案】
$π r(r+l)$
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆的面积计算、提取公因式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是明确圆锥的构成，熟记相关面积公式，正确进行整式化简即可得分，是对几何体表面积基础认知的考查。
【难度系数】
0.9
要推导圆锥的全面积公式，首先明确全面积是圆锥所有表面的面积之和，圆锥由底面圆形和侧面曲面两部分组成，因此全面积等于底面积加侧面积。首先回忆底面圆的面积公式，再回忆圆锥侧面积的计算公式，最后将两个面积相加并化简即可得到结果。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$：
1. 计算底面圆的面积：底面是半径为$r$的圆，因此底面积$S_{底}=π r^2$；
2. 计算圆锥侧面积：圆锥侧面展开为扇形，对应侧面积公式为$S_{侧}=π rl$；
3. 计算全面积：全面积为侧面积与底面积之和，因此$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=π rl + π r^2$，提取公因式$π r$后化简得$S_{全}=π r(r+l)$。
【答案】
$π r(r+l)$
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆的面积计算、提取公因式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是明确圆锥的构成，熟记相关面积公式，正确进行整式化简即可得分，是对几何体表面积基础认知的考查。
【难度系数】
0.9
例 如图29.3-12,将一个底面直径为12 cm的圆锥,从顶点沿着高将它切成两半后,表面积增加了96 cm²,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是().
图29.3-12
A. $120°$
B. $150°$
C. $196°$
D. $216°$
解 由条件可知由圆锥的几何特征可知,表面积增加的是两个等腰三角形的面积,即每个三角形的底为圆锥底面直径12 cm.
设圆锥的高为$h$,即三角形的高为$h$,
$\therefore \frac{1}{2}×12×h=\frac{96}{2}$,解得$h=8$ cm.
又底面半径为$r=\frac{12}{2}=6$ cm,
$\therefore$圆锥的母线为$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$(cm).
$\therefore$该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长,即$2π r=12π$.
设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为$n°$,
由弧长公式可得,$\frac{nπ l}{180}=12π$,
即$\frac{n×10π}{180}=12π$,
解得$n=\frac{180×12π}{10π}=216°$.
故选 D.
方法感悟 在进行与圆锥有关的计算时,要抓住两个对应关系:一是圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径;二是圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长.
图29.3-12
A. $120°$
B. $150°$
C. $196°$
D. $216°$
解 由条件可知由圆锥的几何特征可知,表面积增加的是两个等腰三角形的面积,即每个三角形的底为圆锥底面直径12 cm.
设圆锥的高为$h$,即三角形的高为$h$,
$\therefore \frac{1}{2}×12×h=\frac{96}{2}$,解得$h=8$ cm.
又底面半径为$r=\frac{12}{2}=6$ cm,
$\therefore$圆锥的母线为$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$(cm).
$\therefore$该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长,即$2π r=12π$.
设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为$n°$,
由弧长公式可得,$\frac{nπ l}{180}=12π$,
即$\frac{n×10π}{180}=12π$,
解得$n=\frac{180×12π}{10π}=216°$.
故选 D.
方法感悟 在进行与圆锥有关的计算时,要抓住两个对应关系:一是圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径;二是圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长.
答案
解：由圆锥的几何特征可知，沿高切开后表面积增加的是两个全等的等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径12 cm。
设圆锥的高为$h$，即等腰三角形的高为$h$，则：
$\frac{1}{2} × 12 × h = \frac{96}{2}$
解得$h=8\ \mathrm{cm}$。
圆锥的底面半径$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得圆锥的母线长：
$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r=12π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ l}{180}=12π$
代入$l=10$，得：
$\frac{nπ × 10}{180}=12π$
解得$n=216$。
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是$216°$，故选D。
设圆锥的高为$h$，即等腰三角形的高为$h$，则：
$\frac{1}{2} × 12 × h = \frac{96}{2}$
解得$h=8\ \mathrm{cm}$。
圆锥的底面半径$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得圆锥的母线长：
$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r=12π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ l}{180}=12π$
代入$l=10$，得：
$\frac{nπ × 10}{180}=12π$
解得$n=216$。
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是$216°$，故选D。
解析
【分析】
解题时首先分析切割后表面积增加的部分：沿圆锥高切开后，新增的是2个完全相同的等腰三角形，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。第一步先利用新增的总面积求出单个三角形的面积，进而算出圆锥的高；第二步结合底面半径，用勾股定理算出圆锥的母线长（即侧面展开扇形的半径）；第三步抓住“圆锥底面周长=侧面展开扇形的弧长”这一核心关系，代入弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
由圆锥的几何特征可知，沿高切开后表面积增加的是两个全等的等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径12 cm。
设圆锥的高为$h$，即等腰三角形的高为$h$，则：
$\frac{1}{2} × 12 × h = \frac{96}{2}$
解得$h=8\ \mathrm{cm}$。
圆锥的底面半径$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得圆锥的母线长：
$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r=12π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ l}{180}=12π$
代入$l=10$，得：
$\frac{nπ × 10}{180}=12π$
解得$n=216$。
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是$216°$。
【答案】D
【知识点】圆锥的特征，勾股定理，弧长公式
【点评】本题属于圆锥相关的综合计算类题目，解题的核心是明确两类对应关系：一是圆锥切割后新增面的参数与圆锥参数的对应，二是圆锥侧面展开图的扇形参数与圆锥本身参数的对应（母线对应扇形半径、底面周长对应扇形弧长），是立体图形与平面图形结合的典型题型。
【难度系数】0.6
解题时首先分析切割后表面积增加的部分：沿圆锥高切开后，新增的是2个完全相同的等腰三角形，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。第一步先利用新增的总面积求出单个三角形的面积，进而算出圆锥的高；第二步结合底面半径，用勾股定理算出圆锥的母线长（即侧面展开扇形的半径）；第三步抓住“圆锥底面周长=侧面展开扇形的弧长”这一核心关系，代入弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
由圆锥的几何特征可知，沿高切开后表面积增加的是两个全等的等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径12 cm。
设圆锥的高为$h$，即等腰三角形的高为$h$，则：
$\frac{1}{2} × 12 × h = \frac{96}{2}$
解得$h=8\ \mathrm{cm}$。
圆锥的底面半径$r=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得圆锥的母线长：
$l=\sqrt{r^2 + h^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r=12π\ \mathrm{cm}$。
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ l}{180}=12π$
代入$l=10$，得：
$\frac{nπ × 10}{180}=12π$
解得$n=216$。
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是$216°$。
【答案】D
【知识点】圆锥的特征，勾股定理，弧长公式
【点评】本题属于圆锥相关的综合计算类题目，解题的核心是明确两类对应关系：一是圆锥切割后新增面的参数与圆锥参数的对应，二是圆锥侧面展开图的扇形参数与圆锥本身参数的对应（母线对应扇形半径、底面周长对应扇形弧长），是立体图形与平面图形结合的典型题型。
【难度系数】0.6
1. 如图29.3-13是用纸板制作的一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为$2\sqrt{2}$，则这个圆锥的侧面积是(
A.$4π$
B.$3π$
C.$π$
D.$2π$
B
)。A.$4π$
B.$3π$
C.$π$
D.$2π$
答案
1. B
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长。本题已知底面半径$r=1$，缺少母线长$l$；根据圆锥的性质，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，可用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长$l$
已知圆锥底面半径$r=1$，高$h=2\sqrt{2}$，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$
第二步：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=1$，$l=3$得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×1×3=3π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆锥的性质
【点评】
本题是基础计算类题目，解题的核心是明确圆锥各参数之间的关系，牢记圆锥侧面积公式，计算时注意不要混淆侧面积和全面积公式即可。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长。本题已知底面半径$r=1$，缺少母线长$l$；根据圆锥的性质，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，可用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
第一步：求圆锥的母线长$l$
已知圆锥底面半径$r=1$，高$h=2\sqrt{2}$，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3$
第二步：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=1$，$l=3$得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×1×3=3π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆锥的性质
【点评】
本题是基础计算类题目，解题的核心是明确圆锥各参数之间的关系，牢记圆锥侧面积公式，计算时注意不要混淆侧面积和全面积公式即可。
【难度系数】
0.7
2. 已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（
A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$240°$
B
）。A.$90°$
B.$120°$
C.$180°$
D.$240°$
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出圆锥底面周长，再结合扇形弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，已知底面半径$r=1\ \mathrm{cm}$，根据圆的周长公式可得：
$C_{\mathrm{底面}}=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
第二步：设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，已知母线长即扇形半径$R=3\ \mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可列方程：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
第三步：解方程，两边同时约去$π$，得：
$\frac{3n}{180}=2$
化简计算得$n=120$，即圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是掌握圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长相等的等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算出圆锥底面周长，再结合扇形弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
第一步：计算圆锥底面周长，已知底面半径$r=1\ \mathrm{cm}$，根据圆的周长公式可得：
$C_{\mathrm{底面}}=2π r=2π×1=2π\ \mathrm{cm}$
第二步：设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，已知母线长即扇形半径$R=3\ \mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ R}{180}$，且扇形弧长等于圆锥底面周长，可列方程：
$\frac{nπ×3}{180}=2π$
第三步：解方程，两边同时约去$π$，得：
$\frac{3n}{180}=2$
化简计算得$n=120$，即圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是掌握圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长相等的等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 一个圆锥的底面半径$r=6$，高$h=8$，则这个圆锥的全面积是(
A.$36π$
B.$60π$
C.$84π$
D.$96π$
D
).A.$36π$
B.$60π$
C.$84π$
D.$96π$
答案
3. D
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积由底面积和侧面积两部分组成。解题步骤可分为三步：第一步，利用圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长；第二步，分别计算圆锥的底面积和侧面积；第三步，将两个面积相加得到全面积，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算圆锥的母线长$ l $：
圆锥的底面半径$ r=6 $，高$ h=8 $，母线、底面半径、高构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理得：
$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 $
接下来分别计算底面积和侧面积：
底面积：$ S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×6^2=36π $
侧面积：$ S_{\mathrm{侧}}=π r l=π×6×10=60π $
最后计算全面积：
$ S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}=36π+60π=96π $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查圆锥面积相关公式的应用，解题的关键是牢记圆锥全面积的构成，以及母线、底面半径、高三者的数量关系，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积由底面积和侧面积两部分组成。解题步骤可分为三步：第一步，利用圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求出母线长；第二步，分别计算圆锥的底面积和侧面积；第三步，将两个面积相加得到全面积，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算圆锥的母线长$ l $：
圆锥的底面半径$ r=6 $，高$ h=8 $，母线、底面半径、高构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理得：
$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 $
接下来分别计算底面积和侧面积：
底面积：$ S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×6^2=36π $
侧面积：$ S_{\mathrm{侧}}=π r l=π×6×10=60π $
最后计算全面积：
$ S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{底}}+S_{\mathrm{侧}}=36π+60π=96π $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查圆锥面积相关公式的应用，解题的关键是牢记圆锥全面积的构成，以及母线、底面半径、高三者的数量关系，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
