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4. 如图29.3-14，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为$90°$的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是(
A.$\dfrac{π}{4}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{π}{2}$
C
).A.$\dfrac{π}{4}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{π}{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要抓住两个核心逻辑：第一，围成圆锥的扇形弧长和圆锥底面圆的周长相等；第二，首先要正确求出剪下的扇形的半径，注意不要把圆形铁片的半径直接当成扇形的半径。首先结合圆形铁片半径和扇形90°圆心角的特征，用勾股定理算出扇形半径，再代入弧长公式求弧长，最后根据弧长和底面周长的等量关系列方程求解底面半径即可。
【解析】
1. 求扇形的半径
已知圆形铁片半径为2，因此其直径$BC=2×2=4$。
因为扇形圆心角$∠ BAC=90°$，且扇形的两条半径$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰直角三角形。
根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$AB=AC$、$BC=4$得：
$2AB^2=16$，解得$AB=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），即扇形的半径$R=2\sqrt{2}$。
2. 计算扇形的弧长
扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=90°$，代入得：
$l=\frac{90×π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$
3. 求圆锥底面圆的半径$r$
圆锥底面圆周长等于扇形弧长，底面周长$C=2π r$，因此：
$2π r=\sqrt{2}π$
两边同时除以$π$得$2r=\sqrt{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，弧长计算，圆锥与扇形的关系
【点评】
本题属于圆锥相关的常规计算类题目，解题的易错点是容易误将圆形铁片的半径当成扇形的半径，只要理清扇形和对应圆锥的等量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，我们需要抓住两个核心逻辑：第一，围成圆锥的扇形弧长和圆锥底面圆的周长相等；第二，首先要正确求出剪下的扇形的半径，注意不要把圆形铁片的半径直接当成扇形的半径。首先结合圆形铁片半径和扇形90°圆心角的特征，用勾股定理算出扇形半径，再代入弧长公式求弧长，最后根据弧长和底面周长的等量关系列方程求解底面半径即可。
【解析】
1. 求扇形的半径
已知圆形铁片半径为2，因此其直径$BC=2×2=4$。
因为扇形圆心角$∠ BAC=90°$，且扇形的两条半径$AB=AC$，所以$△ ABC$为等腰直角三角形。
根据勾股定理：$AB^2+AC^2=BC^2$，代入$AB=AC$、$BC=4$得：
$2AB^2=16$，解得$AB=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），即扇形的半径$R=2\sqrt{2}$。
2. 计算扇形的弧长
扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=90°$，代入得：
$l=\frac{90×π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$
3. 求圆锥底面圆的半径$r$
圆锥底面圆周长等于扇形弧长，底面周长$C=2π r$，因此：
$2π r=\sqrt{2}π$
两边同时除以$π$得$2r=\sqrt{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，弧长计算，圆锥与扇形的关系
【点评】
本题属于圆锥相关的常规计算类题目，解题的易错点是容易误将圆形铁片的半径当成扇形的半径，只要理清扇形和对应圆锥的等量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
5. 如图29.3-15，一个圆锥装饰物，母线长为2 m，底面半径为1 m. 若仅包裹圆锥侧面，至少需要用布料(
A.$4π\ \mathrm{m}^2$
B.$2π\ \mathrm{m}^2$
C.$π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$
B
).A.$4π\ \mathrm{m}^2$
B.$2π\ \mathrm{m}^2$
C.$π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$
答案
5. B
解析
【分析】
首先明确题目所求的“仅包裹圆锥侧面的布料面积”本质就是圆锥的侧面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径乘母线长（$S=π rl$），再从题干中提取已知条件：底面半径$r=1\ \mathrm{m}$，母线长$l=2\ \mathrm{m}$，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，所需布料面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面半径，$l$为圆锥母线长。
将$r=1\ \mathrm{m}$，$l=2\ \mathrm{m}$代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 1 × 2 = 2π\ \mathrm{m}^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是几何公式在实际问题中的简单应用，解题关键是熟记圆锥侧面积公式，准确匹配对应参数计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确题目所求的“仅包裹圆锥侧面的布料面积”本质就是圆锥的侧面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径乘母线长（$S=π rl$），再从题干中提取已知条件：底面半径$r=1\ \mathrm{m}$，母线长$l=2\ \mathrm{m}$，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，所需布料面积等于圆锥的侧面积。
圆锥侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面半径，$l$为圆锥母线长。
将$r=1\ \mathrm{m}$，$l=2\ \mathrm{m}$代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 1 × 2 = 2π\ \mathrm{m}^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是几何公式在实际问题中的简单应用，解题关键是熟记圆锥侧面积公式，准确匹配对应参数计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图29.3-16，AB为圆锥轴截面$△ ABC$的一边，一只蚂蚁从点B出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB=6，OB=3，则蚂蚁爬行的最短距离为
$3\sqrt{5}$
。答案
6. $3\sqrt{5}$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面上两点的最短爬行距离，需利用“两点之间线段最短”，先将圆锥侧面展开为平面扇形：第一步先根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，求出扇形的圆心角；第二步确定展开图中B、D两点的位置，以及对应边的长度和夹角；第三步用勾股定理计算两点间线段长度，即为最短距离。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：
底面半径OB=3，因此底面周长$C=2π· OB=2π×3=6π$。
2. 求侧面展开图的圆心角：
圆锥侧面展开图是扇形，半径等于母线长AB=6，设扇形圆心角为$n°$，根据扇形弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
解得$n=180$，即侧面展开图为圆心角是$180°$的半圆，圆心为A。
3. 确定展开图中∠BAD的度数：
B、C是底面直径的两个端点，因此底面劣弧BC的长度为底面周长的一半，即$3π$，对应展开图中$∠ BAC=\frac{3π}{6π}×180°=90°$。
4. 计算最短距离BD：
D是AC的中点，AC=AB=6，因此$AD=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△ABD中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，核心是将立体图形转化为平面图形求解，易错点是展开图中两点对应夹角的计算，掌握圆锥和侧面展开图的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
要计算圆锥侧面上两点的最短爬行距离，需利用“两点之间线段最短”，先将圆锥侧面展开为平面扇形：第一步先根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，求出扇形的圆心角；第二步确定展开图中B、D两点的位置，以及对应边的长度和夹角；第三步用勾股定理计算两点间线段长度，即为最短距离。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：
底面半径OB=3，因此底面周长$C=2π· OB=2π×3=6π$。
2. 求侧面展开图的圆心角：
圆锥侧面展开图是扇形，半径等于母线长AB=6，设扇形圆心角为$n°$，根据扇形弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
解得$n=180$，即侧面展开图为圆心角是$180°$的半圆，圆心为A。
3. 确定展开图中∠BAD的度数：
B、C是底面直径的两个端点，因此底面劣弧BC的长度为底面周长的一半，即$3π$，对应展开图中$∠ BAC=\frac{3π}{6π}×180°=90°$。
4. 计算最短距离BD：
D是AC的中点，AC=AB=6，因此$AD=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△ABD中，$∠ BAD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，核心是将立体图形转化为平面图形求解，易错点是展开图中两点对应夹角的计算，掌握圆锥和侧面展开图的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
7. 一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸如图29.3-17所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为
$15π$
cm².答案
7. $15π$
解析
【分析】
要计算圆锥形漏斗的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），需先获取所需的参数：首先从刻度尺读数得到圆锥的高，再通过坐标差值结合勾股定理求出母线长，接着利用圆锥的高、母线、底面半径的勾股关系求出底面半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 读取数据：由图可知，圆锥的高$h=4\mathrm{cm}$，锥尖到圆锥底面边缘的水平距离为$3\mathrm{cm}$，竖直距离为$4\mathrm{cm}$。
2. 求母线长：根据勾股定理，母线长$l=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
3. 求底面半径：圆锥的母线、高、底面半径满足勾股定理$l^2=r^2+h^2$，代入数据得$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$。
4. 计算侧面积：代入圆锥侧面积公式得$S=π rl=π×3×5=15π\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，长度测量
【点评】
本题将长度测量和圆锥侧面积计算结合考查，只要能正确从图中提取数据，熟记相关公式和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥形漏斗的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），需先获取所需的参数：首先从刻度尺读数得到圆锥的高，再通过坐标差值结合勾股定理求出母线长，接着利用圆锥的高、母线、底面半径的勾股关系求出底面半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 读取数据：由图可知，圆锥的高$h=4\mathrm{cm}$，锥尖到圆锥底面边缘的水平距离为$3\mathrm{cm}$，竖直距离为$4\mathrm{cm}$。
2. 求母线长：根据勾股定理，母线长$l=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$。
3. 求底面半径：圆锥的母线、高、底面半径满足勾股定理$l^2=r^2+h^2$，代入数据得$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$。
4. 计算侧面积：代入圆锥侧面积公式得$S=π rl=π×3×5=15π\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，长度测量
【点评】
本题将长度测量和圆锥侧面积计算结合考查，只要能正确从图中提取数据，熟记相关公式和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 如图29.3-18，在矩形ABCD中，AB = $4\sqrt{2}$，点E在边BC上，且BE=AB，连接AE，以A为圆心，AE长为半径画弧，交AD边于点F，将扇形AEF剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为。
答案
解析
【分析】
要求圆锥底面半径，核心要明确圆锥侧面展开图（本题的扇形AEF）的弧长等于圆锥底面周长，因此分三步推导：1. 结合矩形和等腰直角三角形的性质，求出扇形的圆心角∠EAF和半径AE的长度；2. 利用弧长公式计算弧EF的长度；3. 根据弧长和底面周长的等量关系列方程，求解底面半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵AB=BE=4√2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠BAD - ∠BAE = 90°-45°=45°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB²+BE²)=√[(4√2)²+(4√2)²]=√(32+32)=√64=8，
即扇形AEF的半径为8，圆心角为45°。
弧EF的长度为：
$l_{\overset{\frown}{EF}}=\frac{nπR}{180}=\frac{45π×8}{180}=2π$。
设圆锥底面半径为r，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴2πr=2π，
解得r=1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；弧长计算；圆锥的计算
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质和圆锥计算结合，解题关键是理解圆锥侧面展开图弧长与底面周长的对应关系，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求圆锥底面半径，核心要明确圆锥侧面展开图（本题的扇形AEF）的弧长等于圆锥底面周长，因此分三步推导：1. 结合矩形和等腰直角三角形的性质，求出扇形的圆心角∠EAF和半径AE的长度；2. 利用弧长公式计算弧EF的长度；3. 根据弧长和底面周长的等量关系列方程，求解底面半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵AB=BE=4√2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠BAD - ∠BAE = 90°-45°=45°。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB²+BE²)=√[(4√2)²+(4√2)²]=√(32+32)=√64=8，
即扇形AEF的半径为8，圆心角为45°。
弧EF的长度为：
$l_{\overset{\frown}{EF}}=\frac{nπR}{180}=\frac{45π×8}{180}=2π$。
设圆锥底面半径为r，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴2πr=2π，
解得r=1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；弧长计算；圆锥的计算
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质和圆锥计算结合，解题关键是理解圆锥侧面展开图弧长与底面周长的对应关系，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图29.3-19，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线$ l $长为25 cm，高AB为20 cm的锥形草帽.粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠.
(1)求这顶锥形草帽的侧面积.（结果保留$ π $）
(2)求所需扇形卡纸的圆心角的度数.
图29.3-19
(1)求这顶锥形草帽的侧面积.（结果保留$ π $）
(2)求所需扇形卡纸的圆心角的度数.
图29.3-19
答案
9.(1)
∵母线l长为25 cm,高为20 cm,
∴底面半径r=√(l²−h²)=√(25²−20²)=15(cm).
∴S侧面积=πrl=π×15×25=375π(cm²). 因此,这顶锥形草帽的侧面积是375π cm² (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°,由题意,得$\frac{nπ×25}{180}$=2π×15,解得n=216. 因此,扇形卡纸的圆心角的度数为216°
∵母线l长为25 cm,高为20 cm,
∴底面半径r=√(l²−h²)=√(25²−20²)=15(cm).
∴S侧面积=πrl=π×15×25=375π(cm²). 因此,这顶锥形草帽的侧面积是375π cm² (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°,由题意,得$\frac{nπ×25}{180}$=2π×15,解得n=216. 因此,扇形卡纸的圆心角的度数为216°
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：
(1) 求圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，已知母线长$l$，缺少底面半径$r$。圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，可通过勾股定理先算出底面半径$r$，再代入侧面积公式计算即可。
(2) 求扇形圆心角：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥母线长，据此列等式即可求解圆心角的度数。
【解析】
(1) 已知圆锥母线长$l=25\ \mathrm{cm}$，高$AB=20\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得圆锥底面半径$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥侧面积公式：$S_{侧}=π rl$，代入数值得$S_{侧}=π×15×25=375π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 设扇形卡纸的圆心角度数为$n°$，
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，所以可得等式：$\frac{nπ l}{180}=2π r$，
将$l=25\ \mathrm{cm}$，$r=15\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{nπ×25}{180}=2π×15$，
两边同时约去$π$，解得$n=216$。
【答案】
(1) $\boxed{375π\ \mathrm{cm}^2}$；(2) $\boxed{216°}$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥侧面展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是明确圆锥的底面半径、母线、高的数量关系，以及侧面展开扇形和圆锥各参数的对应关系，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，分两步思考：
(1) 求圆锥侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，已知母线长$l$，缺少底面半径$r$。圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，可通过勾股定理先算出底面半径$r$，再代入侧面积公式计算即可。
(2) 求扇形圆心角：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥母线长，据此列等式即可求解圆心角的度数。
【解析】
(1) 已知圆锥母线长$l=25\ \mathrm{cm}$，高$AB=20\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得圆锥底面半径$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥侧面积公式：$S_{侧}=π rl$，代入数值得$S_{侧}=π×15×25=375π\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 设扇形卡纸的圆心角度数为$n°$，
因为圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面周长，所以可得等式：$\frac{nπ l}{180}=2π r$，
将$l=25\ \mathrm{cm}$，$r=15\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{nπ×25}{180}=2π×15$，
两边同时约去$π$，解得$n=216$。
【答案】
(1) $\boxed{375π\ \mathrm{cm}^2}$；(2) $\boxed{216°}$
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥侧面展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是明确圆锥的底面半径、母线、高的数量关系，以及侧面展开扇形和圆锥各参数的对应关系，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为(
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
).A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
10. B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先利用扇形弧长公式算出展开图的弧长，再结合圆的周长公式列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $，其中圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 根据“扇形弧长=圆锥底面圆周长”列等式：
圆的周长公式为$ C=2π r $，因此有：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、扇形弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是立体图形展开类的基础常考题，解题核心是抓住侧面展开图与原圆锥的等量关系，只要熟记相关公式就能快速得出结果，是对基础公式应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先利用扇形弧长公式算出展开图的弧长，再结合圆的周长公式列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $，其中圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 根据“扇形弧长=圆锥底面圆周长”列等式：
圆的周长公式为$ C=2π r $，因此有：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、扇形弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是立体图形展开类的基础常考题，解题核心是抓住侧面展开图与原圆锥的等量关系，只要熟记相关公式就能快速得出结果，是对基础公式应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
