登录
2. 过双曲线$y=\frac{k}{x}$上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于
|k|
。连接该点与原点，还可以得出两个直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|$
。答案
2. 围成的矩形面积等于$|k|$，两个直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|$
解析
【分析】
解题时可先设双曲线上任意一点的坐标，结合反比例函数解析式得到横、纵坐标的乘积关系，再根据面积公式推导即可：①先设双曲线上任意点P的坐标为(x,y)，利用点在函数图象上满足解析式，得到xy=k；②向两坐标轴作垂线后，垂线段的长度为对应坐标的绝对值，结合矩形面积公式即可求出矩形面积；③直角三角形的面积是对应矩形面积的一半，由此可算出三角形面积。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点的坐标为$P(x,y)$，
∵点$P$在双曲线上，
∴将$P(x,y)$代入解析式得$y=\frac{k}{x}$，变形可得$xy=k$。
过点$P$分别向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线段的长度分别为$|y|$、$|x|$，
则与两坐标轴围成的矩形面积为：$S_{\mathrm{矩形}}=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
连接点$P$与原点后，得到的两个直角三角形的面积均为矩形面积的一半，
因此每个直角三角形的面积为：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}}=\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
$|k|$；$\frac{1}{2}|k|$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查$k$的几何意义，该结论是解决反比例函数与几何结合类题目的常用基础结论，解题时注意要给$k$加绝对值，保证面积为非负数。
【难度系数】
0.9
解题时可先设双曲线上任意一点的坐标，结合反比例函数解析式得到横、纵坐标的乘积关系，再根据面积公式推导即可：①先设双曲线上任意点P的坐标为(x,y)，利用点在函数图象上满足解析式，得到xy=k；②向两坐标轴作垂线后，垂线段的长度为对应坐标的绝对值，结合矩形面积公式即可求出矩形面积；③直角三角形的面积是对应矩形面积的一半，由此可算出三角形面积。
【解析】
设双曲线$y=\frac{k}{x}$上任意一点的坐标为$P(x,y)$，
∵点$P$在双曲线上，
∴将$P(x,y)$代入解析式得$y=\frac{k}{x}$，变形可得$xy=k$。
过点$P$分别向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线段的长度分别为$|y|$、$|x|$，
则与两坐标轴围成的矩形面积为：$S_{\mathrm{矩形}}=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
连接点$P$与原点后，得到的两个直角三角形的面积均为矩形面积的一半，
因此每个直角三角形的面积为：$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}}=\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
$|k|$；$\frac{1}{2}|k|$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查$k$的几何意义，该结论是解决反比例函数与几何结合类题目的常用基础结论，解题时注意要给$k$加绝对值，保证面积为非负数。
【难度系数】
0.9
例 如图27.2-1，点A是$y=\frac{4}{x}$的图象上一点，AB⊥y轴于点B，则$△ AOB$的面积是().
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解 设点$A(x_0,y_0)$，则$y_0=\frac{4}{x_0}$，即$x_0 · y_0=4$. 因为$AB ⊥ y$轴于点B，所以$B(0,y_0)$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · AB · OB=\frac{1}{2} · |x_0| · |y_0|=\frac{1}{2}|x_0 · y_0|=2$. 故选B.
方法感悟 求反比例函数中的系数k主要有两种方法：一是利用反比例函数图象上某点的坐标，将其代入解析式进行求解；二是利用k的几何意义，构造矩形或三角形求解.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解 设点$A(x_0,y_0)$，则$y_0=\frac{4}{x_0}$，即$x_0 · y_0=4$. 因为$AB ⊥ y$轴于点B，所以$B(0,y_0)$，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · AB · OB=\frac{1}{2} · |x_0| · |y_0|=\frac{1}{2}|x_0 · y_0|=2$. 故选B.
方法感悟 求反比例函数中的系数k主要有两种方法：一是利用反比例函数图象上某点的坐标，将其代入解析式进行求解；二是利用k的几何意义，构造矩形或三角形求解.
答案
解：设点$A(x_0,y_0)$，则$y_0=\frac{4}{x_0}$，即$x_0· y_0=4$。
因为$AB ⊥ y$轴于点$B$，所以$B(0,y_0)$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB=\frac{1}{2}· |x_0|· |y_0|=\frac{1}{2}|x_0· y_0|=\frac{1}{2}×4=2$。
故选B。
因为$AB ⊥ y$轴于点$B$，所以$B(0,y_0)$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB=\frac{1}{2}· |x_0|· |y_0|=\frac{1}{2}|x_0· y_0|=\frac{1}{2}×4=2$。
故选B。
解析
【分析】
要计算△AOB的面积，我们可以先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数图象上的性质得到横纵坐标的乘积，再结合AB垂直y轴的条件，确定△AOB两条直角边的长度与点A坐标的关系，最后代入三角形面积公式计算即可。也可以直接用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题中k=4，可快速得出结果。
【解析】
设点$A(x_0,y_0)$，
∵点A在$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$y_0=\frac{4}{x_0}$，即$x_0· y_0=4$。
∵$AB ⊥ y$轴于点$B$，
∴点B坐标为$(0,y_0)$，AB的长度为$|x_0|$，OB的长度为$|y_0|$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB=\frac{1}{2}· |x_0|· |y_0|=\frac{1}{2}|x_0· y_0|=\frac{1}{2}×4=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查反比例函数相关性质的应用，既可以通过设点坐标逐步推导求解，也可以直接利用k的几何意义快速得到答案，熟练掌握相关结论能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要计算△AOB的面积，我们可以先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数图象上的性质得到横纵坐标的乘积，再结合AB垂直y轴的条件，确定△AOB两条直角边的长度与点A坐标的关系，最后代入三角形面积公式计算即可。也可以直接用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上任意一点向x轴或y轴作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，本题中k=4，可快速得出结果。
【解析】
设点$A(x_0,y_0)$，
∵点A在$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$y_0=\frac{4}{x_0}$，即$x_0· y_0=4$。
∵$AB ⊥ y$轴于点$B$，
∴点B坐标为$(0,y_0)$，AB的长度为$|x_0|$，OB的长度为$|y_0|$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· AB· OB=\frac{1}{2}· |x_0|· |y_0|=\frac{1}{2}|x_0· y_0|=\frac{1}{2}×4=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查反比例函数相关性质的应用，既可以通过设点坐标逐步推导求解，也可以直接利用k的几何意义快速得到答案，熟练掌握相关结论能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
1. 反比例函数的图象如图
所示，这个反比例函数的解析式可能是(
A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{7}{x}$
D.$y=\frac{9}{x}$
所示，这个反比例函数的解析式可能是(C
).A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{7}{x}$
D.$y=\frac{9}{x}$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定反比例函数的解析式，首先明确反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），其中$k=xy$。我们可以结合图中A、B两点与反比例函数图象的位置关系，分别代入x的值，根据函数值和点纵坐标的大小关系列出关于k的不等式，求出k的取值范围后匹配选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
1. 由点$A(3,3)$在反比例函数第一象限图象的上方可知：当$x=3$时，反比例函数的函数值小于3，代入得：
$\frac{k}{3}＜3$，解得$k＜9$。
2. 由点$B(-2,-3)$在反比例函数第三象限图象的上方可知：当$x=-2$时，反比例函数的函数值小于-3，代入得：
$\frac{k}{-2}＜-3$，不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，解得$k＞6$。
因此$k$的取值范围是$6＜k＜9$，四个选项中只有$k=7$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，待定系数法，不等式求解
【点评】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点与图象的位置关系正确列出不等式，注意解不等式时两边同乘负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
要确定反比例函数的解析式，首先明确反比例函数的形式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），其中$k=xy$。我们可以结合图中A、B两点与反比例函数图象的位置关系，分别代入x的值，根据函数值和点纵坐标的大小关系列出关于k的不等式，求出k的取值范围后匹配选项即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
1. 由点$A(3,3)$在反比例函数第一象限图象的上方可知：当$x=3$时，反比例函数的函数值小于3，代入得：
$\frac{k}{3}＜3$，解得$k＜9$。
2. 由点$B(-2,-3)$在反比例函数第三象限图象的上方可知：当$x=-2$时，反比例函数的函数值小于-3，代入得：
$\frac{k}{-2}＜-3$，不等式两边同时乘$-2$，不等号方向改变，解得$k＞6$。
因此$k$的取值范围是$6＜k＜9$，四个选项中只有$k=7$符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，待定系数法，不等式求解
【点评】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点与图象的位置关系正确列出不等式，注意解不等式时两边同乘负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
2. 面积为2的$△ ABC$，一边长为$x$，这边上的高为$y$，则$y$与$x$的变化规律用图象表示大致为(
C
).答案
2. C
解析
【分析】
首先根据三角形面积公式推导y与x的函数关系，再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后结合函数图象特征和特殊点逐一排除错误选项即可。第一步：利用三角形面积=1/2×底×高的公式，代入已知条件得到x和y的等式，整理为函数形式；第二步：边长x为正数，因此函数图象仅在第一象限；第三步：代入特殊值（如x=2）计算对应y值，匹配选项中的图象特征。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=2$
整理得函数解析式：$y=\frac{4}{x}$
∵x是三角形的边长，
∴$x＞0$，因此函数图象是反比例函数$y=\frac{4}{x}$位于第一象限的分支。
代入$x=2$，得$y=\frac{4}{2}=2$，即图象过点$(2,2)$。
对选项逐一判断：
A：包含第三象限的分支，不符合$x＞0$的要求，排除；
B：为一次函数的直线图象，与反比例函数的曲线特征不符，排除；
D：图象在$x=4$处终止，不符合x可取任意正实数的特点，排除；
只有C选项符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数图象，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的应用，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，避免错选完整的反比例函数图象，同时可通过特殊点验证的方法快速锁定正确选项。
【难度系数】
0.7
首先根据三角形面积公式推导y与x的函数关系，再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后结合函数图象特征和特殊点逐一排除错误选项即可。第一步：利用三角形面积=1/2×底×高的公式，代入已知条件得到x和y的等式，整理为函数形式；第二步：边长x为正数，因此函数图象仅在第一象限；第三步：代入特殊值（如x=2）计算对应y值，匹配选项中的图象特征。
【解析】
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=2$
整理得函数解析式：$y=\frac{4}{x}$
∵x是三角形的边长，
∴$x＞0$，因此函数图象是反比例函数$y=\frac{4}{x}$位于第一象限的分支。
代入$x=2$，得$y=\frac{4}{2}=2$，即图象过点$(2,2)$。
对选项逐一判断：
A：包含第三象限的分支，不符合$x＞0$的要求，排除；
B：为一次函数的直线图象，与反比例函数的曲线特征不符，排除；
D：图象在$x=4$处终止，不符合x可取任意正实数的特点，排除；
只有C选项符合函数特征。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式，反比例函数图象，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的应用，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，避免错选完整的反比例函数图象，同时可通过特殊点验证的方法快速锁定正确选项。
【难度系数】
0.7
3.(易错题)如图27.2-3所示,已知点$P_1,P_2$分别是反比例函数$y=\frac{10}{x}(x＞0)$的图象上的两点,分别过点$P_1,P_2$作$x$轴、$y$轴的垂线,垂线与坐标轴围成的矩形面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1$与$S_2$的大小关系是(
A.$S_1=S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1＞S_2$
D.$S_1≥ S_2$
A
).A.$S_1=S_2$
B.$S_1＜S_2$
C.$S_1＞S_2$
D.$S_1≥ S_2$
答案
3. A
解析
【分析】
要判断两个矩形面积的大小关系，可结合反比例函数的性质推导：首先设出两个点的坐标，利用点在反比例函数图象上时，横纵坐标的乘积等于比例系数k；再分析矩形面积与点横、纵坐标的关系，即可得到两个面积的大小。
【解析】
设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，点$P_2$的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵ 点$P_1,P_2$都在反比例函数$y=\frac{10}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 代入解析式可得：$x_1y_1=10$，$x_2y_2=10$。
∵ 过点作x轴、y轴的垂线围成的矩形面积等于该点横坐标与纵坐标的乘积，
∴ $S_1=x_1· y_1=10$，$S_2=x_2· y_2=10$，
∴ $S_1=S_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，易错点是部分同学会误认为点的位置不同矩形面积不同，只要掌握反比例函数中|k|的几何意义，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断两个矩形面积的大小关系，可结合反比例函数的性质推导：首先设出两个点的坐标，利用点在反比例函数图象上时，横纵坐标的乘积等于比例系数k；再分析矩形面积与点横、纵坐标的关系，即可得到两个面积的大小。
【解析】
设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，点$P_2$的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵ 点$P_1,P_2$都在反比例函数$y=\frac{10}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 代入解析式可得：$x_1y_1=10$，$x_2y_2=10$。
∵ 过点作x轴、y轴的垂线围成的矩形面积等于该点横坐标与纵坐标的乘积，
∴ $S_1=x_1· y_1=10$，$S_2=x_2· y_2=10$，
∴ $S_1=S_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，易错点是部分同学会误认为点的位置不同矩形面积不同，只要掌握反比例函数中|k|的几何意义，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
4. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 在第一象限内的图象如图27.2-4所示，点M是图象上一点，$MP ⊥ x$轴于点P。如果$△ MOP$的面积为1，那么k的值是
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中$△ MOP$正好是符合上述特征的直角三角形，已知其面积为1，且反比例函数在第一象限、$k＞0$，因此可以直接代入面积公式求解k的值。
【解析】
设点M的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0,y＞0$（第一象限）。
∵点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$MP⊥ x$轴，
∴$OP=x$，$MP=y$，
$△ MOP$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× MP=\frac{1}{2}xy$。
已知$S_{△ MOP}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}k=1$
解得$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数k的几何意义；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数中k的几何意义的理解和应用，解题时要注意结合函数图象所在的象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。本题中$△ MOP$正好是符合上述特征的直角三角形，已知其面积为1，且反比例函数在第一象限、$k＞0$，因此可以直接代入面积公式求解k的值。
【解析】
设点M的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0,y＞0$（第一象限）。
∵点M在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$MP⊥ x$轴，
∴$OP=x$，$MP=y$，
$△ MOP$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× MP=\frac{1}{2}xy$。
已知$S_{△ MOP}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}k=1$
解得$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数k的几何意义；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数中k的几何意义的理解和应用，解题时要注意结合函数图象所在的象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
