5. 如图27.2-5，已知点M是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上任意一点，过点M分别作x轴、y轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k=。

5. -2

【分析】
解题首先要用到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的平行线，两条线与坐标轴围成的矩形面积等于$\left|k\right|$。第一步先根据矩形面积求出$\left|k\right|$的取值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终得到k的准确值。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可得，题中矩形的面积为$\left|k\right|$，已知矩形面积为2，因此：
$\left|k\right|=2$，解得$k=2$或$k=-2$。
观察图象可知，反比例函数的图象分布在第二、四象限，因此$k＜0$，所以$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，解题时容易忽略图象所在象限直接写$k=2$，牢记结合图象判断k的符号是避免出错的关键。
【难度系数】
0.7

6. 如图27.2-6，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象经过点$P(2,6)$。
（1）当$x=-6$时，求$y$的值。
（2）当$-4＜x≤-1$时，求$y$的取值范围。

(1) 当$x=-6$时，$y=-2$
(2) $-12≤y＜-3$

【分析】
解题思路：首先利用待定系数法，将已知点P的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，确定函数的完整解析式。（1）问直接将x=-6代入解析式即可求得对应的y值；（2）问先根据k的正负判断反比例函数在第三象限的增减性，再分别计算区间端点x=-4和x=-1对应的y值，结合增减性和x的取值范围的端点限制，即可求出y的取值范围。
【解析】
解：将点$P(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
（1）把$x=-6$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$y=\frac{12}{-6}=-2$。
（2）
∵$k=12＞0$，
∴反比例函数在$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-4$时，$y=\frac{12}{-4}=-3$；
当$x=-1$时，$y=\frac{12}{-1}=-12$，
又
∵$-4＜x≤-1$，
∴$y$的取值范围是$-12≤y＜-3$。
【答案】
(1) 当$x=-6$时，$y=-2$
(2) $-12≤y＜-3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的增减性；函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心是先确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性求解取值范围，解题时要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，同时要留意区间端点是否可取，避免范围出错。
【难度系数】
0.8

7.【问题呈现】我们知道反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象是双曲线，那么函数 $y=\frac{k}{x+m}+n(k,m,n$ 为常数且 $k≠0)$ 的图象还是双曲线吗？它与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅。
【探索思考】我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数 $y_1=\frac{4}{x+1}$ 的图象。
(1)绘制函数图象.
①列表：
| $x$ | … | $-6$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-\frac{4}{5}$ | $-1$ | $-\frac{4}{3}$ | $-2$ | | $4$ | $2$ | $\frac{4}{3}$ | $1$ | $\frac{4}{5}$ | … |
②根据上表数据，在图27.2-7的平面直角坐标系中描点，连线画出 $y_1=\frac{4}{x+1}$ 的图象.

(2)观察图象.写出该函数图象的两条不同的性质：①，②.
(3)理解运用.函数 $y_1=\frac{4}{x+1}$ 的图象是由函数 $y_2=\frac{4}{x}$ 的图象向平移个单位长度得到的.
(4)灵活应用.根据上述画函数图象的经验，想一想函数 $y_3=\frac{4}{x+1}+2$ 的图象大致位置，并根据图象指出，当 $x$ 满足时，$y_3＞3$.

7. (1) 如答图6所示
(2) 答案不唯一,如:图象与 x 轴无公共点 当 $x＞-1$ 时,y 随 x 的增大而减小
(3) 左 1
(4) -1

【分析】
本题围绕反比例函数的平移与性质展开，解题思路清晰：① 解决第(1)问时，先将x=-2代入解析式求出对应函数值，再按描点法步骤描点连线即可得到图象；② 第(2)问可从函数的增减性、对称性、与坐标轴的交点、渐近线等角度观察图象总结性质，合理即可；③ 第(3)问依据函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，针对x的变换判断平移方向和距离；④ 第(4)问先将$y_3＞3$转化为分式不等式，结合分母正负分类讨论求解，也可结合函数图象直接得到取值范围。
【解析】
(1) ① 把$x=-2$代入$y_1=\frac{4}{x+1}$，得$y=\frac{4}{-2+1}=-4$；② 按照表格中的坐标在平面直角坐标系中依次描点，再用平滑曲线顺次连接各点，所得图象即为$y_1=\frac{4}{x+1}$的图象，如答图6所示。
(2) 观察图象可得性质：
① 图象与x轴没有公共点；
② 当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一，合理即可，如“图象关于点$(-1,0)$中心对称”“当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小”等均正确）。
(3) 根据函数平移规律：自变量$x$加$n$（$n＞0$）对应图象向左平移$n$个单位，因此$y=\frac{4}{x}$的图象向左平移1个单位长度可得到$y=\frac{4}{x+1}$的图象。
(4) 由$y_3＞3$列不等式：
$\frac{4}{x+1}+2＞3$
移项整理得：$\frac{4}{x+1}＞1$
分两种情况讨论：
当$x+1＞0$，即$x＞-1$时，不等式两边同时乘$x+1$，不等号方向不变，得$4＞x+1$，解得$x＜3$，此时解集为$-1＜x＜3$；
当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，不等式两边同时乘$x+1$，不等号方向改变，得$4＜x+1$，解得$x＞3$，与$x＜-1$矛盾，无实解。
综上，满足条件的$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
(1) 如答图6所示
(2) 示例：图象与x轴无公共点；当$x＞-1$时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3) 左；1
(4) $-1＜x＜3$
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象的平移；分式不等式求解
【点评】
本题是反比例函数的迁移探究题，重点考查知识的迁移应用能力，熟练掌握反比例函数的基本性质和函数平移规律是解题的核心，同时求解分式不等式时要注意分类讨论分母的正负，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

8. 如图27.2-8，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上。若点B(-1,3)，$S_{□ ABCO}=3$，则实数k的值为。

8. -6

【分析】
要计算反比例函数中k的值，需先得到反比例函数上点A的坐标：首先根据平行四边形对边平行的性质，AB平行于x轴，因此点A与点B纵坐标相同，都为3；再利用平行四边形面积=底×高，高即为纵坐标的长度3，结合已知面积可算出底OC的长度为1，即AB长度也为1，结合B点横坐标即可推出A点横坐标，最后将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
1.

∵四边形ABCO是平行四边形，OC在x轴上，


∴AB//x轴，点A的纵坐标与点B(-1,3)的纵坐标相等，即$y_A=3$。
2. 平行四边形ABCO的高等于纵坐标的长度3，由$S_{□ABCO}=OC × 高=3$，代入高=3得：
$OC × 3=3$，解得$OC=1$。
3.

∵平行四边形对边相等，
∴$AB=OC=1$，点A在点B左侧，


∴点A的横坐标为$-1-1=-2$，即点A坐标为$(-2,3)$。
4. 将A(-2,3)代入$y=\frac{k}{x}$得：$3=\frac{k}{-2}$，解得$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数点坐标特征；平行四边形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合基础题，解题核心是利用平行四边形的性质推导点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标满足解析式的规律求解参数，有助于锻炼几何与函数结合的解题思维。
【难度系数】
0.7