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例4 如图，点阵的层数用$n$表示，点数的总和用$S$表示，当$S=66$时，$n$的值为（
A.10
B.11
C.12
D.13
解析 根据题意，得$S=\frac{1}{2}n(n+1)$。
因为$S=66$，所以$\frac{1}{2}n(n+1)=66$，
解得$n_1=11$，$n_2=-12$（舍去）。
答案 B
B
）A.10
B.11
C.12
D.13
解析 根据题意，得$S=\frac{1}{2}n(n+1)$。
因为$S=66$，所以$\frac{1}{2}n(n+1)=66$，
解得$n_1=11$，$n_2=-12$（舍去）。
答案 B
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察点阵规律：第1层有1个点，第2层有2个点，第3层有3个点，以此类推，第n层有n个点，因此总点数S是从1到n的正整数之和，可通过等差数列求和公式得到S与n的关系式；接下来将S=66代入关系式得到关于n的一元二次方程，求解后结合n是正整数的实际意义舍去负根，即可得到n的值。
【解析】
观察点阵可得：n层点阵的总点数为前n个正整数的和，根据等差数列求和公式得：
$S=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$
将$S=66$代入上式，得：
$\frac{1}{2}n(n+1)=66$
整理为一元二次方程的一般形式：
$n^2 +n -132=0$
因式分解得：
$(n-11)(n+12)=0$
解得：$n_1=11$，$n_2=-12$
因为n表示点阵的层数，为正整数，所以$n=-12$不符合实际意义，舍去。
即n的值为11。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合点阵图形考查规律探究与方程的实际应用，解题关键是先通过观察归纳出总点数与层数的数量关系，再代入已知条件列方程求解，注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，需舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察点阵规律：第1层有1个点，第2层有2个点，第3层有3个点，以此类推，第n层有n个点，因此总点数S是从1到n的正整数之和，可通过等差数列求和公式得到S与n的关系式；接下来将S=66代入关系式得到关于n的一元二次方程，求解后结合n是正整数的实际意义舍去负根，即可得到n的值。
【解析】
观察点阵可得：n层点阵的总点数为前n个正整数的和，根据等差数列求和公式得：
$S=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$
将$S=66$代入上式，得：
$\frac{1}{2}n(n+1)=66$
整理为一元二次方程的一般形式：
$n^2 +n -132=0$
因式分解得：
$(n-11)(n+12)=0$
解得：$n_1=11$，$n_2=-12$
因为n表示点阵的层数，为正整数，所以$n=-12$不符合实际意义，舍去。
即n的值为11。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合点阵图形考查规律探究与方程的实际应用，解题关键是先通过观察归纳出总点数与层数的数量关系，再代入已知条件列方程求解，注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，需舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.7
例5 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$. 若点$P$从点$A$出发，沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$从点$B$出发，沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，两点同时出发.
（1）出发几秒后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$？
（2）$△ PBQ$的面积能否为$10\ \mathrm{cm}^2$？若能，则求出时间；若不能，则说明理由.
解题要点
对于图形规律类问题，要掌握图形中每一行的点数与行数之间的关系，确定第$n$行有$n$个点，根据$S=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$解决问题.
解（1）设出发$x\ \mathrm{s}$后，$PQ=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$.
解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$.
出发$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
（2）不能. 理由如下：设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$.
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$，
即$y^2 -6y +10=0$.
所以$\Delta =b^2 -4ac=36 -4×10=-4＜0$. 方程无解.
所以$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm}^2$.
解题要点
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确识图，准确列出一元二次方程：
（1）利用勾股定理可列方程求解；
（2）利用三角形的面积公式列出方程，根据根的判别式来判断方程是否有解.
（1）出发几秒后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$？
（2）$△ PBQ$的面积能否为$10\ \mathrm{cm}^2$？若能，则求出时间；若不能，则说明理由.
解题要点
对于图形规律类问题，要掌握图形中每一行的点数与行数之间的关系，确定第$n$行有$n$个点，根据$S=1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$解决问题.
解（1）设出发$x\ \mathrm{s}$后，$PQ=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$.
解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$.
出发$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
（2）不能. 理由如下：设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$.
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$，
即$y^2 -6y +10=0$.
所以$\Delta =b^2 -4ac=36 -4×10=-4＜0$. 方程无解.
所以$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm}^2$.
解题要点
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确识图，准确列出一元二次方程：
（1）利用勾股定理可列方程求解；
（2）利用三角形的面积公式列出方程，根据根的判别式来判断方程是否有解.
答案
1. 设出发$x\ \mathrm{s}$后，$PQ=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. 在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$. 解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$. 出发$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
2. 不能. 理由如下：设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$. $S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$，即$y^2 -6y +10=0$. 所以$\Delta =b^2 -4ac=36 -4×10=-4＜0$. 方程无解. 所以$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm}^2$.
2. 不能. 理由如下：设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积等于$10\ \mathrm{cm}^2$. $S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$，即$y^2 -6y +10=0$. 所以$\Delta =b^2 -4ac=36 -4×10=-4＜0$. 方程无解. 所以$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）本题属于动点类几何问题，先设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，根据P、Q的运动速度，可分别用含$x$的式子表示出线段$PB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$；由于$∠ B=90°$，$△ PBQ$是直角三角形，$PQ$为斜边，结合勾股定理即可列出关于$x$的一元二次方程，求解后验证解符合实际运动范围（P到B、Q到C即停止运动，$x$取值范围为$0≤ x≤4$），即可得到有效解。
（2）判断$△ PBQ$的面积能否为$10\ \mathrm{cm^2}$，先设运动时间为$y\ \mathrm{s}$，根据直角三角形面积公式列出关于$y$的一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明面积无法达到$10\ \mathrm{cm^2}$。
【解析】
（1）设出发$x\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
由运动规律得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ B=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，由勾股定理得：
$PB^2+BQ^2=PQ^2$
代入数值：$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$
整理得：$5x^2-12x+4=0$
因式分解得：$(5x-2)(x-2)=0$
解得：$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$。
经检验，$x=\frac{2}{5}$和$x=2$均满足$0≤ x≤4$，符合实际运动要求。
（2）不能，理由如下：
设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$10\ \mathrm{cm^2}$。
由直角三角形面积公式得：$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}· PB· BQ$
代入数值：$\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$
整理得：$y^2-6y+10=0$
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$
∴该方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
（1）出发$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
（2）$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；根的判别式
【点评】
本题是动点与一元二次方程结合的常规应用题，解题关键是用运动时间表示出对应线段的长度，结合几何性质列方程求解，同时要注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，判断存在性问题可通过根的判别式分析方程实根情况解决。
【难度系数】
0.65
（1）本题属于动点类几何问题，先设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，根据P、Q的运动速度，可分别用含$x$的式子表示出线段$PB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$；由于$∠ B=90°$，$△ PBQ$是直角三角形，$PQ$为斜边，结合勾股定理即可列出关于$x$的一元二次方程，求解后验证解符合实际运动范围（P到B、Q到C即停止运动，$x$取值范围为$0≤ x≤4$），即可得到有效解。
（2）判断$△ PBQ$的面积能否为$10\ \mathrm{cm^2}$，先设运动时间为$y\ \mathrm{s}$，根据直角三角形面积公式列出关于$y$的一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明面积无法达到$10\ \mathrm{cm^2}$。
【解析】
（1）设出发$x\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
由运动规律得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，则$PB=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ B=90°$，在$\mathrm{Rt}△ BPQ$中，由勾股定理得：
$PB^2+BQ^2=PQ^2$
代入数值：$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$
整理得：$5x^2-12x+4=0$
因式分解得：$(5x-2)(x-2)=0$
解得：$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$。
经检验，$x=\frac{2}{5}$和$x=2$均满足$0≤ x≤4$，符合实际运动要求。
（2）不能，理由如下：
设经过$y\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$10\ \mathrm{cm^2}$。
由直角三角形面积公式得：$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}· PB· BQ$
代入数值：$\frac{1}{2}×(6-y)×2y=10$
整理得：$y^2-6y+10=0$
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$
∴该方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
（1）出发$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$后，线段$PQ$的长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$；
（2）$△ PBQ$的面积不能为$10\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；根的判别式
【点评】
本题是动点与一元二次方程结合的常规应用题，解题关键是用运动时间表示出对应线段的长度，结合几何性质列方程求解，同时要注意验证方程的解是否符合实际运动的取值范围，判断存在性问题可通过根的判别式分析方程实根情况解决。
【难度系数】
0.65
