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例2 如果一台电脑感染了某种电脑病毒，那么经过两轮传染后，就会有81台电脑感染病毒.
（1）每轮传染中，平均每台电脑会传染几台电脑？
（2）如果病毒未得到有效控制，那么经过三轮传染后，被感染的电脑是否超过700台？
解（1）设每轮传染中平均每台电脑会传染$x$台电脑.
由题意，得$1+x+x(1+x)=81$，即$(1+x)^2=81$.
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）.
所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑.
（2）$81+81×8=729$（台），$729＞700$.
所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台.
（1）每轮传染中，平均每台电脑会传染几台电脑？
（2）如果病毒未得到有效控制，那么经过三轮传染后，被感染的电脑是否超过700台？
解（1）设每轮传染中平均每台电脑会传染$x$台电脑.
由题意，得$1+x+x(1+x)=81$，即$(1+x)^2=81$.
解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）.
所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑.
（2）$81+81×8=729$（台），$729＞700$.
所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台.
答案
1. 设每轮传染中平均每台电脑会传染$x$台电脑. 由题意，得$1+x+x(1+x)=81$，即$(1+x)^2=81$. 解得$x_1=8$，$x_2=-10$（不符合题意，舍去）. 所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑.
2. $81+81×8=729$（台），$729＞700$. 所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台.
2. $81+81×8=729$（台），$729＞700$. 所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台.
解析
【分析】
（1）本题属于传染类应用题，首先明确传染规律：初始有1台电脑感染病毒，每轮传染中1台感染电脑可传染x台电脑。第一轮传染后总感染电脑数为$1+x$台；第二轮传染时，每台已感染的电脑都会传染x台，因此第二轮新增感染$x(1+x)$台，两轮后总感染数为81台，据此列一元二次方程求解即可，注意传染台数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。
（2）已知两轮后总感染数为81台，第三轮传染时每台已感染电脑仍传染8台，先算出第三轮新增感染数，再加上两轮后的总感染数得到三轮后的总感染数，最后和700比较大小即可判断。
【解析】
（1）设每轮传染中平均每台电脑会传染$x$台电脑。
由题意得：$1+x+x(1+x)=81$，整理得$(1+x)^2=81$
解得$x_1=8$，$x_2=-10$
$x_2=-10$不符合传染台数为正的实际意义，舍去。
所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑。
（2）经过三轮传染后总感染电脑数为：$81+81×8=729$（台）
因为$729＞700$，所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台。
【答案】
1. 每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑。
2. 经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程求解、有理数大小比较
【点评】
本题是典型的传染类实际应用题，解题核心是理清每轮传染前后被感染对象的数量变化规律，列方程求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，能有效考查数学建模思想和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于传染类应用题，首先明确传染规律：初始有1台电脑感染病毒，每轮传染中1台感染电脑可传染x台电脑。第一轮传染后总感染电脑数为$1+x$台；第二轮传染时，每台已感染的电脑都会传染x台，因此第二轮新增感染$x(1+x)$台，两轮后总感染数为81台，据此列一元二次方程求解即可，注意传染台数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。
（2）已知两轮后总感染数为81台，第三轮传染时每台已感染电脑仍传染8台，先算出第三轮新增感染数，再加上两轮后的总感染数得到三轮后的总感染数，最后和700比较大小即可判断。
【解析】
（1）设每轮传染中平均每台电脑会传染$x$台电脑。
由题意得：$1+x+x(1+x)=81$，整理得$(1+x)^2=81$
解得$x_1=8$，$x_2=-10$
$x_2=-10$不符合传染台数为正的实际意义，舍去。
所以每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑。
（2）经过三轮传染后总感染电脑数为：$81+81×8=729$（台）
因为$729＞700$，所以经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台。
【答案】
1. 每轮传染中平均一台电脑会传染8台电脑。
2. 经过三轮传染后，被感染的电脑会超过700台。
【知识点】
一元二次方程应用、一元二次方程求解、有理数大小比较
【点评】
本题是典型的传染类实际应用题，解题核心是理清每轮传染前后被感染对象的数量变化规律，列方程求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根，能有效考查数学建模思想和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.8
知识点三 平均变化率问题
平均变化率问题中常见的数量关系：
（1）若增长前的数量为$a$，两次增长的平均增长率为$x$，则第一次增长后的数量为$a(1+x)$，两次增长后的数量为
（2）若下降前的数量为$a$，两次下降的平均下降率为$x$，则第一次下降后的数量为$a(1-x)$，两次下降后的数量为
平均变化率问题中常见的数量关系：
（1）若增长前的数量为$a$，两次增长的平均增长率为$x$，则第一次增长后的数量为$a(1+x)$，两次增长后的数量为
$a(1+x)^2$
；（2）若下降前的数量为$a$，两次下降的平均下降率为$x$，则第一次下降后的数量为$a(1-x)$，两次下降后的数量为
$a(1-x)^2$
。答案
1. $a(1+x)^2$
2. $a(1-x)^2$
2. $a(1-x)^2$
解析
【分析】
解决平均变化率问题的核心是明确每次变化的基数：每一次增长或下降都是在前一次变化后的数量基础上进行的，并非以初始数量为基数连续计算两次。推导两次变化后的数量时，先算第一次变化后的量，再以此为基数计算第二次变化后的量即可。
【解析】
（1）已知初始数量为$a$，平均增长率为$x$：
第一次增长后数量为$a(1+x)$，第二次增长以第一次增长后的数量为新基数，再增长$x$，因此两次增长后的数量为$a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$。
（2）已知初始数量为$a$，平均下降率为$x$：
第一次下降后数量为$a(1-x)$，第二次下降以第一次下降后的数量为新基数，再下降$x$，因此两次下降后的数量为$a(1-x) × (1-x) = a(1-x)^2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{a(1+x)^2}$；（2）$\boldsymbol{a(1-x)^2}$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 平均下降率问题
3. 列代数式
【点评】
本题是平均变化率的基础概念题，核心考点是理解变化基数为前一次变化后的结果，对应的公式是解决产量、销售额、人口变化等实际增长率应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解决平均变化率问题的核心是明确每次变化的基数：每一次增长或下降都是在前一次变化后的数量基础上进行的，并非以初始数量为基数连续计算两次。推导两次变化后的数量时，先算第一次变化后的量，再以此为基数计算第二次变化后的量即可。
【解析】
（1）已知初始数量为$a$，平均增长率为$x$：
第一次增长后数量为$a(1+x)$，第二次增长以第一次增长后的数量为新基数，再增长$x$，因此两次增长后的数量为$a(1+x) × (1+x) = a(1+x)^2$。
（2）已知初始数量为$a$，平均下降率为$x$：
第一次下降后数量为$a(1-x)$，第二次下降以第一次下降后的数量为新基数，再下降$x$，因此两次下降后的数量为$a(1-x) × (1-x) = a(1-x)^2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{a(1+x)^2}$；（2）$\boldsymbol{a(1-x)^2}$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 平均下降率问题
3. 列代数式
【点评】
本题是平均变化率的基础概念题，核心考点是理解变化基数为前一次变化后的结果，对应的公式是解决产量、销售额、人口变化等实际增长率应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
例3 某市开展全民阅读活动，某学校利用节假日面向社会开放图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该图书馆每月最多接纳500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
解（1）设进馆人次的月平均增长率为$ x $.
根据题意列一元二次方程，得$ 128×(1+x)^2 = 288 $.
整理得$ (1+x)^2 = 2.25 $，即$ 1+x = \pm1.5 $.
解得$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2.5 $（舍去）.
所以进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）能. 理由如下：
第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）.
因为$ 432 ＜ 500 $，
所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该图书馆每月最多接纳500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
解（1）设进馆人次的月平均增长率为$ x $.
根据题意列一元二次方程，得$ 128×(1+x)^2 = 288 $.
整理得$ (1+x)^2 = 2.25 $，即$ 1+x = \pm1.5 $.
解得$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2.5 $（舍去）.
所以进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）能. 理由如下：
第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）.
因为$ 432 ＜ 500 $，
所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
答案
1. 设进馆人次的月平均增长率为$ x $. 根据题意列一元二次方程，得$ 128×(1+x)^2 = 288 $. 整理得$ (1+x)^2 = 2.25 $，即$ 1+x = \pm1.5 $. 解得$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2.5 $（舍去）. 所以进馆人次的月平均增长率为50%.
2. 能. 理由如下：第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）. 因为$ 432 ＜ 500 $，所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
2. 能. 理由如下：第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）. 因为$ 432 ＜ 500 $，所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
解析
【分析】
（1）本题属于平均增长率类实际问题，解题首先要明确增长率问题的基本等量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数。本题中第一个月进馆128人次为初始量，第三个月进馆288人次是连续增长2次后的量，因此设月平均增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，就能得到结果。
（2）要判断图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，只需用第三个月的进馆人次乘(1+月平均增长率)计算出第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设进馆人次的月平均增长率为$ x $。
根据题意列一元二次方程，得$ 128×(1+x)^2 = 288 $。
整理得$ (1+x)^2 = 2.25 $，开方得$ 1+x = \pm1.5 $。
解得$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2.5 $，由于增长率不能为负数，因此舍去$ x_2 $。
所以进馆人次的月平均增长率为50%。
（2）该图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为50%，则第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）。
因为$ 432 ＜ 500 $，所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
（1）进馆人次的月平均增长率为50%；
（2）能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题；有理数大小比较
【点评】
本题是贴合生活实际的典型应用题，解题核心是找准数量关系列方程，同时要注意根据实际问题的属性对方程的根进行取舍，整体逻辑清晰，能够考查学生运用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
（1）本题属于平均增长率类实际问题，解题首先要明确增长率问题的基本等量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数。本题中第一个月进馆128人次为初始量，第三个月进馆288人次是连续增长2次后的量，因此设月平均增长率为x，代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合要求的负根，就能得到结果。
（2）要判断图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，只需用第三个月的进馆人次乘(1+月平均增长率)计算出第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）设进馆人次的月平均增长率为$ x $。
根据题意列一元二次方程，得$ 128×(1+x)^2 = 288 $。
整理得$ (1+x)^2 = 2.25 $，开方得$ 1+x = \pm1.5 $。
解得$ x_1 = 0.5 = 50\% $，$ x_2 = -2.5 $，由于增长率不能为负数，因此舍去$ x_2 $。
所以进馆人次的月平均增长率为50%。
（2）该图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为50%，则第四个月的进馆人次为$ 288×(1+50\%) = 432 $（人）。
因为$ 432 ＜ 500 $，所以该图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
（1）进馆人次的月平均增长率为50%；
（2）能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题；有理数大小比较
【点评】
本题是贴合生活实际的典型应用题，解题核心是找准数量关系列方程，同时要注意根据实际问题的属性对方程的根进行取舍，整体逻辑清晰，能够考查学生运用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
