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1. 在平面直角坐标系中，点$P(1,-4)$关于原点对称的点的坐标是 （
A.$(-1,-4)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1,-4)$
B
）A.$(-1,-4)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1,-4)$
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时只需将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点的坐标，再对应选项匹配即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。
已知点P的坐标为$(1,-4)$：
横坐标1的相反数为$-1$，纵坐标$-4$的相反数为$4$，
因此点P关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础型题目，核心考查对原点对称点坐标规律的掌握程度，只要熟记“横、纵坐标同时取相反数”的规律，即可快速得出正确答案，出错多是因为粗心漏改其中一个坐标的符号。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时只需将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对称点的坐标，再对应选项匹配即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。
已知点P的坐标为$(1,-4)$：
横坐标1的相反数为$-1$，纵坐标$-4$的相反数为$4$，
因此点P关于原点对称的点的坐标是$(-1,4)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础型题目，核心考查对原点对称点坐标规律的掌握程度，只要熟记“横、纵坐标同时取相反数”的规律，即可快速得出正确答案，出错多是因为粗心漏改其中一个坐标的符号。
【难度系数】
0.9
2. 已知点$P(m^2 + 1, -1)$与点Q关于原点对称，则点Q一定位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. B
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步，先回忆关于原点对称的两点坐标规律，即两点横、纵坐标均互为相反数，据此写出点Q的坐标表达式；第二步，结合平方的非负性，判断点Q横、纵坐标的正负性；第三步，对照各象限的坐标符号特征，确定点Q所在的象限。
【解析】
1. 依据原点对称的坐标性质求点Q坐标：
若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。已知点$P(m^2 + 1, -1)$，因此点Q的横坐标为$-(m^2+1)$，纵坐标为$-(-1)=1$。
2. 判断点Q坐标的符号：
根据平方的非负性可得$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，可推出$-(m^2+1)＜0$，即点Q的坐标符号为$(-,+)$。
3. 对应象限特征：
第二象限内点的坐标符号为$(-,+)$，因此点Q位于第二象限。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号
【点评】
本题属于基础题，重点考察原点对称的坐标性质和象限符号的判断，只要掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题需分三步思考：第一步，先回忆关于原点对称的两点坐标规律，即两点横、纵坐标均互为相反数，据此写出点Q的坐标表达式；第二步，结合平方的非负性，判断点Q横、纵坐标的正负性；第三步，对照各象限的坐标符号特征，确定点Q所在的象限。
【解析】
1. 依据原点对称的坐标性质求点Q坐标：
若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。已知点$P(m^2 + 1, -1)$，因此点Q的横坐标为$-(m^2+1)$，纵坐标为$-(-1)=1$。
2. 判断点Q坐标的符号：
根据平方的非负性可得$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1＞0$，可推出$-(m^2+1)＜0$，即点Q的坐标符号为$(-,+)$。
3. 对应象限特征：
第二象限内点的坐标符号为$(-,+)$，因此点Q位于第二象限。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号
【点评】
本题属于基础题，重点考察原点对称的坐标性质和象限符号的判断，只要掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知点（a，8）与点（7，－8）关于原点对称，则a＝
-7
。答案
3. -7
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。题目给出两个点关于原点对称，我们只需利用横坐标互为相反数的关系，即可求出a的值。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$(a,8)$与点$(7,-8)$关于原点对称，因此两点的横坐标互为相反数，即$a=-7$。
【答案】
-7
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对原点对称的坐标规律的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案，是平面直角坐标系中对称类问题的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数。题目给出两个点关于原点对称，我们只需利用横坐标互为相反数的关系，即可求出a的值。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$(a,8)$与点$(7,-8)$关于原点对称，因此两点的横坐标互为相反数，即$a=-7$。
【答案】
-7
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对原点对称的坐标规律的掌握，牢记相关性质即可快速得出答案，是平面直角坐标系中对称类问题的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(3，3)，C(1，2).
（1）画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，点A，B，C的对应点分别是A₁，B₁，C₁；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂，点A，B，C的对应点分别是点A₂，B₂，C₂；
（3）求△A₂B₂C₂的面积.
（1）画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，点A，B，C的对应点分别是A₁，B₁，C₁；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂，点A，B，C的对应点分别是点A₂，B₂，C₂；
（3）求△A₂B₂C₂的面积.
答案
解（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
（3）$S_{△ A_2B_2C_2}=3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都变为原坐标的相反数，据此算出A₁、B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可得到所求三角形。
（2）解决第二问要掌握绕原点顺时针旋转90°的点的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后对应坐标为$(y,-x)$，算出A₂、B₂、C₂的坐标后描点连线即可。
（3）解决第三问首先明确旋转是全等变换，旋转前后图形面积相等，因此△A₂B₂C₂的面积和△ABC的面积相等，采用割补法：将三角形放入矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到结果。
【解析】
（1）关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此：
$A(4,1)$的对应点$A₁(-4,-1)$，$B(3,3)$的对应点$B₁(-3,-3)$，$C(1,2)$的对应点$C₁(-1,-2)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后对应坐标为$(y,-x)$，因此：
$A(4,1)$的对应点$A₂(1,-4)$，$B(3,3)$的对应点$B₂(3,-3)$，$C(1,2)$的对应点$C₂(2,-1)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）旋转前后图形全等，面积不变，因此$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将$△ ABC$放入长为3、宽为2的矩形中，矩形面积为$3×2=6$；
周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×3×1$、$\frac{1}{2}×2×1$、$\frac{1}{2}×2×1$；
因此$S_{△ A_2B_2C_2}=3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
（3）$S_{△ A_2B_2C_2}=3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{5}{2}$。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，旋转的坐标变换，割补法求图形面积
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，既考查了中心对称、旋转的坐标变换规律，也考查了不规则图形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握图形变换的坐标规律，灵活运用割补法计算面积。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都变为原坐标的相反数，据此算出A₁、B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可得到所求三角形。
（2）解决第二问要掌握绕原点顺时针旋转90°的点的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后对应坐标为$(y,-x)$，算出A₂、B₂、C₂的坐标后描点连线即可。
（3）解决第三问首先明确旋转是全等变换，旋转前后图形面积相等，因此△A₂B₂C₂的面积和△ABC的面积相等，采用割补法：将三角形放入矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到结果。
【解析】
（1）关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此：
$A(4,1)$的对应点$A₁(-4,-1)$，$B(3,3)$的对应点$B₁(-3,-3)$，$C(1,2)$的对应点$C₁(-1,-2)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后对应坐标为$(y,-x)$，因此：
$A(4,1)$的对应点$A₂(1,-4)$，$B(3,3)$的对应点$B₂(3,-3)$，$C(1,2)$的对应点$C₂(2,-1)$，在坐标系中描出三个点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
（3）旋转前后图形全等，面积不变，因此$S_{△ A_2B_2C_2}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算面积：将$△ ABC$放入长为3、宽为2的矩形中，矩形面积为$3×2=6$；
周围三个直角三角形的面积分别为$\frac{1}{2}×3×1$、$\frac{1}{2}×2×1$、$\frac{1}{2}×2×1$；
因此$S_{△ A_2B_2C_2}=3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
（3）$S_{△ A_2B_2C_2}=3×2-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{5}{2}$。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，旋转的坐标变换，割补法求图形面积
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，既考查了中心对称、旋转的坐标变换规律，也考查了不规则图形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握图形变换的坐标规律，灵活运用割补法计算面积。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2).
（1）利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
（2）平移△ABC，A的对应点A₂的坐标为（2，2），画出平移后对应的△A₂B₂C₂，将△A₁B₁C₁绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂，直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，写出点P的坐标.
（1）利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁；
（2）平移△ABC，A的对应点A₂的坐标为（2，2），画出平移后对应的△A₂B₂C₂，将△A₁B₁C₁绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂，直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，写出点P的坐标.
答案
解（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。旋转中心的坐标为$(\frac{5}{2},0)$。
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接BA'交x轴于点P，此时$PA+PB$的值最小。观察图象可知点P的坐标为（－2，0）。
解析
【分析】
（1）要作△ABC关于原点对称的图形，先回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点关于原点对称的点的坐标，再依次描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
（2）平移△ABC时，先根据点A到A₂的坐标变化确定平移规则（横坐标加5，纵坐标不变），再按此规则求出B₂、C₂的坐标，描点得到△A₂B₂C₂；旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，可利用旋转中心到对应点距离相等的性质列方程求解坐标。
（3）x轴上使PA+PB最小的点P属于“将军饮马”问题，利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求P点，再通过求直线解析式计算交点坐标即可。
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
A(-3,2)的对称点$A_1(3,-2)$，B(0,4)的对称点$B_1(0,-4)$，C(0,2)的对称点$C_1(0,-2)$，依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即得到△$A_1B_1C_1$。
（2）由A(-3,2)平移后得到$A_2(2,2)$，可知平移规则为：向右平移5个单位长度，纵坐标不变。
按此规则计算：B(0,4)平移后得$B_2(5,4)$，C(0,2)平移后得$C_2(5,2)$，依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即得到△$A_2B_2C_2$。
设旋转中心坐标为$(x,y)$，根据旋转中心到对应点的距离相等列方程：
对$A_1(3,-2)$和$A_2(2,2)$：$(x-3)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y-2)^2$，化简得$-2x+8y=-5$ ①；
对$B_1(0,-4)$和$B_2(5,4)$：$x^2+(y+4)^2=(x-5)^2+(y-4)^2$，化简得$10x+16y=25$ ②；
联立①②解得$x=\frac{5}{2},y=0$，即旋转中心坐标为$(\frac{5}{2},0)$。
（3）作点A关于x轴的对称点$A'(-3,-2)$，此时$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$的值最小。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-3,-2)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ -3k+b=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=2 \\ b=4 \end{cases}$，即直线解析式为$y=2x+4$。
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即P点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。旋转中心的坐标为$(\frac{5}{2},0)$。
（3）点P的坐标为（－2，0）。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，图形的平移与旋转，轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和最短路径问题，既考察了各类变换的坐标变化规律，也考察了轴对称性质的实际应用，需要学生具备一定的坐标运算能力和几何作图能力，是坐标系类题目的典型综合题。
【难度系数】
0.7
（1）要作△ABC关于原点对称的图形，先回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点关于原点对称的点的坐标，再依次描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
（2）平移△ABC时，先根据点A到A₂的坐标变化确定平移规则（横坐标加5，纵坐标不变），再按此规则求出B₂、C₂的坐标，描点得到△A₂B₂C₂；旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，可利用旋转中心到对应点距离相等的性质列方程求解坐标。
（3）x轴上使PA+PB最小的点P属于“将军饮马”问题，利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求P点，再通过求直线解析式计算交点坐标即可。
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
A(-3,2)的对称点$A_1(3,-2)$，B(0,4)的对称点$B_1(0,-4)$，C(0,2)的对称点$C_1(0,-2)$，依次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，即得到△$A_1B_1C_1$。
（2）由A(-3,2)平移后得到$A_2(2,2)$，可知平移规则为：向右平移5个单位长度，纵坐标不变。
按此规则计算：B(0,4)平移后得$B_2(5,4)$，C(0,2)平移后得$C_2(5,2)$，依次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，即得到△$A_2B_2C_2$。
设旋转中心坐标为$(x,y)$，根据旋转中心到对应点的距离相等列方程：
对$A_1(3,-2)$和$A_2(2,2)$：$(x-3)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y-2)^2$，化简得$-2x+8y=-5$ ①；
对$B_1(0,-4)$和$B_2(5,4)$：$x^2+(y+4)^2=(x-5)^2+(y-4)^2$，化简得$10x+16y=25$ ②；
联立①②解得$x=\frac{5}{2},y=0$，即旋转中心坐标为$(\frac{5}{2},0)$。
（3）作点A关于x轴的对称点$A'(-3,-2)$，此时$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，根据两点之间线段最短，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$的值最小。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-3,-2)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ -3k+b=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=2 \\ b=4 \end{cases}$，即直线解析式为$y=2x+4$。
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即P点坐标为$(-2,0)$。
【答案】
（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。旋转中心的坐标为$(\frac{5}{2},0)$。
（3）点P的坐标为（－2，0）。
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，图形的平移与旋转，轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和最短路径问题，既考察了各类变换的坐标变化规律，也考察了轴对称性质的实际应用，需要学生具备一定的坐标运算能力和几何作图能力，是坐标系类题目的典型综合题。
【难度系数】
0.7
