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18. 现有两个完全相同的带刻度的烧杯A和B，分别装有两种液体，其中一杯是水，另一杯是未知液体。用天平测出烧杯A和其中液体的总质量为$ m_1 $，读出液体的体积为$ V_1 $；用天平测出烧杯B和其中液体的总质量为$ m_2 $，读出液体的体积为$ V_2 $。如图所示，在$ V-m $图像中分别标出点$ M(m_1,V_1) $和点$ N(m_2,V_2) $。试回答下列问题。
(1)A、B两烧杯中，哪一杯装的是水？烧杯的质量是多少？
(2)将未知液体的一半倒入水中，液体混合时的体积变化忽略不计，则这种混合液体的密度是多少？
(1)A、B两烧杯中，哪一杯装的是水？烧杯的质量是多少？
(2)将未知液体的一半倒入水中，液体混合时的体积变化忽略不计，则这种混合液体的密度是多少？
答案
18.(1)烧杯A中装的是水 $30\ \mathrm{g}$
(2)$0.85\ \mathrm{g/cm}^3$
(2)$0.85\ \mathrm{g/cm}^3$
解析
【分析】
本题结合V-m图像考查密度相关计算，解题思路：首先明确总质量=烧杯质量+液体质量（即$ m=m_{\mathrm{杯}}+\rho V $），利用水的密度为$ 1\ \mathrm{g/cm}^3 $的特点，代入图像中两点数据建立方程，判断哪杯是水并求出烧杯质量；第二问先算出未知液体密度，再计算一半未知液体的质量和体积，结合水的质量、体积得到混合液的总质量和总体积，最后根据密度公式求混合液密度。
【解析】
(1) 设烧杯质量为$ m_{\mathrm{杯}} $，液体密度为$ \rho $，总质量满足关系：$ m = m_{\mathrm{杯}} + \rho V $。
由图像得：点$ M(m_1,V_1)=(80\ \mathrm{g},50\ \mathrm{mL}) $，点$ N(m_2,V_2)=(100\ \mathrm{g},100\ \mathrm{mL}) $，代入得：
$ 80\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + \rho × 50\ \mathrm{mL} $ ①
$ 100\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + \rho × 100\ \mathrm{mL} $ ②
水的密度$ \rho_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/mL} $，假设M点对应液体为水，将$ \rho=1\ \mathrm{g/mL} $代入①式：
$ 80\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + 1\ \mathrm{g/mL} × 50\ \mathrm{mL} $，解得$ m_{\mathrm{杯}}=30\ \mathrm{g} $。
验证N点：$ \rho=\frac{100\ \mathrm{g}-30\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{mL}}=0.7\ \mathrm{g/mL} $，符合未知液体密度，故烧杯A装的是水，烧杯质量为30g。
(2) 由(1)知未知液体密度$ \rho_{\mathrm{液}}=0.7\ \mathrm{g/mL} $，一半未知液体体积$ V_{\mathrm{倒}}=\frac{1}{2}×100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL} $，质量$ m_{\mathrm{倒}}=0.7\ \mathrm{g/mL}×50\ \mathrm{mL}=35\ \mathrm{g} $；
A中水的质量$ m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/mL}×50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{g} $；
混合后总质量$ m_{\mathrm{总}}=50\ \mathrm{g}+35\ \mathrm{g}=85\ \mathrm{g} $，总体积$ V_{\mathrm{总}}=50\ \mathrm{mL}+50\ \mathrm{mL}=100\ \mathrm{mL}=100\ \mathrm{cm}^3 $；
混合液体密度$ \rho_{\mathrm{混}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{85\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=0.85\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
(1) 烧杯A中装的是水，烧杯质量为30g；(2) 混合液体的密度为0.85g/cm³
【知识点】
密度公式应用、混合液体密度计算
【点评】
本题结合V-m图像考查密度计算，核心是理解总质量的组成，利用水的密度快速判断对应液体，步骤清晰，难度适中，是密度章节的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题结合V-m图像考查密度相关计算，解题思路：首先明确总质量=烧杯质量+液体质量（即$ m=m_{\mathrm{杯}}+\rho V $），利用水的密度为$ 1\ \mathrm{g/cm}^3 $的特点，代入图像中两点数据建立方程，判断哪杯是水并求出烧杯质量；第二问先算出未知液体密度，再计算一半未知液体的质量和体积，结合水的质量、体积得到混合液的总质量和总体积，最后根据密度公式求混合液密度。
【解析】
(1) 设烧杯质量为$ m_{\mathrm{杯}} $，液体密度为$ \rho $，总质量满足关系：$ m = m_{\mathrm{杯}} + \rho V $。
由图像得：点$ M(m_1,V_1)=(80\ \mathrm{g},50\ \mathrm{mL}) $，点$ N(m_2,V_2)=(100\ \mathrm{g},100\ \mathrm{mL}) $，代入得：
$ 80\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + \rho × 50\ \mathrm{mL} $ ①
$ 100\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + \rho × 100\ \mathrm{mL} $ ②
水的密度$ \rho_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/mL} $，假设M点对应液体为水，将$ \rho=1\ \mathrm{g/mL} $代入①式：
$ 80\ \mathrm{g} = m_{\mathrm{杯}} + 1\ \mathrm{g/mL} × 50\ \mathrm{mL} $，解得$ m_{\mathrm{杯}}=30\ \mathrm{g} $。
验证N点：$ \rho=\frac{100\ \mathrm{g}-30\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{mL}}=0.7\ \mathrm{g/mL} $，符合未知液体密度，故烧杯A装的是水，烧杯质量为30g。
(2) 由(1)知未知液体密度$ \rho_{\mathrm{液}}=0.7\ \mathrm{g/mL} $，一半未知液体体积$ V_{\mathrm{倒}}=\frac{1}{2}×100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL} $，质量$ m_{\mathrm{倒}}=0.7\ \mathrm{g/mL}×50\ \mathrm{mL}=35\ \mathrm{g} $；
A中水的质量$ m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/mL}×50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{g} $；
混合后总质量$ m_{\mathrm{总}}=50\ \mathrm{g}+35\ \mathrm{g}=85\ \mathrm{g} $，总体积$ V_{\mathrm{总}}=50\ \mathrm{mL}+50\ \mathrm{mL}=100\ \mathrm{mL}=100\ \mathrm{cm}^3 $；
混合液体密度$ \rho_{\mathrm{混}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{85\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=0.85\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
(1) 烧杯A中装的是水，烧杯质量为30g；(2) 混合液体的密度为0.85g/cm³
【知识点】
密度公式应用、混合液体密度计算
【点评】
本题结合V-m图像考查密度计算，核心是理解总质量的组成，利用水的密度快速判断对应液体，步骤清晰，难度适中，是密度章节的典型题型。
【难度系数】
0.5
19. 如图甲所示，水平桌面上放着一个底面积为$50\ \mathrm{cm}^2$、高为$10\ \mathrm{cm}$的平底圆柱形容器（容器厚度不计）。容器内盛有某种液体时，容器和液体的总质量与液体的体积关系如图乙所示。
(1)求液体的密度。
(2)先将容器内盛满这种液体，再将一个体积为$100\ \mathrm{cm}^3$的铝质小球($\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)缓慢地放入容器中，发现一些液体溢出，小球沉入容器底，稳定后擦干容器外壁，测得容器、容器内液体和铝质小球的总质量为$716\ \mathrm{g}$。
①求铝质小球的密度。
②该铝质小球是实心还是空心？如果是空心，则空心部分的体积为多少？
(1)求液体的密度。
(2)先将容器内盛满这种液体，再将一个体积为$100\ \mathrm{cm}^3$的铝质小球($\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)缓慢地放入容器中，发现一些液体溢出，小球沉入容器底，稳定后擦干容器外壁，测得容器、容器内液体和铝质小球的总质量为$716\ \mathrm{g}$。
①求铝质小球的密度。
②该铝质小球是实心还是空心？如果是空心，则空心部分的体积为多少？
答案
19.(1)$1\ \mathrm{g/cm}^3$
(2)①$2.16\ \mathrm{g/cm}^3$
②空心 $V_{空心}=20\ \mathrm{cm}^3$
(2)①$2.16\ \mathrm{g/cm}^3$
②空心 $V_{空心}=20\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
首先从图乙中提取容器的质量，利用总质量与液体体积的差计算液体质量，结合密度公式求出液体密度；再计算容器盛满液体时的总质量，根据放入铝球后总质量的变化求出铝球质量，进而计算铝球密度，通过与铝的密度比较判断是否空心，最后计算空心体积。
【解析】
(1) 由图乙可知，当液体体积为0时，容器的质量$m_{容器}=100\ \mathrm{g}$；当液体体积$V_1=50\ \mathrm{cm}^3$时，容器和液体的总质量$m_{总1}=150\ \mathrm{g}$，则此时液体的质量$m_{液1}=m_{总1}-m_{容器}=150\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，液体的密度：
$\rho_{液}=\frac{m_{液1}}{V_1}=\frac{50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2) ① 容器的容积$V_{容}=S· h=50\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=500\ \mathrm{cm}^3$，则容器盛满液体时，液体的总质量：
$m_{液总}=\rho_{液}· V_{容}=1\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=500\ \mathrm{g}$。
容器盛满液体时，容器和液体的总质量：$m_{总}=m_{容器}+m_{液总}=100\ \mathrm{g}+500\ \mathrm{g}=600\ \mathrm{g}$。
将铝球放入容器后，溢出液体的体积等于铝球体积，即$V_{溢}=V_{球}=100\ \mathrm{cm}^3$，溢出液体的质量：
$m_{溢}=\rho_{液}· V_{溢}=1\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{g}$。
根据题意，稳定后总质量$m_{总}'=716\ \mathrm{g}=m_{总}+m_{球}-m_{溢}$，则铝球的质量：
$m_{球}=m_{总}'-m_{总}+m_{溢}=716\ \mathrm{g}-600\ \mathrm{g}+100\ \mathrm{g}=216\ \mathrm{g}$。
铝球的密度：
$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{216\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=2.16\ \mathrm{g/cm}^3$。
② 铝的密度$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{球}＜\rho_{铝}$，所以该铝球是空心的。
铝球实心部分的体积：
$V_{实}=\frac{m_{球}}{\rho_{铝}}=\frac{216\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=80\ \mathrm{cm}^3$。
空心部分的体积：
$V_{空心}=V_{球}-V_{实}=100\ \mathrm{cm}^3-80\ \mathrm{cm}^3=20\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)$1\ \mathrm{g/cm}^3$；(2)①$2.16\ \mathrm{g/cm}^3$；②空心，$20\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用；空心体积计算；质量与体积关系
【点评】
本题是密度相关的综合应用题，需结合图像提取容器质量，利用密度公式逐步求解液体密度、铝球质量与密度，判断空心并计算空心体积，关键在于理解放入物体后总质量的变化（减去溢出液体的质量），考查学生对密度公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
首先从图乙中提取容器的质量，利用总质量与液体体积的差计算液体质量，结合密度公式求出液体密度；再计算容器盛满液体时的总质量，根据放入铝球后总质量的变化求出铝球质量，进而计算铝球密度，通过与铝的密度比较判断是否空心，最后计算空心体积。
【解析】
(1) 由图乙可知，当液体体积为0时，容器的质量$m_{容器}=100\ \mathrm{g}$；当液体体积$V_1=50\ \mathrm{cm}^3$时，容器和液体的总质量$m_{总1}=150\ \mathrm{g}$，则此时液体的质量$m_{液1}=m_{总1}-m_{容器}=150\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$。
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，液体的密度：
$\rho_{液}=\frac{m_{液1}}{V_1}=\frac{50\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2) ① 容器的容积$V_{容}=S· h=50\ \mathrm{cm}^2×10\ \mathrm{cm}=500\ \mathrm{cm}^3$，则容器盛满液体时，液体的总质量：
$m_{液总}=\rho_{液}· V_{容}=1\ \mathrm{g/cm}^3×500\ \mathrm{cm}^3=500\ \mathrm{g}$。
容器盛满液体时，容器和液体的总质量：$m_{总}=m_{容器}+m_{液总}=100\ \mathrm{g}+500\ \mathrm{g}=600\ \mathrm{g}$。
将铝球放入容器后，溢出液体的体积等于铝球体积，即$V_{溢}=V_{球}=100\ \mathrm{cm}^3$，溢出液体的质量：
$m_{溢}=\rho_{液}· V_{溢}=1\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{g}$。
根据题意，稳定后总质量$m_{总}'=716\ \mathrm{g}=m_{总}+m_{球}-m_{溢}$，则铝球的质量：
$m_{球}=m_{总}'-m_{总}+m_{溢}=716\ \mathrm{g}-600\ \mathrm{g}+100\ \mathrm{g}=216\ \mathrm{g}$。
铝球的密度：
$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{216\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=2.16\ \mathrm{g/cm}^3$。
② 铝的密度$\rho_{铝}=2.7×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{球}＜\rho_{铝}$，所以该铝球是空心的。
铝球实心部分的体积：
$V_{实}=\frac{m_{球}}{\rho_{铝}}=\frac{216\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=80\ \mathrm{cm}^3$。
空心部分的体积：
$V_{空心}=V_{球}-V_{实}=100\ \mathrm{cm}^3-80\ \mathrm{cm}^3=20\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1)$1\ \mathrm{g/cm}^3$；(2)①$2.16\ \mathrm{g/cm}^3$；②空心，$20\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用；空心体积计算；质量与体积关系
【点评】
本题是密度相关的综合应用题，需结合图像提取容器质量，利用密度公式逐步求解液体密度、铝球质量与密度，判断空心并计算空心体积，关键在于理解放入物体后总质量的变化（减去溢出液体的质量），考查学生对密度公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
