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8. [2024安阳模拟]如图，$AB=AD$，$CB=CD$，$AC$，$BD$相交于点$O$，则下列结论一定正确的是（
A.$OA=OC$
B.点$O$到$AB$，$CD$的距离相等
C.点$O$到$CB$，$CD$的距离相等
D.$∠ BDA=∠ BDC$
C
）A.$OA=OC$
B.点$O$到$AB$，$CD$的距离相等
C.点$O$到$CB$，$CD$的距离相等
D.$∠ BDA=∠ BDC$
答案
8.C
9. [2024铜陵模拟]如图，直线$ l_1, l_2, l_3 $表示三条公路.现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（
A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
D
）A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
答案
9.D
10.如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别是E,F,$BE=CF$.求证:AD是$△ ABC$的角平分线.
答案
证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ BE=CF \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ DE = DF。
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠BAC的平分线上，
即AD是△ABC的角平分线。
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ BE=CF \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ DE = DF。
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 点D在∠BAC的平分线上，
即AD是△ABC的角平分线。
11. [2024重庆模拟]如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，CA=CB，$CD⊥OM$，$CE⊥ON$，垂足分别为D，E，且$AD=BE$.
(1)求证：OC平分$∠MON$；
(2)若$AO=12$，$BO=4$，求OD的长.
(1)求证：OC平分$∠MON$；
(2)若$AO=12$，$BO=4$，求OD的长.
答案
11.(1)证明略 (2)OD的长为8
12.【几何直观,推理能力】[2024福州模拟]如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$∠ DAC=40°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ AB$,垂足为$F$,且$∠ AEF=50°$,连接$DE$.
(1)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(2)若$AB = 7$,$AD = 4$,$CD = 8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
(1)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(2)若$AB = 7$,$AD = 4$,$CD = 8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
答案
12.(1)证明略 (2)$S_{△ ABE}=\frac{35}{4}$
