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1. [2024石家庄模拟]用三角尺画角的平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,则可通过△OMP≌△ONP得到OP平分∠AOB.其中判定△OMP≌△ONP的依据是 (
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
D
)A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
答案
1.D
2. 如图，$AD ⊥ DC$，$AB ⊥ BC$. 若 $AB = AD$，$∠ DAB = 120°$，则 $∠ ACB$ 的度数为（
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$75°$
C
）A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$75°$
答案
2.C
3. 在正方形网格中，$∠ AOB$ 的位置如图所示，到$∠ AOB$ 的两边距离相等的点应是（
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
A
）A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
3.A
4. [2024 重庆模拟]如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB=90°$, 延长 $AC$ 至点 $F$, 过点 $F$ 作 $AB$ 的垂线交 $BC$ 于点 $D$, 交 $AB$ 于点 $E$, $BE=CF$, 连接 $AD$, 求证: $AD$ 平分 $∠ BAC$.
答案
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠FCD=180°-∠ACB=90°，即$DC⊥ AC$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠FCD=∠DEB=90°。
在$△ FCD$和$△ BED$中，
$\{\begin{array}{l}∠FCD=∠BED \\∠FDC=∠BDE \\CF=BE\end{array} $
∴ $△ FCD ≌ △ BED$（AAS），
∴ $DC=DE$。
又∵ $DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的平分线上，
即$AD$平分$∠ BAC$。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠FCD=180°-∠ACB=90°，即$DC⊥ AC$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ ∠DEB=90°，
∴ ∠FCD=∠DEB=90°。
在$△ FCD$和$△ BED$中，
$\{\begin{array}{l}∠FCD=∠BED \\∠FDC=∠BDE \\CF=BE\end{array} $
∴ $△ FCD ≌ △ BED$（AAS），
∴ $DC=DE$。
又∵ $DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的平分线上，
即$AD$平分$∠ BAC$。
5. [2024厦门模拟]到三角形各边距离相等的点是三角形的（
A.三条边垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三个内角平分线的交点
D.三条高的交点
C
）A.三条边垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三个内角平分线的交点
D.三条高的交点
答案
5.C
6. [2023 海南模拟]如图，BO，AO 分别是△ABC 中∠ABC，∠BAC 的平分线，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为 D，E，F，则 OD，OE，OF 的大小关系是（
A.$OD=OF≠OE$
B.$OD=OE=OF$
C.$OD≠OF=OE$
D.$OD≠OE≠OF$
B
）A.$OD=OF≠OE$
B.$OD=OE=OF$
C.$OD≠OF=OE$
D.$OD≠OE≠OF$
答案
6.B
7.[2024安康模拟]如图,在$△ ABC$中,BO,CO分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,连接AO.求证:AO平分$∠ BAC$.
答案
证明：
过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ OE = OF。
又∵ OE⊥AB，OF⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC。
过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴ OE = OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴ OF = OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ OE = OF。
又∵ OE⊥AB，OF⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC。
