【教材母题】（教材P53习题14.3第8题）
如图，$∠ B=∠ C=90°$，$E$是$BC$的中点，$DE$平分$∠ ADC$，求证：$AE$平分$∠ DAB$.（提示：过点$E$作$EF⊥ AD$，垂足为$F$.）

证明：
过点E作$EF ⊥ AD$，垂足为F。
∵ DE平分$∠ ADC$，$∠ C=90°$，即$EC ⊥ DC$，$EF ⊥ AD$，
∴ $EC = EF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ $EC = EB$，
∴ $EF = EB$。
又∵ $∠ B=90°$，即$EB ⊥ AB$，$EF ⊥ AD$，
∴ 点E到AD、AB两边的距离相等，
∴ 点E在$∠ DAB$的平分线上（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即AE平分$∠ DAB$。

1. 如图，已知$∠ AOB = 90°$，$OM$是$∠ AOB$的平分线，三角尺的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动，两直角边分别与$OA$，$OB$交于点$C$，$D$.求证：$PC = PD$.

证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∵ OM是∠AOB的平分线，点P在OM上，
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ ∠AOB = 90°，∠PEO = ∠PFO = 90°，
∴ ∠EPF = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°，
即 ∠EPC + ∠CPF = 90°。
又∵ ∠CPD = 90°，即 ∠DPF + ∠CPF = 90°，
∴ ∠EPC = ∠DPF。
在△PEC和△PFD中：
$\{\begin{array}{l}∠PEC = ∠PFD = 90° \\PE = PF \\∠EPC = ∠DPF\end{array} $
∴ △PEC ≌ △PFD（ASA），
∴ PC = PD。