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三、解答题(共66分)
19. 「2026安徽淮北濉溪期中，★☆」(10分)已知抛物线的解析式为$y = x^2 - (2m - 1)x + m^2 - m$。
(1)试判断抛物线与x轴的公共点情况，并说明理由。
(2)若此抛物线与直线$y = x - 3m + 3$的一个公共交点在y轴上，求m的值。
19. 「2026安徽淮北濉溪期中，★☆」(10分)已知抛物线的解析式为$y = x^2 - (2m - 1)x + m^2 - m$。
(1)试判断抛物线与x轴的公共点情况，并说明理由。
(2)若此抛物线与直线$y = x - 3m + 3$的一个公共交点在y轴上，求m的值。
答案
19.解析 (1)抛物线与x轴有2个公共点.
理由:
∵ Δ=[-(2m-1)]²-4(m²-m)=1＞0,
∴ 抛物线与x轴有2个公共点.
(2)当x=0时,y=x-3m+3=-3m+3,
∴ 直线y=x-3m+3与y轴的公共点坐标为(0,-3m+3),
根据题意得点(0,-3m+3)在抛物线上,
∴ m²-m=-3m+3,整理,得m²+2m-3=0,
解得m₁=-3,m₂=1,
∴ m的值为-3或1.
题型解读 确定抛物线与x轴的公共点个数的方法:对于抛物线y=ax²+bx+c,当b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有两个公共点;当b²-4ac=0时,抛物线与x轴有一个公共点;当b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有公共点.
理由:
∵ Δ=[-(2m-1)]²-4(m²-m)=1＞0,
∴ 抛物线与x轴有2个公共点.
(2)当x=0时,y=x-3m+3=-3m+3,
∴ 直线y=x-3m+3与y轴的公共点坐标为(0,-3m+3),
根据题意得点(0,-3m+3)在抛物线上,
∴ m²-m=-3m+3,整理,得m²+2m-3=0,
解得m₁=-3,m₂=1,
∴ m的值为-3或1.
题型解读 确定抛物线与x轴的公共点个数的方法:对于抛物线y=ax²+bx+c,当b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有两个公共点;当b²-4ac=0时,抛物线与x轴有一个公共点;当b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有公共点.
20.「2026江苏苏州姑苏期中，★☆」（10分）如图，已知直线$y=kx+b$过x轴上的点$A(2,0)$，且与抛物线$y=ax^2$相交于B，C两点，点B的坐标为$(1,1)$。
（1）求直线和抛物线的函数解析式。
（2）求$△ OBC$的面积。
（1）求直线和抛物线的函数解析式。
（2）求$△ OBC$的面积。
答案
20.解析 (1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
∵ 它过点A(2,0)和点B(1,1),
∴ $\begin{cases}2k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 直线AB的函数解析式为y=-x+2,
∵ 抛物线y=ax²过点B(1,1),
∴ a×1²=1,解得a=1,
∴ 抛物线的函数解析式为y=x².
(2)解方程组$\begin{cases}y=-x+2,\\y=x²,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-2,\\y=4,\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$
∴ 点C的坐标为(-2,4),
∵ B(1,1),A(2,0),
∴ S$_{△ OAC}$=$\frac{1}{2}$×2×4=4,S$_{△ OAB}$=$\frac{1}{2}$×2×1=1,
∴ S$_{△ OBC}$=S$_{△ OAC}$-S$_{△ OAB}$=4-1=3.
∵ 它过点A(2,0)和点B(1,1),
∴ $\begin{cases}2k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 直线AB的函数解析式为y=-x+2,
∵ 抛物线y=ax²过点B(1,1),
∴ a×1²=1,解得a=1,
∴ 抛物线的函数解析式为y=x².
(2)解方程组$\begin{cases}y=-x+2,\\y=x²,\end{cases}$得$\begin{cases}x=-2,\\y=4,\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$
∴ 点C的坐标为(-2,4),
∵ B(1,1),A(2,0),
∴ S$_{△ OAC}$=$\frac{1}{2}$×2×4=4,S$_{△ OAB}$=$\frac{1}{2}$×2×1=1,
∴ S$_{△ OBC}$=S$_{△ OAC}$-S$_{△ OAB}$=4-1=3.
21.「2026江西南昌质检，★★☆」(10分)如图，抛物线$y=ax^2+bx-\frac{5}{2}$经过$A(-1,0),B(5,0)$两点，与y轴交于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得$PA+PC$的值最小，求最小值以及此时点P的坐标.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得$PA+PC$的值最小，求最小值以及此时点P的坐标.
答案
21.解析 (1)将(-1,0),(5,0)代入解析式,
得$\begin{cases}a-b-\frac{5}{2}=0,\\25a+5b-\frac{5}{2}=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$.
(2)如图,连接BC,交抛物线的对称轴于点P,连接PA,易知此时PA+PC的值最小,PA+PC=PB+PC=BC,
∵ 抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$,
∴ 其对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2×\frac{1}{2}}$=2,
当x=0时,y=-$\frac{5}{2}$,
∴ C$(0,-\frac{5}{2})$.
设直线BC的解析式为y=kx+b₁(k≠0),
将(5,0),$(0,-\frac{5}{2})$代入,得$\begin{cases}5k+b₁=0,\\b₁=-\frac{5}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b₁=-\frac{5}{2},\end{cases}$
∴ 直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$,
当x=2时,y=2×$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$,
∴ P$(2,-\frac{3}{2})$,
∵ BC=$\sqrt{OB²+OC²}$=$\sqrt{5²+(\frac{5}{2})²}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$,
∴ PA+PC的最小值为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$,此时点P的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$.
题型解读 线段和最小值问题
(1)求线段和最小值的理论依据为两点之间,线段最短或垂线段最短.
(2)要转化为这两种情况,需要两条线段在动点所在轨迹的异侧,则三点共线时线段和取最小值.
(3)常借助轴对称进行同侧化异侧(如将军饮马模型),此时动点所在轨迹可看成“对称轴”.
