三、解答题(共66分)
19. 学科特色教材变式「2026江苏扬州江都期中，★☆」(10分)如图，在平面直角坐标系中，A(1,6),B(5,6),C(7,4).
(1)经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为.
(2)这个圆的半径为.
(3)直接判断点D(6,-1)与⊙M的位置关系:点D在⊙M.(填“内”“外”或“上”)

19.解析 (1)如图,圆心 $M$ 的坐标为 $(3,2)$.

(2)这个圆的半径为 $\sqrt{(1-3)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5}$.
(3) $\because DM=\sqrt{(6-3)^2+(-1-2)^2}=3\sqrt{2}＜2\sqrt{5}, \therefore$ 点 $D$ 在$\odot M$ 内.

20.「2026海南万宁期中，★☆」(10分)如图，AB，AC是$\odot O$的弦，AB=AC，半径OE，OF分别与弦AB，AC垂直，垂足分别为G，H，AM//OF交OE于点M，AN//OE交OF于点N，连接OA.
(1)求证：$∠ AOE=∠ AOF$.
(2)求证：四边形AMON是菱形.

20.证明 (1)$\because AB=AC, \therefore \overgroup{AB}=\overgroup{AC}$,
$\because$ 半径 $OE,OF$ 分别与弦 $AB,AC$ 垂直,
$\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{BE}, \overgroup{AF}=\overgroup{CF}, \therefore \overgroup{AE}=\overgroup{BE}=\overgroup{AF}=\overgroup{CF}$,
$\therefore ∠ AOE=∠ AOF$.
(2)$\because AM // OF,AN // OE$,
$\therefore$ 四边形 $AMON$ 为平行四边形,
$\because$ 半径 $OE,OF$ 分别与弦 $AB,AC$ 垂直,
$\therefore AG=\frac{1}{2}AB,AH=\frac{1}{2}AC, \because AB=AC, \therefore AG=AH$,
$\because S_{\mathrm{平行四边形}AMON}=OM · AG=ON · AH, \therefore OM=ON$,
$\therefore$ 四边形 $AMON$ 为菱形.

21. 学科特色 教材变式「2026江西南昌月考，★★☆」(10分)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:DE=DB.
(2)若$∠BAC=90°,BD=5\sqrt{2},$求△ABC外接圆的半径.

21.解析 (1)证明: $\because AD$ 平分 $∠ BAC, BE$ 平分 $∠ ABC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CAD, ∠ ABE=∠ CBE, \therefore \overgroup{BD}=\overgroup{CD}, \because ∠ DBC=$$∠ CAD, \therefore ∠ DBC=∠ BAE, \because ∠ CBE+∠ DBC=∠ DBE$,$∠ ABE+∠ BAE=∠ DEB, \therefore ∠ DBE=∠ DEB, \therefore DE=DB$.
(2)如图,连接 $CD$,

由(1)得$\overgroup{BD}=\overgroup{CD}, \therefore CD=BD=5\sqrt{2}$,
$\because ∠ BAC=90°, \therefore BC$ 是直径, $\therefore ∠ BDC=90°$,
在 $\mathrm{Rt} △ BCD$ 中, 由勾股定理得 $BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=10$,
$\therefore △ ABC$ 外接圆的半径为 $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 10=5$.