22. 情境 中华优秀传统文化「2026云南昆明期中，★★☆」(10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶。如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的$\odot O$，且圆心在水面上方。在某一时刻，$\odot O$被水面截得的弦AB的长为6米，过点O作$OC ⊥ AB$，交$\odot O$于点C，交AB于点D，水面下盛水桶的最大深度为1米(即$CD=1$米)。
(1)求$\odot O$的半径。
(2)若水面上涨，导致$\odot O$被水面截得的弦AB的长从原来的6米变为8米，且圆心O仍在水面上方，则水面上涨了多少？

22.解析 (1)$\because OC ⊥ AB$,且 $OC$ 经过圆心,
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=3$ 米,
设 $OA=OC=r$ 米,则 $OD=(r-1)$ 米,
在 $\mathrm{Rt} △ AOD$ 中, $OD^2+AD^2=OA^2$,
即 $(r-1)^2+3^2=r^2$, 解得 $r=5$.
答:$\odot O$ 的半径为 5 米.
(2)如图,设水面从 $AB$ 的位置上升到 $EF$ 的位置,$OC$ 与 $EF$ 相交于点 $G$,连接 $OE$,则 $EF // AB$,

由(1)得 $OD=4$ 米, $\because OG ⊥ AB, \therefore OG ⊥ EF$,
$\therefore EG=FG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2} × 8=4$(米),
在 $\mathrm{Rt} △ EOG$ 中, 由勾股定理得 $OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=3$ 米,
$\therefore DG=OD-OG=4-3=1$(米).
答:水面上涨了 1 米.

23.「★☆」(12分)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AD为直径,连接BD,已知$AB=BD$.
(1)求$∠ BCD$的度数.
(2)过点D作$DE ⊥ AD$交AB的延长线于点E,连接CE.
①求证:$∠ DBC=∠ CDE$.
②若$BC=2\sqrt{2}$,$CD=3$,求CE的长.

23.解析 (1)$\because AD$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ABD=90°$,
$\because AB=BD, \therefore ∠ A=∠ ADB=45°$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,
$\therefore ∠ BCD=180°-∠ A=135°$.
(2)①证明: $\because DE ⊥ AD, \therefore ∠ ADE=90°$,
$\because ∠ ADB=45°, \therefore ∠ BDE=45°$,
$\therefore ∠ CDE+∠ BDC=45°$,
$\because ∠ BCD=135°, \therefore ∠ DBC+∠ BDC=45°$,
$\therefore ∠ DBC=∠ CDE$.
②如图,将 $△ DBC$ 绕着点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90°$ 得到$△ EBF$,连接 $CF$,

则 $△ EBF ≌ △ DBC, \therefore BF=BC=2\sqrt{2},EF=CD=3, ∠ DBC=$$∠ FBE, ∠ BFE=∠ BCD=135°$,
$\because ∠ DBC+∠ CBE=90°$,
$\therefore ∠ FBE+∠ CBE=90°$, 即 $∠ CBF=90°$,
$\therefore ∠ BCF=∠ BFC=45°, CF=\sqrt{BF^2+BC^2}=4$,
$\therefore ∠ CFE=∠ BFE-∠ BFC=90°$,
$\therefore CE=\sqrt{CF^2+EF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.