24.「2026江苏徐州期中改编，★★★」(14分)
(1)【真题再现】如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D，BE与CF相等吗？请说明理由.
(2)【模型探究】如图2，⊙O的半径为R(R为定值)，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，当点E在弦CD上的不同位置时，AE²+DE²+BE²+CE²的值是否改变？若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由.
(3)【模型应用】在(2)的条件下，如图3，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AC=DC=3√10，直接写出BC的长.

24.解析 (1)$BE$ 与 $CF$ 相等.理由如下:
$\because AE$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ABE=90°$,
$\therefore ∠ AEB+∠ BAE=90°$,
$\because AF ⊥ BC, \therefore ∠ ACB+∠ CAF=90°$,
$\because ∠ AEB=∠ ACB, \therefore ∠ BAE=∠ CAF$,
$\therefore \overgroup{BE}=\overgroup{CF}, \therefore BE=CF$.
(2)$AE^2+DE^2+BE^2+CE^2$ 的值不会改变.
连接 $AO$ 并延长, 与 $\odot O$ 相交于点 $F$, 连接 $AC,BD,CF$, 如图1,由(1)中的结论得 $CF=BD, \therefore CF^2=BD^2$.
$\because AF$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACF=90°$,
在 $\mathrm{Rt} △ ACF$ 中, $AC^2+CF^2=AF^2$,
在 $\mathrm{Rt} △ ACE$ 和 $\mathrm{Rt} △ BDE$ 中, $AE^2+CE^2=AC^2, BE^2+DE^2=$$BD^2, \therefore AE^2+DE^2+BE^2+CE^2=AC^2+BD^2=AC^2+CF^2=AF^2=$$(2R)^2=4R^2$.

(3)$BC=8$.
详解:连接 $AD,OD,OA$, 连接 $CO$ 并延长, 与 $AD$ 相交于点$P$, 如图 2, $\because OA=OD,AC=DC, \therefore$ 直线 $CO$ 垂直平分 $AD$,
$\therefore AP=DP$, 在 $\mathrm{Rt} △ ACP$ 和 $\mathrm{Rt} △ AOP$ 中, $AC^2-CP^2=AO^2-$$OP^2=AP^2$, 设 $OP=x$, 则 $CP=OC+OP=5+x, \therefore (3\sqrt{10})^2-$$(5+x)^2=5^2-x^2$, 解得 $x=4$, 即 $OP=4, \therefore AP=\sqrt{AO^2-OP^2}=$$3, \therefore AD=2AP=6$, 由(2)中的结论得 $AE^2+DE^2+BE^2+CE^2=$$BC^2+AD^2=4 × 5^2=100, \therefore BC=\sqrt{100-AD^2}=8$.