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二、填空题(每小题3分,共24分)
11.「2026江西南昌月考改编，★☆」用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时,首先应假设
11.「2026江西南昌月考改编，★☆」用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时,首先应假设
同弧所对的圆心角不相等
.答案
11.答案 同弧所对的圆心角不相等
12.「2026宁夏固原期中，★☆」如图所示的是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的一块碎片是
②
。答案
12.答案 ②
解析 在②的弧上可确定 3 个不在同一直线上的点,过这三个点可作一个圆,且只能作一个圆,所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②.
解析 在②的弧上可确定 3 个不在同一直线上的点,过这三个点可作一个圆,且只能作一个圆,所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②.
13.「2025江苏常州中考，★☆」如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦.若$∠ DCB=45°,AD=1$,则$AB=$
$\sqrt{2}$
.答案
13.答案 $\sqrt{2}$
解析 $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB=90°, \because ∠ DCB=$$45°, \therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°, \therefore ∠ ABD=90°-∠ DAB=45°=$$∠ DAB, \therefore BD=AD=1, \therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2}$.
解析 $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB=90°, \because ∠ DCB=$$45°, \therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°, \therefore ∠ ABD=90°-∠ DAB=45°=$$∠ DAB, \therefore BD=AD=1, \therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2}$.
14.「2025陕西中考，★☆」如图，点A,B,C,D在⊙O上，若∠1+∠2=100°,则∠B的度数为
$80°$
.答案
14.答案 $80°$
解析 $\because$ 四边形 $ABCD$ 为 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ B+$$∠ D=180°$,由圆周角定理得 $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC. \because ∠ 1+∠ 2=$$100°, \therefore ∠ AOC+∠ D=360°-100°=260°, \therefore 2 ∠ B+(180°-$$∠ B)=260°, \therefore ∠ B=80°$.
解析 $\because$ 四边形 $ABCD$ 为 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ B+$$∠ D=180°$,由圆周角定理得 $∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC. \because ∠ 1+∠ 2=$$100°, \therefore ∠ AOC+∠ D=360°-100°=260°, \therefore 2 ∠ B+(180°-$$∠ B)=260°, \therefore ∠ B=80°$.
15.「★★☆」如图，$\odot O$的直径AB和弦CD相交于点M，已知$AM=5$，$BM=1$，$∠ CMB=60°$，则CD的长为
$2\sqrt{6}$
。答案
15.答案 $2\sqrt{6}$
解析 如图,连接 $OD$,过点 $O$ 作 $OE ⊥ CD$ 于点 $E$,则 $CD=$$2DE, ∠ OEM=90°, \because ∠ OME=∠ CMB=60°, \therefore ∠ MOE=$$90°-60°=30°, \therefore EM=\frac{1}{2}OM, \because AM=5, BM=1, \therefore OD=$$OB=\frac{1}{2}(AM+BM)=3, \therefore OM=OB-BM=2, \therefore EM=1$,
$\therefore OE=\sqrt{OM^2-EM^2}=\sqrt{3}, \therefore DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=$$\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}, \therefore CD=2\sqrt{6}$.
技巧归纳 在涉及弦长的问题中,一般构造由半弦、半径、圆心到弦的垂线段组成的直角三角形,再利用勾股定理求相关线段长.
16.「2026浙江金华四中期中，★★☆」如图，把矩形纸片$ABCD$分割成正方形纸片$ABFE$和矩形纸片$EFCD$后，分别裁出扇形$ABF$和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为$\sqrt{15}$，则圆锥底面圆的半径为
1
。答案
16.答案 1
解析 设 $CF=2r,BF=R$,
由题意得 $\frac{1}{4} × 2π R=2π r$, 解得 $R=4r$,
由勾股定理得 $R^2=(\sqrt{15})^2+r^2, \therefore 16r^2=15+r^2$,
$\therefore r^2=1, \because r＞0, \therefore r=1, \therefore$ 圆锥底面圆的半径为 1.
解析 设 $CF=2r,BF=R$,
由题意得 $\frac{1}{4} × 2π R=2π r$, 解得 $R=4r$,
由勾股定理得 $R^2=(\sqrt{15})^2+r^2, \therefore 16r^2=15+r^2$,
$\therefore r^2=1, \because r＞0, \therefore r=1, \therefore$ 圆锥底面圆的半径为 1.
17.「2026江苏南京鼓楼月考，★★☆」如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$, $∠ ABC=22.5°$,$△ ABC$的面积为8,作$△ ABC$的外接圆$\odot O$,连接$OA,OB,OC$,则$\odot O$的半径为
4
.答案
17.答案 4
解析 $\because ∠ BAC=45°, ∠ ABC=22.5°, \therefore ∠ BOC=2 ∠ BAC=$$90°, ∠ AOC=2 ∠ ABC=45°, \therefore ∠ AOB=135°. \because OA=OB$,
$\therefore ∠ BAO=∠ ABO=\frac{1}{2} ×(180°-135°)=22.5°, \therefore ∠ BAO=$$∠ ABC, \therefore OA // BC, \therefore S_{△ BOC}=S_{△ ABC}=8, \because OC=OB, \therefore \frac{1}{2}OC ·$$OB=\frac{1}{2}OC^2=8, \therefore OC=4$(负值舍去),即$\odot O$ 的半径为 4.
解析 $\because ∠ BAC=45°, ∠ ABC=22.5°, \therefore ∠ BOC=2 ∠ BAC=$$90°, ∠ AOC=2 ∠ ABC=45°, \therefore ∠ AOB=135°. \because OA=OB$,
$\therefore ∠ BAO=∠ ABO=\frac{1}{2} ×(180°-135°)=22.5°, \therefore ∠ BAO=$$∠ ABC, \therefore OA // BC, \therefore S_{△ BOC}=S_{△ ABC}=8, \because OC=OB, \therefore \frac{1}{2}OC ·$$OB=\frac{1}{2}OC^2=8, \therefore OC=4$(负值舍去),即$\odot O$ 的半径为 4.
18.「2024江西中考，★★★」如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，点C在线段AB上运动，过点C的弦$DE ⊥ AB$，将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为
$2-\sqrt{3}$或2或$2+\sqrt{3}$
。答案
18.答案 $2-\sqrt{3}$ 或 2 或 $2+\sqrt{3}$
解析 $\because AB=2,AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore 0＜DE ≤ 2$,
$\because DE$ 的长为正整数, $\therefore DE$ 的长为 1 或 2,
分情况讨论:①当 $DE=1$ 且 $DE$ 在点 $O$ 右侧时,连接 $OD$,如图1,
由题意得 $DC=CE=\frac{1}{2},OB=OD=\frac{1}{2}AB=1$,
$\therefore OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore CB=OB-OC=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore FB=2CB=2-\sqrt{3}$.
②当 $DE=2$ 时,如图 2,$FB=AB=2$.
③当 $DE=1$ 且 $DE$ 在点 $O$ 左侧时,连接 $OD$,如图 3,
由题意得 $DC=CE=\frac{1}{2},OB=OD=\frac{1}{2}AB=1$,
$\therefore OC=\sqrt{OD^2-DC^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore BC=OB+OC=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore FB=2CB=2+\sqrt{3}$.
综上,线段 $FB$ 的长为 $2-\sqrt{3}$ 或 2 或 $2+\sqrt{3}$.
