1. 如图,在$△ ABC$中,分别以点$A,B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧的交点分别为$M$,$N$,连接$MN$交$AC$于点$D$,连接$BD$.下列说法一定正确的是 ()

A.$△ ABD$是直角三角形
B.$△ BCD$是等腰三角形
C.$△ ABD$是等腰三角形
D.$△ ABC$是等腰三角形

1 C 根据题意得,点 D 在线段 AB 的垂直平分线上,$\therefore BD = AD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形.

2. 教材P109习题T2变式 [2026 广州期末] 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$DE$垂直平分$AC$，若$∠ A = 40°$，则$∠ DCB =$（）

A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$30°$

2 D 在$△ ABC$中,$\because AB = AC, ∠ A = 40°, \therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{180°-∠ A}{2}=70°. \because DE$ 垂直平分 $AC, \therefore DA = DC, \therefore ∠ DCA = ∠ A = 40°, \therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ DCA = 70° - 40° = 30°.$

3. 如图,在△ABC中,点D在AC上,DE是AB的垂直平分线,连接BD.若AB=AC,△BCD的周长为18 cm,△ABC的周长为30 cm,则BE= cm.


变式题图

3 6 $\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AD = DB, AE = BE = \frac{1}{2}AB. \because △ BCD$ 的周长为 18 cm, $\therefore DB + DC + BC = AD + DC + BC = AC + BC = 18$ cm. $\because △ ABC$ 的周长为 30 cm, $\therefore AC + BC + AB = 30$ cm, $\therefore AB = 30 - 18 = 12(\mathrm{cm}), \therefore BE = \frac{1}{2} × 12 = 6(\mathrm{cm}).$

变式如图,在$△ ABC$中,分别以点$A,B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于两点,这两点的连线交$BC$于点$D$,对边$AC$重复上述操作,且两点的连线交边$BC$于点$E$.若$AB=5$,$AC=12$,$BC=15$,则$△ ADE$的周长为.

变式 15 如图,根据题意得,DF 是线段 AB 的垂直平分线,EG 是线段 AC 的垂直平分线, $\therefore DB = DA, EA = EC$, $\therefore △ ADE$的周长为 $AD + DE + EA = DB + DE + EC = BC = 15.$

4. [2025无锡江阴期中]如图,若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在 ()


A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点

4 A

5. 新趋势·尺规作图|一题多解 [2025 北京四中期中] 如图,已知$△ ABC$,求作$△ ABC$的边$BC$上的高$AD$.下面是小婷设计的尺规作图过程:①先以点$B$为圆心,$AB$的长为半径画弧,再以点$C$为圆心,$AC$的长为半径画弧,两弧在$BC$的下方交于点$E$;②连接$AE$交$BC$于点$D$,则线段$AD$就是$△ ABC$的边$BC$上的高.
(1)根据小婷设计的尺规作图的过程,请你补全该图形.(不写作法,保留作图痕迹)

(2)请你对小婷的作法给出证明.

5 解:(1)如图1,点 D 即所求.


(2)通解1 如图2,连接 BE,CE.
$\because BE = BA, CE = CA$,
$\therefore$ 点 B,C 在线段 AE 的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上),
$\therefore BC$ 垂直平分线段 AE,
$\therefore$ 线段 AD 是 $△ ABC$ 的边 BC 上的高.
通解2 如图2,连接 BE,CE.
$\because BE = BA, CE = CA, BC = BC$,
$\therefore △ ABC ≌ △ EBC(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ ABC = ∠ EBC.$
$\because BE = BA, \therefore BD ⊥ AE$(等腰三角形的三线合一),
$\therefore$ 线段 AD 是 $△ ABC$ 的边 BC 上的高.