6. 如图，线段AC，AB的垂直平分线分别过点B，C，则∠A= °.

6 60 如图,连接 BC(连接线段垂直平分线上的点与线段的两个端点是常用的作辅助线的方法). 根据题意得, $CA = CB, AB = CB, \therefore CA = CB = AB, \therefore △ ABC$ 为等边三角形, $\therefore ∠ A = 60°.$

7. [2026泰州期末]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E为CD的中点,连接BE并延长交AD的延长线于点F.若AE⊥BF,BC=5,AD=3,则AB的长为.

7 8 $\because AD // BC, \therefore ∠ C = ∠ EDF, ∠ EBC = ∠ F. \because$ 点 E 为 CD 的中点, $\therefore CE = DE.$ 在 $△ BCE$ 和 $△ FDE$ 中, $∠ C = ∠ EDF, ∠ EBC = ∠ F, CE = DE, \therefore △ BCE ≌ △ FDE(\mathrm{AAS}), \therefore BE = EF, BC = DF. \because AE ⊥ BF, \therefore$ 直线 AE 是线段 BF 的垂直平分线, $\therefore AB = AF. \because BC = 5, AD = 3, \therefore AB = AF = AD + DF = AD + BC = 3 + 5 = 8.$

8. 如图,在$△ ABC$中,$AB = 6,AC = 10,CF$平分$∠ ACB,D$是$BC$的中点,$E$是$AC$上的一点,连接$DE$交$CF$于点$O$.
(1)若$△ CDE$的周长与四边形$ABDE$的周长相等,求线段$AE$的长.
(2)若$AC = BC,DE ⊥ BC$于点$D,∠ ACB = β$,连接$OA$.
①求证:点$O$在线段$AC$的垂直平分线上.
②求$∠ AOE$的度数.(用含$β$的式子表示)

8 (1)解:$\because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BD = CD.$
$\because △ CDE$ 的周长与四边形 $ABDE$ 的周长相等,
$\therefore CD + DE + CE = BD + DE + AB + AE, \therefore CE = AB + AE.$
$\because AB = 6, AC = 10, \therefore CE = 6 + 10 - CE,$
$\therefore CE = 8, \therefore AE = 10 - 8 = 2.$
(2)①证明:如图,连接 $OB$,
$\because DE ⊥ BC, D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore OB = OC.$
$\because CF$ 平分 $∠ ACB, AC = BC$,
$\therefore CF$ 垂直平分 $AB, \therefore OA = OB, \therefore OA = OC$,
$\therefore$ 点 $O$ 在线段 $AC$ 的垂直平分线上.

②解:$\because DE ⊥ BC$, 即 $∠ CDE = 90°$,
$\therefore ∠ CED = 90° - ∠ ACB = 90° - β.$
$\because CF$ 平分 $∠ ACB, \therefore ∠ ACO = \frac{1}{2}β.$
$\because OA = OC, \therefore ∠ CAO = ∠ ACO = \frac{1}{2}β,$
$\therefore ∠ AOE = ∠ CEO - ∠ CAO = 90° - β - \frac{1}{2}β = 90° - \frac{3}{2}β.$

9. 应用意识 [2025防城港防城区期中]【背景呈现】
如图1,在四边形ABCD中,AD = CD,AB = CB,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】
(1)如图1,连接筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,探究筝形ABCD的性质并填空:对角线AC,BD的位置关系是,AO与CO的数量关系是.
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.
(2)①从数学的角度看,秀秀确定“十字架”EG和HF时,应满足的条件是;
②借助图2以及①中所写条件,说明四边形EHGF是个“筝形”.
【拓展应用】
(3)在“筝形”风筝EHGF中,若EG = 60 cm,HF = 40 cm,求“筝形”风筝EHGF的面积.

9 解:(1)$AC ⊥ BD$ $AO = CO$
(2)①$EG$ 垂直平分 $HF$
②$\because EG$ 垂直平分 $HF$,
$\therefore EH = EF, GH = GF$,
$\therefore$ 四边形 EHGF 是个“筝形”.
(3)$\because$ 四边形 EHGF 是筝形, $\therefore EG ⊥ HF$,
$\therefore S_{\mathrm{“筝形”风筝}EHGF} = S_{△ EHF} + S_{△ HGF} = \frac{1}{2}HF · EI + \frac{1}{2}HF · IG = \frac{1}{2}HF · (EI + IG) = \frac{1}{2}HF · EG = \frac{1}{2} × 40 × 60 = 1200(\mathrm{cm}^2).$