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1. [2026贵港期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D在BC边上,若$∠1=∠2$,$BC=12$,$BD=8$,则点D到AB的距离为 (
A.3
B.4
C.8
D.12
B
)A.3
B.4
C.8
D.12
答案
1. B
$\because BC = 12, BD = 8, \therefore CD = BC - BD = 12 - 8 = 4.$
$\because ∠ 1 = ∠ 2, \therefore AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore$ 点 $D$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等. $\because CD$ 的长表示点 $D$ 到 $AC$ 的距离, $\therefore$ 点 $D$ 到 $AB$ 的距离为4.
$\because BC = 12, BD = 8, \therefore CD = BC - BD = 12 - 8 = 4.$
$\because ∠ 1 = ∠ 2, \therefore AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore$ 点 $D$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等. $\because CD$ 的长表示点 $D$ 到 $AC$ 的距离, $\therefore$ 点 $D$ 到 $AB$ 的距离为4.
2. 如图，$△ ABC$的外角的平分线$BD$，$CE$交于点$P$，$PF⊥ AB$于点$F$，若$PF=3$，则点$P$到$AC$的距离为________.
答案
2. 3
如图,过点 $P$ 作 $PH ⊥ AC$ 交 $AC$ 延长线于点 $H, PG ⊥ BC$于点 $G$(利用角平分线的性质向角的两边作垂线,构造到角两边距离相等的线段). $\because BD$ 平分 $∠ CBF, CE$ 平分 $∠ HCB$,
$\therefore PG = PF = PH = 3, \therefore$ 点 $P$ 到 $AC$ 的距离为 3.
3. 如图,在△ABC中,AB = 40 m,AC = 30 m,AD是∠BAC的平分线.若△ABD的面积为320 m²,求△ACD的面积.
答案
3. 解:如图,过点 $D$ 分别作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E, DF ⊥ AC$ 于点 $F$.
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore DE = DF$(角平分线的性质定理).
$\because AB = 40\ \mathrm{m}, S_{△ ABD} = 320\ \mathrm{m}^2$,
$\therefore S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2} × 40 · DE = 320$,
$\therefore DF = DE = \frac{2 × 320}{40} = 16(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · DF = \frac{1}{2} × 30 × 16 = 240(\mathrm{m}^2)$.
4. [2025菏泽成武期中]如图,点P是△ABC内的一点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,PD=PE,则 (
A.点P在∠A的平分线上
B.点P在∠B的平分线上
C.点P在∠C的平分线上
D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点
B
)A.点P在∠A的平分线上
B.点P在∠B的平分线上
C.点P在∠C的平分线上
D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点
答案
4. B
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=40°$,$AD⊥ BC$于点$D$,点$E$在$BD$上,$EF⊥ AB$于点$F$.若$ED=EF$,则$∠ EAD$的度数为
25°
.答案
5. $25°$
$\because AD ⊥ BC, EF ⊥ AB, ED = EF, \therefore AE$ 平分 $∠ BAD$.
$\because ∠ B = 40°, ∠ ADB = 90°, \therefore ∠ BAD = 90° - ∠ B = 50°$,
$\therefore ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAD = 25°$.
$\because AD ⊥ BC, EF ⊥ AB, ED = EF, \therefore AE$ 平分 $∠ BAD$.
$\because ∠ B = 40°, ∠ ADB = 90°, \therefore ∠ BAD = 90° - ∠ B = 50°$,
$\therefore ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAD = 25°$.
6. [2025唐山期末] 下列作OP平分∠AOB的方案，正确的是
①如图
，将两个完全一样的三角板长直角边分别放在∠AOB的边OA和OB上，移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线OP.
②如图
，用刻度尺在∠AOB两边OA,OB上分别取OE=OF，再用刻度尺量取EF的长度，取其中点，记为点P，作射线OP.
①②
.(填序号)①如图
，将两个完全一样的三角板长直角边分别放在∠AOB的边OA和OB上，移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线OP.②如图
，用刻度尺在∠AOB两边OA,OB上分别取OE=OF，再用刻度尺量取EF的长度，取其中点，记为点P，作射线OP.答案
6. ①②
①中, $\because PB ⊥ OB, PA ⊥ OA, BP = AP, \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).
②中, $\because OE = OF, \therefore △ OEF$ 是等腰三角形. $\because PE = PF, \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$(“等腰三角形的三线合一”).
①中, $\because PB ⊥ OB, PA ⊥ OA, BP = AP, \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).
②中, $\because OE = OF, \therefore △ OEF$ 是等腰三角形. $\because PE = PF, \therefore OP$ 平分 $∠ AOB$(“等腰三角形的三线合一”).
7. 教材P110习题T6变式 [2026南阳期末] 如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BF=CE，BE与CF交于点D，求证：AD平分∠BAC.
答案
7. 证明: $\because BE ⊥ AC, CF ⊥ AB, \therefore ∠ BFD = ∠ CED = 90°$.
在 $△ BDF$ 和 $△ CDE$ 中,
$∠ BDF = ∠ CDE, ∠ BFD = ∠ CED, BF = CE$,
$\therefore △ BDF ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}), \therefore DF = DE$.
$\because BE ⊥ AC, CF ⊥ AB, \therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
在 $△ BDF$ 和 $△ CDE$ 中,
$∠ BDF = ∠ CDE, ∠ BFD = ∠ CED, BF = CE$,
$\therefore △ BDF ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}), \therefore DF = DE$.
$\because BE ⊥ AC, CF ⊥ AB, \therefore AD$ 平分 $∠ BAC$.
8. 新趋势·尺规作图 [2025西安模拟] 如图,在$△ ABC$中,$∠ A ＞ 90°$,请用尺规作图的方法,在$△ ABC$的内部求作一点$P$,使得$△ PBC$是等腰三角形,且点$P$到边$AC,BC$的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
8. 解:如图,点 $P$ 即所求.
