9. 教材P107练习T1变式 如图，直线$l_1,l_2,l_3$表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）


A.一处
B.两处
C.三处
D.四处

9. D
因为角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以可供选择的地址可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处. 如图,可供选择的地址有 $P_1,P_2,P_3,P_4$,共四处.

10. [2025十堰期末]如图，$∠ B = ∠ C = 90°$, E是BC的中点，DE平分$∠ ADC$.求证：(1)AE是$∠ DAB$的平分线；(2)$AE ⊥ DE$；(3)$AB + CD = AD$.

10. 证明:(1)如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ DA$ 于点 $F$.
$\because ∠ C = 90°, DE$ 平分 $∠ ADC, EF ⊥ DA, \therefore CE = EF$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BE = CE, \therefore BE = EF$.
$\because ∠ B = 90°, EF ⊥ AD$,
$\therefore AE$ 平分 $∠ BAD$,
即 $AE$ 是 $∠ DAB$ 的平分线.

(2) $\because DE$ 平分 $∠ ADC, AE$ 平分 $∠ DAB$,
$\therefore ∠ ADE = \frac{1}{2}∠ ADC, ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ DAB$.
$\because ∠ B = ∠ C = 90°, \therefore ∠ B + ∠ C = 180°$,
$\therefore AB // CD, \therefore ∠ ADC + ∠ DAB = 180°$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ ADC + \frac{1}{2}∠ DAB = \frac{1}{2}(∠ ADC + ∠ DAB) = 90°$,
$\therefore ∠ AED = 180° - (∠ ADE + ∠ DAE) = 90°, \therefore AE ⊥ DE$.
(3) 在 $\mathrm{Rt}△ DFE$ 和 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,
$\because DE = DE, EF = EC$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ DFE ≌ \mathrm{Rt}△ DCE(\mathrm{HL}), \therefore DF = DC$.
同理可得, $AF = AB$.
$\therefore AD = AF + DF = AB + CD$, 即 $AB + CD = AD$.

11. 推理能力 已知$∠ MAN$，$AP$平分$∠ MAN$，定点$C$在射线$AP$上，$∠ DCB$与射线$AN$交于点$B$，与射线$AM$交于点$D$，且$∠ MAN + ∠ DCB = 180°$.
【问题证明】
(1)如图1，当点$D$在射线$AM$上，且$CB ⊥ AN$时，$AB$的长为5. 求证:①$CD = CB$；②$AB + AD = 10$.
【问题探究】
(2)如图2，当点$D$在射线$AM$上，且$CB$与$AN$不垂直时，(1)中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【问题拓展】
(3)如图3，当点$D$在射线$AM$的反向延长线上时，请判断(1)中的结论②是否成立，若不成立，请直接写出你得到的结论.

11. (1)证明:①在四边形 $ABCD$ 中, $\because ∠ MAN + ∠ DCB = 180°$,
$\therefore ∠ CDA + ∠ CBA = 360° - 180° = 180°$.
$\because CB ⊥ AN, \therefore ∠ CBA = 90°, \therefore ∠ CDA = 90°$.
$\because AC$ 平分 $∠ MAN, \therefore CD = CB$.
②在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC = AC, CD = CB$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC ≌ \mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}), \therefore AD = AB = 5$,
$\therefore AB + AD = 10$.
(2)解:(1)中的结论②仍然成立. 证明如下:
如图1,过点 $C$ 分别作 $AM, AN$ 的垂线,垂足分别为 $E, F$,
$\therefore ∠ CED = ∠ CFB = 90°, \therefore ∠ AEC + ∠ AFC = 180°$.
与(1)同理可得 $CE = CF, AF = AE = 5$.
$\therefore ∠ MAN + ∠ ECF = 360° - 180° = 180°$.
$\because ∠ MAN + ∠ DCB = 180°$,
$\therefore ∠ ECF = ∠ DCB$,
$\therefore ∠ ECF - ∠ DCF = ∠ DCB - ∠ DCF$, 即 $∠ ECD = ∠ FCB$.
在 $△ CED$ 和 $△ CFB$ 中,
$∠ CED = ∠ CFB, CE = CF, ∠ ECD = ∠ FCB$,
$\therefore △ CED ≌ △ CFB(\mathrm{ASA}), \therefore DE = BF$,
$\therefore AB + AD = AF + BF + AD = AF + DE + AD = AF + AE = 10$.

(3)解:(1)中的结论②不成立,此时 $AB - AD = 10$.
如图2,由(2)知 $∠ CED = ∠ CFB = 90°, CE = CF, AF = AE = 5$.
$\because ∠ MAN + ∠ ECF = 180°, ∠ MAN + ∠ DCB = 180°$,
$\therefore ∠ ECF = ∠ DCB, \therefore ∠ ECF - ∠ DCF = ∠ DCB - ∠ DCF$, 即 $∠ ECD = ∠ FCB$. 在 $△ CED$ 和 $△ CFB$ 中, $∠ CED = ∠ CFB$, $CE = CF, ∠ ECD = ∠ FCB, \therefore △ CED ≌ △ CFB(\mathrm{ASA}), \therefore DE = BF, \therefore AB - AD = AF + BF - (DE - AE) = AF + BF - DE + AE = AF + BF - BF + AE = AF + AE = 10$.