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例1 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$根的情况，下列说法不正确的是()
A.当$b^2 - 4ac = 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有实数根，$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
B.当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$没有实数根
C.当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不相等的实数根
D.当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不相等的实数根
【思路导析】运用$b^2 - 4ac ＞ 0$，$b^2 - 4ac = 0$，$b^2 - 4ac ＜ 0$，分类讨论方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$根的情况。
【请你解答】.
A.当$b^2 - 4ac = 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有实数根，$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
B.当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$没有实数根
C.当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不相等的实数根
D.当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$有两个不相等的实数根
【思路导析】运用$b^2 - 4ac ＞ 0$，$b^2 - 4ac = 0$，$b^2 - 4ac ＜ 0$，分类讨论方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$根的情况。
【请你解答】.
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式与根的情况的对应关系，解题时首先牢记判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的三种取值分别对应的根的情况，再逐一核对四个选项的表述，找出说法错误的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，根的情况与$\Delta$的对应关系为：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
逐一判断选项：
A. 符合$\Delta=0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
B. 符合$\Delta＜0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
C. 符合$\Delta＞0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
D. 当$\Delta≥0$时包含$\Delta=0$和$\Delta＞0$两种情况，此时方程有两个实数根（可能相等也可能不相等），选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对根的判别式不同取值对应根的情况的理解，解题时要注意$\Delta≥0$包含两种根的情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式与根的情况的对应关系，解题时首先牢记判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的三种取值分别对应的根的情况，再逐一核对四个选项的表述，找出说法错误的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，根的情况与$\Delta$的对应关系为：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
逐一判断选项：
A. 符合$\Delta=0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
B. 符合$\Delta＜0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
C. 符合$\Delta＞0$时的根的情况，表述正确，不符合题意；
D. 当$\Delta≥0$时包含$\Delta=0$和$\Delta＞0$两种情况，此时方程有两个实数根（可能相等也可能不相等），选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对根的判别式不同取值对应根的情况的理解，解题时要注意$\Delta≥0$包含两种根的情况，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)$x^2 - x - 3 = 0$；(2)$(2x - 4)x = 5 - 6x$。
【思路导析】先把方程化为一般形式，再根据$b^2 - 4ac$的值的正负来判断方程根的情况。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求一元二次方程中待定系数的取值范围
(1)$x^2 - x - 3 = 0$；(2)$(2x - 4)x = 5 - 6x$。
【思路导析】先把方程化为一般形式，再根据$b^2 - 4ac$的值的正负来判断方程根的情况。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求一元二次方程中待定系数的取值范围
答案
解：
(1) 对于方程$x^2 - x - 3 = 0$，
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(2x - 4)x = 5 - 6x$整理为一般形式：
$2x^2 - 4x = 5 - 6x$，
移项合并同类项得$2x^2 + 2x - 5 = 0$，
$a=2$，$b=2$，$c=-5$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
(1) 对于方程$x^2 - x - 3 = 0$，
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(2x - 4)x = 5 - 6x$整理为一般形式：
$2x^2 - 4x = 5 - 6x$，
移项合并同类项得$2x^2 + 2x - 5 = 0$，
$a=2$，$b=2$，$c=-5$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时首先需将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出$a$、$b$、$c$的取值，再代入判别式计算，最后根据计算结果判断根的情况即可。第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值；第(2)题需要先展开、移项合并同类项，整理为一般形式后再计算判别式。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - 3 = 0$，
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(2x - 4)x = 5 - 6x$整理为一般形式：
$2x^2 - 4x = 5 - 6x$，
移项合并同类项得$2x^2 + 2x - 5 = 0$，
$a=2$，$b=2$，$c=-5$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础应用类题型，重点考查根的判别式的使用方法，解题易错点为处理第(2)问时未将方程化为一般形式就错误确定$a$、$b$、$c$的取值，熟练掌握判别式的应用规则、仔细化简方程即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时首先需将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出$a$、$b$、$c$的取值，再代入判别式计算，最后根据计算结果判断根的情况即可。第(1)题已经是一般形式，可直接确定$a$、$b$、$c$的值；第(2)题需要先展开、移项合并同类项，整理为一般形式后再计算判别式。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - 3 = 0$，
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(2x - 4)x = 5 - 6x$整理为一般形式：
$2x^2 - 4x = 5 - 6x$，
移项合并同类项得$2x^2 + 2x - 5 = 0$，
$a=2$，$b=2$，$c=-5$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×2×(-5) = 4 + 40 = 44 ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础应用类题型，重点考查根的判别式的使用方法，解题易错点为处理第(2)问时未将方程化为一般形式就错误确定$a$、$b$、$c$的取值，熟练掌握判别式的应用规则、仔细化简方程即可正确解答。
【难度系数】
0.8
例3 已知关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k}x -1=0$有实数根，求$k$的取值范围.
【探究点拨】因为一元二次方程有实数根，所以必须满足：(1)$1-2k≠0$；(2)$b^2 -4ac≥0$.同时要注意，二次根式的被开方数是非负数，即$k≥0$.
【规范解答】$(1-2k)x^2 -2\sqrt{k}x -1=0$有实数根，
则$b^2 -4ac = (-2\sqrt{k})^2 -4×(1-2k)×(-1)$
$=4k +4 -8k$
$=-4k +4≥0$.
解得$k≤1$.
∵ $1-2k≠0$，且$k≥0$，
∴ $0≤k≤1$且$k≠\frac{1}{2}$.
【探究点拨】因为一元二次方程有实数根，所以必须满足：(1)$1-2k≠0$；(2)$b^2 -4ac≥0$.同时要注意，二次根式的被开方数是非负数，即$k≥0$.
【规范解答】$(1-2k)x^2 -2\sqrt{k}x -1=0$有实数根，
则$b^2 -4ac = (-2\sqrt{k})^2 -4×(1-2k)×(-1)$
$=4k +4 -8k$
$=-4k +4≥0$.
解得$k≤1$.
∵ $1-2k≠0$，且$k≥0$，
∴ $0≤k≤1$且$k≠\frac{1}{2}$.
答案
解：
∵ 关于$x$的方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k}x -1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数$1-2k ≠ 0$，二次根式的被开方数$k≥0$，且根的判别式$\Delta ≥ 0$。
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4 - 8k$
$=-4k + 4$
由$\Delta ≥ 0$，得$-4k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
由$1-2k ≠ 0$得$k ≠ \frac{1}{2}$，结合$k≥0$，
∴ $k$的取值范围是$0≤ k ≤ 1$且$k ≠ \frac{1}{2}$。
∵ 关于$x$的方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k}x -1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数$1-2k ≠ 0$，二次根式的被开方数$k≥0$，且根的判别式$\Delta ≥ 0$。
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4 - 8k$
$=-4k + 4$
由$\Delta ≥ 0$，得$-4k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
由$1-2k ≠ 0$得$k ≠ \frac{1}{2}$，结合$k≥0$，
∴ $k$的取值范围是$0≤ k ≤ 1$且$k ≠ \frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决该问题，需同时满足三个限制条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程中含有二次根式$\sqrt{k}$，因此被开方数$k$必须是非负数；第三，一元二次方程有实数根，说明根的判别式$\Delta≥0$。我们先分别计算每个条件对应的$k$的取值范围，再取三个范围的公共部分，即可得到最终$k$的取值范围。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k}x -1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数$1-2k ≠ 0$，二次根式的被开方数$k≥0$，且根的判别式$\Delta ≥ 0$。
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4 - 8k$
$=-4k + 4$
由$\Delta ≥ 0$，得$-4k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
由$1-2k ≠ 0$得$k ≠ \frac{1}{2}$，结合$k≥0$，
∴ $k$的取值范围是$0≤ k ≤ 1$且$k ≠ \frac{1}{2}$。
【答案】
$0≤ k≤1$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，解题的关键是全面梳理题目中的隐含限制条件，不少同学容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的要求，导致取值范围求解错误，做题时要注意逐一排查所有限制条件。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需同时满足三个限制条件：第一，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第二，方程中含有二次根式$\sqrt{k}$，因此被开方数$k$必须是非负数；第三，一元二次方程有实数根，说明根的判别式$\Delta≥0$。我们先分别计算每个条件对应的$k$的取值范围，再取三个范围的公共部分，即可得到最终$k$的取值范围。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k}x -1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴ 二次项系数$1-2k ≠ 0$，二次根式的被开方数$k≥0$，且根的判别式$\Delta ≥ 0$。
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{k})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4k + 4 - 8k$
$=-4k + 4$
由$\Delta ≥ 0$，得$-4k + 4 ≥ 0$，解得$k ≤ 1$。
由$1-2k ≠ 0$得$k ≠ \frac{1}{2}$，结合$k≥0$，
∴ $k$的取值范围是$0≤ k ≤ 1$且$k ≠ \frac{1}{2}$。
【答案】
$0≤ k≤1$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，解题的关键是全面梳理题目中的隐含限制条件，不少同学容易遗漏二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的要求，导致取值范围求解错误，做题时要注意逐一排查所有限制条件。
【难度系数】
0.6
1. 一元二次方程$2x^2 -3x +4=0$的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式Δ判定。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题时先从给定方程中找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果，最后根据Δ的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】对于一元二次方程$2x^2 -3x +4=0$，对应一般形式可得：
$a=2$，$b=-3$，$c=4$
代入根的判别式公式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×4=9-32=-23$
因为$\Delta=-23＜0$，所以该方程没有实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题属于基础题，核心考查根的判别式的应用，只要准确提取方程各项系数，牢记判别式与根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】对于一元二次方程$2x^2 -3x +4=0$，对应一般形式可得：
$a=2$，$b=-3$，$c=4$
代入根的判别式公式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×4=9-32=-23$
因为$\Delta=-23＜0$，所以该方程没有实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题属于基础题，核心考查根的判别式的应用，只要准确提取方程各项系数，牢记判别式与根的对应关系即可快速解题。
【难度系数】0.9
2. m为何值时，关于x的一元二次方程$2x^2 - (4m + 1)x + 2m^2 - 1 = 0$，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
答案
解：
对于一元二次方程$2x^2 - (4m + 1)x + 2m^2 - 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-(4m+1)$，$c=2m^2-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=[-(4m+1)]^2 - 4×2×(2m^2-1)$
$=16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 + 8$
$=8m + 9$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，
即$8m + 9 ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{9}{8}$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，
即$8m + 9 = 0$，
解得$m = -\frac{9}{8}$；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，
即$8m + 9 ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{9}{8}$。
对于一元二次方程$2x^2 - (4m + 1)x + 2m^2 - 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-(4m+1)$，$c=2m^2-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=[-(4m+1)]^2 - 4×2×(2m^2-1)$
$=16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 + 8$
$=8m + 9$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，
即$8m + 9 ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{9}{8}$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，
即$8m + 9 = 0$，
解得$m = -\frac{9}{8}$；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，
即$8m + 9 ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{9}{8}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不要出错；第二步代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，化简得到关于$m$的代数式；第三步根据三类根的情况对应的$\Delta$的取值范围（两个不相等实根对应$\Delta＞0$，两个相等实根对应$\Delta=0$，没有实根对应$\Delta＜0$），分别列不等式或方程，求解得到$m$的取值或取值范围即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - (4m + 1)x + 2m^2 - 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-(4m+1)$，$c=2m^2-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=[-(4m+1)]^2 - 4×2×(2m^2-1)$
$=16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 + 8$
$=8m + 9$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，
即$8m + 9 ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{9}{8}$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，
即$8m + 9 = 0$，
解得$m = -\frac{9}{8}$；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，
即$8m + 9 ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{9}{8}$。
【答案】
(1)$m ＞ -\dfrac{9}{8}$；(2)$m = -\dfrac{9}{8}$；(3)$m ＜ -\dfrac{9}{8}$
【知识点】
根的判别式应用，整式化简运算，一元一次不等式解法
【点评】
本题是根的判别式的基础典型题型，核心考察判别式与方程根的三种对应关系，解题时需注意确定系数时符号不要出错，化简判别式时计算准确，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不要出错；第二步代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，化简得到关于$m$的代数式；第三步根据三类根的情况对应的$\Delta$的取值范围（两个不相等实根对应$\Delta＞0$，两个相等实根对应$\Delta=0$，没有实根对应$\Delta＜0$），分别列不等式或方程，求解得到$m$的取值或取值范围即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - (4m + 1)x + 2m^2 - 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-(4m+1)$，$c=2m^2-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac$
$=[-(4m+1)]^2 - 4×2×(2m^2-1)$
$=16m^2 + 8m + 1 - 16m^2 + 8$
$=8m + 9$
(1) 当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta＞0$，
即$8m + 9 ＞ 0$，
解得$m ＞ -\frac{9}{8}$；
(2) 当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$，
即$8m + 9 = 0$，
解得$m = -\frac{9}{8}$；
(3) 当方程没有实数根时，$\Delta＜0$，
即$8m + 9 ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{9}{8}$。
【答案】
(1)$m ＞ -\dfrac{9}{8}$；(2)$m = -\dfrac{9}{8}$；(3)$m ＜ -\dfrac{9}{8}$
【知识点】
根的判别式应用，整式化简运算，一元一次不等式解法
【点评】
本题是根的判别式的基础典型题型，核心考察判别式与方程根的三种对应关系，解题时需注意确定系数时符号不要出错，化简判别式时计算准确，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
