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9. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 4x - 2 = 0$；(2)$x^2 - 2x - 6 = x - 11$。
(1)$x^2 - 4x - 2 = 0$；(2)$x^2 - 2x - 6 = x - 11$。
答案
解：(1)移项，得
$x^2 - 4x = 2$
配方，两边同时加上$(-\frac{4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x-2)^2 = 6$
直接开平方，得
$x-2 = \pm\sqrt{6}$
$\therefore x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$
(2)整理原方程，移项合并同类项，得
$x^2 - 3x + 5 = 0$
移项，得
$x^2 - 3x = -5$
配方，两边同时加上$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -5 + \frac{9}{4}$
即$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{11}{4}$
$\because$ 实数的平方不可能为负数，
$\therefore$ 原方程无实数根。
$x^2 - 4x = 2$
配方，两边同时加上$(-\frac{4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x-2)^2 = 6$
直接开平方，得
$x-2 = \pm\sqrt{6}$
$\therefore x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$
(2)整理原方程，移项合并同类项，得
$x^2 - 3x + 5 = 0$
移项，得
$x^2 - 3x = -5$
配方，两边同时加上$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -5 + \frac{9}{4}$
即$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{11}{4}$
$\because$ 实数的平方不可能为负数，
$\therefore$ 原方程无实数根。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再利用平方根的性质求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式；④若右侧$n≥0$，直接开平方求解，若$n＜0$，方程无实数根。
第(1)问二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开平方的步骤计算即可；第(2)问需要先移项合并同类项，将方程整理为一元二次方程的标准形式，再按配方法步骤求解，最后根据完全平方式右侧的符号判断根的情况。
【解析】
(1)移项，得
$x^2 - 4x = 2$
配方，两边同时加上$(-\frac{4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x-2)^2 = 6$
直接开平方，得
$x-2 = \pm\sqrt{6}$
$\therefore x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$
(2)整理原方程，移项合并同类项，得
$x^2 - 3x + 5 = 0$
移项，得
$x^2 - 3x = -5$
配方，两边同时加上$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -5 + \frac{9}{4}$
即$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{11}{4}$
$\because$ 实数的平方不可能为负数，
$\therefore$ 原方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$；(2)原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，配方时注意方程两边要同时加同一个数，避免只加左边出现计算错误，同时要明确实数范围内平方数的非负性，能正确判断方程是否有实数根，是配方法应用的基础练习题。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再利用平方根的性质求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式；④若右侧$n≥0$，直接开平方求解，若$n＜0$，方程无实数根。
第(1)问二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开平方的步骤计算即可；第(2)问需要先移项合并同类项，将方程整理为一元二次方程的标准形式，再按配方法步骤求解，最后根据完全平方式右侧的符号判断根的情况。
【解析】
(1)移项，得
$x^2 - 4x = 2$
配方，两边同时加上$(-\frac{4}{2})^2=4$，得
$x^2 - 4x + 4 = 2 + 4$
即$(x-2)^2 = 6$
直接开平方，得
$x-2 = \pm\sqrt{6}$
$\therefore x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$
(2)整理原方程，移项合并同类项，得
$x^2 - 3x + 5 = 0$
移项，得
$x^2 - 3x = -5$
配方，两边同时加上$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = -5 + \frac{9}{4}$
即$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{11}{4}$
$\because$ 实数的平方不可能为负数，
$\therefore$ 原方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1 = 2+\sqrt{6},\ x_2=2-\sqrt{6}$；(2)原方程无实数根
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，配方时注意方程两边要同时加同一个数，避免只加左边出现计算错误，同时要明确实数范围内平方数的非负性，能正确判断方程是否有实数根，是配方法应用的基础练习题。
【难度系数】
0.75
10.用配方法解决下列问题：
(1)求$2x^2 -7x +2$的最小值；
(2)求$-3x^2 +5x +1$的最大值。
(1)求$2x^2 -7x +2$的最小值；
(2)求$-3x^2 +5x +1$的最大值。
答案
解：
(1) 对$2x^2 -7x +2$配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 2\\&=2[x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{7}{4}$时，$2x^2 -7x +2$取得最小值，最小值为$-\frac{33}{8}$。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +5x +1&=-3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1\\&=-3[x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2] + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12} + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{37}{12}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{5}{6})^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x - \frac{5}{6})^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3x^2 +5x +1$取得最大值，最大值为$\frac{37}{12}$。
(1) 对$2x^2 -7x +2$配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 2\\&=2[x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{7}{4}$时，$2x^2 -7x +2$取得最小值，最小值为$-\frac{33}{8}$。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +5x +1&=-3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1\\&=-3[x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2] + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12} + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{37}{12}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{5}{6})^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x - \frac{5}{6})^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3x^2 +5x +1$取得最大值，最大值为$\frac{37}{12}$。
解析
【分析】
用配方法求二次代数式的最值，核心是将代数式转化为“a(完全平方式)+常数”的形式，解题思路如下：①若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证代数式的值不变；③将括号内的部分整理为完全平方式，再化简整个式子；最后利用完全平方的非负性判断最值：若a＞0，当完全平方式为0时，代数式取最小值；若a＜0，当完全平方式为0时，代数式取最大值。
【解析】
(1) 对$2x^2 -7x +2$配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 2\\&=2[x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{7}{4}$时，$2x^2 -7x +2$取得最小值，最小值为$-\frac{33}{8}$。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +5x +1&=-3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1\\&=-3[x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2] + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12} + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{37}{12}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{5}{6})^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x - \frac{5}{6})^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3x^2 +5x +1$取得最大值，最大值为$\frac{37}{12}$。
【答案】
(1) 最小值为$\boldsymbol{-\frac{33}{8}}$；
(2) 最大值为$\boldsymbol{\frac{37}{12}}$。
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题，核心是掌握配方的规范步骤，注意提取二次项系数后，加减一次项系数一半的平方时不要漏乘系数，结合完全平方的非负性即可快速求出最值，熟练掌握该方法可为后续二次函数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
用配方法求二次代数式的最值，核心是将代数式转化为“a(完全平方式)+常数”的形式，解题思路如下：①若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证代数式的值不变；③将括号内的部分整理为完全平方式，再化简整个式子；最后利用完全平方的非负性判断最值：若a＞0，当完全平方式为0时，代数式取最小值；若a＜0，当完全平方式为0时，代数式取最大值。
【解析】
(1) 对$2x^2 -7x +2$配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) + 2\\&=2[x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + 2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore 2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{7}{4}$时，$2x^2 -7x +2$取得最小值，最小值为$-\frac{33}{8}$。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +5x +1&=-3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1\\&=-3[x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2] + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12} + 1\\&=-3(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{37}{12}\end{aligned}$
$\because (x - \frac{5}{6})^2 ≥ 0$，
$\therefore -3(x - \frac{5}{6})^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3x^2 +5x +1$取得最大值，最大值为$\frac{37}{12}$。
【答案】
(1) 最小值为$\boldsymbol{-\frac{33}{8}}$；
(2) 最大值为$\boldsymbol{\frac{37}{12}}$。
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题，核心是掌握配方的规范步骤，注意提取二次项系数后，加减一次项系数一半的平方时不要漏乘系数，结合完全平方的非负性即可快速求出最值，熟练掌握该方法可为后续二次函数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
11.已知$ a,b,c $是$△ ABC$的三边长，且满足$ a^2 + b^2 -10a -8b +41=0 $，求$ c $的取值范围。
答案
解：
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 &= 0\\(a-5)^2 + (b-4)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，
∴ $a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 $a - b ＜ c ＜ a + b$，
代入数值计算得 $5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，
即 $1 ＜ c ＜ 9$。
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 &= 0\\(a-5)^2 + (b-4)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，
∴ $a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 $a - b ＜ c ＜ a + b$，
代入数值计算得 $5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，
即 $1 ＜ c ＜ 9$。
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，是关于a、b的二次多项式相加等于0，这类问题优先用配方法处理，将式子转化为两个完全平方的和为0的形式；再根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b的长度；最后根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，代入a、b的值就能求出c的取值范围。
【解析】
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 &= 0\\(a-5)^2 + (b-4)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，
∴ $a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 $a - b ＜ c ＜ a + b$，
代入数值计算得 $5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，
即 $1 ＜ c ＜ 9$。
【答案】
$1＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过配方法结合非负数的性质求出三角形两条边的长度，再利用三角形三边关系求解第三边的取值范围，侧重考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的结构，是关于a、b的二次多项式相加等于0，这类问题优先用配方法处理，将式子转化为两个完全平方的和为0的形式；再根据平方数的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b的长度；最后根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，代入a、b的值就能求出c的取值范围。
【解析】
对已知等式配方变形：
$\begin{aligned}a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 &= 0\\(a-5)^2 + (b-4)^2 &= 0\end{aligned}$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-5)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，
∴ $a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得 $a - b ＜ c ＜ a + b$，
代入数值计算得 $5 - 4 ＜ c ＜ 5 + 4$，
即 $1 ＜ c ＜ 9$。
【答案】
$1＜c＜9$
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先通过配方法结合非负数的性质求出三角形两条边的长度，再利用三角形三边关系求解第三边的取值范围，侧重考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.已知$m$为非负数,请尝试用配方法解关于$x$的方程$x^2 + 2\sqrt{m}x + 3 = 0$.
答案
解：
移项，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x = -3$
配方，两边同时加上$(\sqrt{m})^2$，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x + (\sqrt{m})^2 = m - 3$
即
$(x + \sqrt{m})^2 = m - 3$
∵ $m$为非负数，分三种情况讨论：
1. 当$m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ 3$时，
直接开平方，得$x + \sqrt{m} = \pm\sqrt{m - 3}$
$\therefore x_1 = -\sqrt{m} + \sqrt{m - 3}$，$x_2 = -\sqrt{m} - \sqrt{m - 3}$
2. 当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，
方程化为$(x + \sqrt{3})^2 = 0$
$\therefore x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
3. 当$m - 3 ＜ 0$，即$0 ≤ m ＜ 3$时，
$\because (x+\sqrt{m})^2 ≥ 0$，而$m-3＜0$，等式不成立，
$\therefore$ 此时方程无实数根。
移项，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x = -3$
配方，两边同时加上$(\sqrt{m})^2$，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x + (\sqrt{m})^2 = m - 3$
即
$(x + \sqrt{m})^2 = m - 3$
∵ $m$为非负数，分三种情况讨论：
1. 当$m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ 3$时，
直接开平方，得$x + \sqrt{m} = \pm\sqrt{m - 3}$
$\therefore x_1 = -\sqrt{m} + \sqrt{m - 3}$，$x_2 = -\sqrt{m} - \sqrt{m - 3}$
2. 当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，
方程化为$(x + \sqrt{3})^2 = 0$
$\therefore x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
3. 当$m - 3 ＜ 0$，即$0 ≤ m ＜ 3$时，
$\because (x+\sqrt{m})^2 ≥ 0$，而$m-3＜0$，等式不成立，
$\therefore$ 此时方程无实数根。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数项。首先按配方法常规步骤操作：先移项，把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式。此时等号右边是含参数m的代数式，由于完全平方式具有非负性，且题目明确m为非负数，因此需要根据右边代数式的正负情况分类讨论，进而确定方程的根的情况。
【解析】
移项，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x = -3$
配方，两边同时加上$(\sqrt{m})^2$，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x + (\sqrt{m})^2 = m - 3$
即
$(x + \sqrt{m})^2 = m - 3$
∵ $m$为非负数，分三种情况讨论：
1. 当$m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ 3$时，
直接开平方，得$x + \sqrt{m} = \pm\sqrt{m - 3}$
$\therefore x_1 = -\sqrt{m} + \sqrt{m - 3}$，$x_2 = -\sqrt{m} - \sqrt{m - 3}$
2. 当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，
方程化为$(x + \sqrt{3})^2 = 0$
$\therefore x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
3. 当$m - 3 ＜ 0$，即$0 ≤ m ＜ 3$时，
$\because (x+\sqrt{m})^2 ≥ 0$，而$m-3＜0$，等式不成立，
$\therefore$ 此时方程无实数根。
【答案】
当$m＞3$时，$x_1=-\sqrt{m}+\sqrt{m-3}$，$x_2=-\sqrt{m}-\sqrt{m-3}$；
当$m=3$时，$x_1=x_2=-\sqrt{3}$；
当$0≤m＜3$时，方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程、平方的非负性、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查配方法的应用，解题时要严格遵循配方法的步骤，同时注意完全平方式的非负性，结合参数的取值范围分类讨论，避免漏看参数限制条件或漏情况讨论导致出错。
【难度系数】
0.6
用配方法解一元二次方程的核心是将方程左边转化为完全平方式，右边为常数项。首先按配方法常规步骤操作：先移项，把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式。此时等号右边是含参数m的代数式，由于完全平方式具有非负性，且题目明确m为非负数，因此需要根据右边代数式的正负情况分类讨论，进而确定方程的根的情况。
【解析】
移项，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x = -3$
配方，两边同时加上$(\sqrt{m})^2$，得
$x^2 + 2\sqrt{m}x + (\sqrt{m})^2 = m - 3$
即
$(x + \sqrt{m})^2 = m - 3$
∵ $m$为非负数，分三种情况讨论：
1. 当$m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ 3$时，
直接开平方，得$x + \sqrt{m} = \pm\sqrt{m - 3}$
$\therefore x_1 = -\sqrt{m} + \sqrt{m - 3}$，$x_2 = -\sqrt{m} - \sqrt{m - 3}$
2. 当$m - 3 = 0$，即$m = 3$时，
方程化为$(x + \sqrt{3})^2 = 0$
$\therefore x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
3. 当$m - 3 ＜ 0$，即$0 ≤ m ＜ 3$时，
$\because (x+\sqrt{m})^2 ≥ 0$，而$m-3＜0$，等式不成立，
$\therefore$ 此时方程无实数根。
【答案】
当$m＞3$时，$x_1=-\sqrt{m}+\sqrt{m-3}$，$x_2=-\sqrt{m}-\sqrt{m-3}$；
当$m=3$时，$x_1=x_2=-\sqrt{3}$；
当$0≤m＜3$时，方程无实数根。
【知识点】
配方法解一元二次方程、平方的非负性、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查配方法的应用，解题时要严格遵循配方法的步骤，同时注意完全平方式的非负性，结合参数的取值范围分类讨论，避免漏看参数限制条件或漏情况讨论导致出错。
【难度系数】
0.6
13.阅读材料:若$m^2 - 2mn + 2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
∴ $(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$.
∴ $(m-n)^2 + (n-4)^2=0$.
∴ $(m-n)^2=0,(n-4)^2=0$.
∴ $n=4,m=4$.
根据上述材料,解答下面的问题:
(1)已知$x^2 -2xy +2y^2 -2y +1=0$,求$x+2y$的值;
(2)已知$a-b=6,ab +c^2 -4c +13=0$,求$a+b+c$的值.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
∴ $(m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$.
∴ $(m-n)^2 + (n-4)^2=0$.
∴ $(m-n)^2=0,(n-4)^2=0$.
∴ $n=4,m=4$.
根据上述材料,解答下面的问题:
(1)已知$x^2 -2xy +2y^2 -2y +1=0$,求$x+2y$的值;
(2)已知$a-b=6,ab +c^2 -4c +13=0$,求$a+b+c$的值.
答案
解：
(1) ∵ $x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$，
∴ $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$，
∴ $(x - y)^2 + (y - 1)^2 = 0$，
∴ $(x - y)^2 = 0$，$(y - 1)^2 = 0$，
∴ $y = 1$，$x = 1$，
∴ $x + 2y = 1 + 2×1 = 3$。
(2) ∵ $a - b = 6$，
∴ $a = b + 6$，
将$a = b + 6$代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，得：
$b(b + 6) + c^2 - 4c + 13 = 0$，
∴ $b^2 + 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 = 0$，$(c - 2)^2 = 0$，
∴ $b = -3$，$c = 2$，
∴ $a = b + 6 = -3 + 6 = 3$，
∴ $a + b + c = 3 + (-3) + 2 = 2$。
(1) ∵ $x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$，
∴ $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$，
∴ $(x - y)^2 + (y - 1)^2 = 0$，
∴ $(x - y)^2 = 0$，$(y - 1)^2 = 0$，
∴ $y = 1$，$x = 1$，
∴ $x + 2y = 1 + 2×1 = 3$。
(2) ∵ $a - b = 6$，
∴ $a = b + 6$，
将$a = b + 6$代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，得：
$b(b + 6) + c^2 - 4c + 13 = 0$，
∴ $b^2 + 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 = 0$，$(c - 2)^2 = 0$，
∴ $b = -3$，$c = 2$，
∴ $a = b + 6 = -3 + 6 = 3$，
∴ $a + b + c = 3 + (-3) + 2 = 2$。
解析
【分析】
本题可参考材料给出的配方法思路，利用完全平方公式将多项式拆分为多个完全平方式的和，再结合平方的非负性（几个非负数的和为0，则每个非负数都为0）求解未知数，进而计算代数式的值。
对于(1)：先将式子中的$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分别与$x^2-2xy$、$-2y+1$组合配成完全平方，求出$x、y$后代入$x+2y$计算；
对于(2)：先根据$a-b=6$用含$b$的式子表示$a$，代入第二个等式后，对关于$b、c$的多项式分别配方，求出$b、c$的值后再计算$a$，最后代入$a+b+c$计算。
【解析】
(1)
∵ $x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$，
∴ $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$，
∴ $(x - y)^2 + (y - 1)^2 = 0$，
由平方的非负性可得$(x - y)^2 = 0$，$(y - 1)^2 = 0$，
∴ $y = 1$，$x = y = 1$，
∴ $x + 2y = 1 + 2×1 = 3$。
(2)
∵ $a - b = 6$，
∴ $a = b + 6$，
将$a = b + 6$代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，得：
$b(b + 6) + c^2 - 4c + 13 = 0$，
整理得$b^2 + 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$，
由平方的非负性可得$(b + 3)^2 = 0$，$(c - 2)^2 = 0$，
∴ $b = -3$，$c = 2$，
∴ $a = b + 6 = -3 + 6 = 3$，
∴ $a + b + c = 3 + (-3) + 2 = 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法，平方的非负性，代数式求值
【点评】
本题是材料阅读类题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，能灵活拆分多项式凑成完全平方式，再结合偶次方的非负性求解未知数，能有效考查知识迁移应用能力和配方技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题可参考材料给出的配方法思路，利用完全平方公式将多项式拆分为多个完全平方式的和，再结合平方的非负性（几个非负数的和为0，则每个非负数都为0）求解未知数，进而计算代数式的值。
对于(1)：先将式子中的$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分别与$x^2-2xy$、$-2y+1$组合配成完全平方，求出$x、y$后代入$x+2y$计算；
对于(2)：先根据$a-b=6$用含$b$的式子表示$a$，代入第二个等式后，对关于$b、c$的多项式分别配方，求出$b、c$的值后再计算$a$，最后代入$a+b+c$计算。
【解析】
(1)
∵ $x^2 - 2xy + 2y^2 - 2y + 1 = 0$，
∴ $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) = 0$，
∴ $(x - y)^2 + (y - 1)^2 = 0$，
由平方的非负性可得$(x - y)^2 = 0$，$(y - 1)^2 = 0$，
∴ $y = 1$，$x = y = 1$，
∴ $x + 2y = 1 + 2×1 = 3$。
(2)
∵ $a - b = 6$，
∴ $a = b + 6$，
将$a = b + 6$代入$ab + c^2 - 4c + 13 = 0$，得：
$b(b + 6) + c^2 - 4c + 13 = 0$，
整理得$b^2 + 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$，
∴ $(b + 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$，
由平方的非负性可得$(b + 3)^2 = 0$，$(c - 2)^2 = 0$，
∴ $b = -3$，$c = 2$，
∴ $a = b + 6 = -3 + 6 = 3$，
∴ $a + b + c = 3 + (-3) + 2 = 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
配方法，平方的非负性，代数式求值
【点评】
本题是材料阅读类题型，解题核心是掌握完全平方公式的结构特征，能灵活拆分多项式凑成完全平方式，再结合偶次方的非负性求解未知数，能有效考查知识迁移应用能力和配方技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
