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1. 用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 -6x=8$；
(2)$2x^2 +4x -6=0$。
(1)$3x^2 -6x=8$；
(2)$2x^2 +4x -6=0$。
答案
解：
(1) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{11}{3}$
直接开平方，得
$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
所以$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 移项，得
$2x^2 + 4x = 6$
方程两边同时除以2，得
$x^2 + 2x = 3$
配方，两边同时加1，得
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$
即$(x+1)^2 = 4$
直接开平方，得
$x + 1 = \pm 2$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
(1) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{11}{3}$
直接开平方，得
$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
所以$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 移项，得
$2x^2 + 4x = 6$
方程两边同时除以2，得
$x^2 + 2x = 3$
配方，两边同时加1，得
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$
即$(x+1)^2 = 4$
直接开平方，得
$x + 1 = \pm 2$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是把方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方法求根。解题遵循通用步骤：①先将二次项系数化为1；②把常数项移到方程右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；④开平方后求解即可。本题两个小题均按照该步骤逐步运算即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{11}{3}$
直接开平方，得
$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
所以$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 移项，得
$2x^2 + 4x = 6$
方程两边同时除以2，得
$x^2 + 2x = 3$
配方，两边同时加1，得
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$
即$(x+1)^2 = 4$
直接开平方，得
$x + 1 = \pm 2$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$；(2) $x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意配方时要给方程左右两边同时加相同的常数，避免出现只给左侧加、漏加右侧常数的错误，熟练掌握步骤后可快速求解。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是把方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过直接开平方法求根。解题遵循通用步骤：①先将二次项系数化为1；②把常数项移到方程右侧；③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；④开平方后求解即可。本题两个小题均按照该步骤逐步运算即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以3，得
$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$
配方，两边同时加1，得
$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{11}{3}$
直接开平方，得
$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
所以$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 移项，得
$2x^2 + 4x = 6$
方程两边同时除以2，得
$x^2 + 2x = 3$
配方，两边同时加1，得
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$
即$(x+1)^2 = 4$
直接开平方，得
$x + 1 = \pm 2$
所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$；(2) $x_1 = 1$，$x_2 = -3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意配方时要给方程左右两边同时加相同的常数，避免出现只给左侧加、漏加右侧常数的错误，熟练掌握步骤后可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足$b+c=8,bc=a^2-12a+52$.试问△ABC是什么三角形？完成下列填空：
解：∵ $b+c=8,∴ c=8-b$.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
配方得$(b-\_\_\_\_\_\_)^2+(a-\_\_\_\_\_\_)^2=0$.
∴ $a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$,故$c=\_\_\_\_\_\_$.
∴ △ABC为________三角形.
解：∵ $b+c=8,∴ c=8-b$.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
配方得$(b-\_\_\_\_\_\_)^2+(a-\_\_\_\_\_\_)^2=0$.
∴ $a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$,故$c=\_\_\_\_\_\_$.
∴ △ABC为________三角形.
答案
解：∵ $b+c=8,∴ c=8-b$.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
整理得：$b^2-8b+a^2-12a+52=0$
配方得$(b-\boldsymbol{4})^2+(a-\boldsymbol{6})^2=0$.
∴ $a=\boldsymbol{6},b=\boldsymbol{4}$,故$c=\boldsymbol{4}$.
∴ △ABC为等腰三角形.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
整理得：$b^2-8b+a^2-12a+52=0$
配方得$(b-\boldsymbol{4})^2+(a-\boldsymbol{6})^2=0$.
∴ $a=\boldsymbol{6},b=\boldsymbol{4}$,故$c=\boldsymbol{4}$.
∴ △ABC为等腰三角形.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的b与c的和，用代入消元法将c用含b的式子表示，代入bc与a的关系式中，得到关于a、b的方程；接下来通过配方法将方程整理为两个完全平方式相加等于0的形式；再利用平方的非负性（两个非负数的和为0时，每个非负数均为0）求出a、b的值，进而算出c的值；最后根据三边长的关系判断三角形的形状即可。
【解析】
∵ $b+c=8,∴ c=8-b$.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
整理得：$b^2-8b+a^2-12a+52=0$
对b配方：$b^2-8b=(b-4)^2-16$，对a配方：$a^2-12a=(a-6)^2-36$，代入上式得：
$(b-4)^2-16+(a-6)^2-36+52=0$
化简得$(b-4)^2+(a-6)^2=0$.
∵ 平方数具有非负性，即$(b-4)^2≥0$，$(a-6)^2≥0$，两个非负数和为0则各自为0，
∴ $b-4=0$，$a-6=0$，解得$a=6,b=4$，故$c=8-b=8-4=4$.
∵ $b=c=4$，
∴ △ABC为等腰三角形。
【答案】
依次填入：4；6；6；4；4；等腰
【知识点】
配方法；平方的非负性；等腰三角形判定
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题型，核心考查配方法的应用和非负数性质的掌握，解题关键是通过代入消元后配方，将原式转化为可利用非负性求解的形式，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的b与c的和，用代入消元法将c用含b的式子表示，代入bc与a的关系式中，得到关于a、b的方程；接下来通过配方法将方程整理为两个完全平方式相加等于0的形式；再利用平方的非负性（两个非负数的和为0时，每个非负数均为0）求出a、b的值，进而算出c的值；最后根据三边长的关系判断三角形的形状即可。
【解析】
∵ $b+c=8,∴ c=8-b$.
将$c=8-b$代入$bc=a^2-12a+52$,得
$b(8-b)=a^2-12a+52$.
整理得：$b^2-8b+a^2-12a+52=0$
对b配方：$b^2-8b=(b-4)^2-16$，对a配方：$a^2-12a=(a-6)^2-36$，代入上式得：
$(b-4)^2-16+(a-6)^2-36+52=0$
化简得$(b-4)^2+(a-6)^2=0$.
∵ 平方数具有非负性，即$(b-4)^2≥0$，$(a-6)^2≥0$，两个非负数和为0则各自为0，
∴ $b-4=0$，$a-6=0$，解得$a=6,b=4$，故$c=8-b=8-4=4$.
∵ $b=c=4$，
∴ △ABC为等腰三角形。
【答案】
依次填入：4；6；6；4；4；等腰
【知识点】
配方法；平方的非负性；等腰三角形判定
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础题型，核心考查配方法的应用和非负数性质的掌握，解题关键是通过代入消元后配方，将原式转化为可利用非负性求解的形式，熟练掌握配方技巧是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
1. 填空：
(1)$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - 2\sqrt{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
解：
(1) 对于二次项系数为1的二次式，配方时所加常数为一次项系数一半的平方：
一次项系数4的一半为2，$2^2=4$，
因此$x^2 + 4x + \underline{4} = (x + \underline{2})^2$；
(2) 同理，一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半为$-\sqrt{3}$，$(-\sqrt{3})^2=3$，
因此$x^2 - 2\sqrt{3}x + \underline{3} = (x - \underline{\sqrt{3}})^2$。
(1) 对于二次项系数为1的二次式，配方时所加常数为一次项系数一半的平方：
一次项系数4的一半为2，$2^2=4$，
因此$x^2 + 4x + \underline{4} = (x + \underline{2})^2$；
(2) 同理，一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半为$-\sqrt{3}$，$(-\sqrt{3})^2=3$，
因此$x^2 - 2\sqrt{3}x + \underline{3} = (x - \underline{\sqrt{3}})^2$。
解析
【分析】
本题考查配方法补全完全平方式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$，对比题干中的式子，二次项系数均为1，因此我们只需先找到一次项系数的一半，即为括号内需要填写的常数$m$，再对$m$求平方，就能得到需要补充的常数项，依次计算两小问即可。
【解析】
对于二次项系数为1的二次式，配方时补充的常数项为一次项系数一半的平方，括号内的常数为一次项系数的一半。
(1) 式子$x^2+4x+$___中，一次项系数为4，它的一半为$4÷2=2$，$2^2=4$，因此可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$；
(2) 式子$x^2-2\sqrt{3}x+$___中，一次项系数为$-2\sqrt{3}$，它的一半为$(-2\sqrt{3})÷2=-\sqrt{3}$，$(-\sqrt{3})^2=3$，因此可得$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = (x - \sqrt{3})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础核心题型，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟练掌握二次项、一次项、常数项之间的数量关系是解题关键，也是后续用配方法解一元二次方程、求最值等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查配方法补全完全平方式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$(x+m)^2=x^2+2mx+m^2$，对比题干中的式子，二次项系数均为1，因此我们只需先找到一次项系数的一半，即为括号内需要填写的常数$m$，再对$m$求平方，就能得到需要补充的常数项，依次计算两小问即可。
【解析】
对于二次项系数为1的二次式，配方时补充的常数项为一次项系数一半的平方，括号内的常数为一次项系数的一半。
(1) 式子$x^2+4x+$___中，一次项系数为4，它的一半为$4÷2=2$，$2^2=4$，因此可得$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$；
(2) 式子$x^2-2\sqrt{3}x+$___中，一次项系数为$-2\sqrt{3}$，它的一半为$(-2\sqrt{3})÷2=-\sqrt{3}$，$(-\sqrt{3})^2=3$，因此可得$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = (x - \sqrt{3})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础核心题型，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟练掌握二次项、一次项、常数项之间的数量关系是解题关键，也是后续用配方法解一元二次方程、求最值等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
2.若关于x的二次三项式$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，则$m=$。
答案
解：
∵ 关于x的二次三项式$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
∴ $x^2-(m-1)x+16 = x^2 \pm 2· x · 4 + 4^2$，
可得$-(m-1) = \pm 8$。
当$-(m-1)=8$时，
$-m+1=8$，
解得$m=-7$；
当$-(m-1)=-8$时，
$-m+1=-8$，
解得$m=9$。
综上，$m=9$或$-7$。
∵ 关于x的二次三项式$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
∴ $x^2-(m-1)x+16 = x^2 \pm 2· x · 4 + 4^2$，
可得$-(m-1) = \pm 8$。
当$-(m-1)=8$时，
$-m+1=8$，
解得$m=-7$；
当$-(m-1)=-8$时，
$-m+1=-8$，
解得$m=9$。
综上，$m=9$或$-7$。
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，分为和的平方、差的平方两种情况。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，对应$a^2$即$a=x$；常数项是$16=4^2$，对应$b^2$即$b=4$，因此中间项应为$\pm2ab=\pm8x$。再将其与原式的一次项系数对应相等，建立关于$m$的方程，解方程即可得到$m$的值，注意不要漏掉完全平方式的两种情况。
【解析】
∵ 关于x的二次三项式$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
∴ $x^2-(m-1)x+16 = x^2 \pm 2· x · 4 + 4^2$，
可得$-(m-1) = \pm 8$。
当$-(m-1)=8$时，
$-m+1=8$，
解得$m=-7$；
当$-(m-1)=-8$时，
$-m+1=-8$，
解得$m=9$。
综上，$m=9$或$-7$。
【答案】
9或$-7$
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是容易忽略完全平方式存在“和的平方”“差的平方”两种形式，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.65
要解这道题，首先回忆完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，分为和的平方、差的平方两种情况。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，对应$a^2$即$a=x$；常数项是$16=4^2$，对应$b^2$即$b=4$，因此中间项应为$\pm2ab=\pm8x$。再将其与原式的一次项系数对应相等，建立关于$m$的方程，解方程即可得到$m$的值，注意不要漏掉完全平方式的两种情况。
【解析】
∵ 关于x的二次三项式$x^2-(m-1)x+16$是完全平方式，
∴ $x^2-(m-1)x+16 = x^2 \pm 2· x · 4 + 4^2$，
可得$-(m-1) = \pm 8$。
当$-(m-1)=8$时，
$-m+1=8$，
解得$m=-7$；
当$-(m-1)=-8$时，
$-m+1=-8$，
解得$m=9$。
综上，$m=9$或$-7$。
【答案】
9或$-7$
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，易错点是容易忽略完全平方式存在“和的平方”“差的平方”两种形式，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时需注意分类讨论。
【难度系数】
0.65
3.若方程$x^2 -4x +n=0$可以通过配方法写成$(x-2)^2=2$，则n的值为。
答案
解：将$(x-2)^2=2$展开，得
$x^2 -4x +4 = 2$
移项整理，得
$x^2 -4x +2 = 0$
对比方程$x^2 -4x +n=0$，可得$n=2$。
$x^2 -4x +4 = 2$
移项整理，得
$x^2 -4x +2 = 0$
对比方程$x^2 -4x +n=0$，可得$n=2$。
解析
【分析】
要得到n的值，首先明确两个方程是同一方程的不同表达形式，因此可以先将配方后的方程$(x-2)^2=2$展开，整理为一元二次方程的一般形式，再和已知方程$x^2 -4x +n=0$对比对应项的系数，两个方程的二次项、一次项系数已经一致，因此常数项相等，即可求出n的值。
【解析】
将$(x-2)^2=2$展开，得
$x^2 -4x +4 = 2$
移项整理，得
$x^2 -4x +2 = 0$
对比方程$x^2 -4x +n=0$，可得$n=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，配方法，等式变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查完全平方展开式的运算以及等价方程对应系数相等的规律，属于基础类考题，熟练掌握配方的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要得到n的值，首先明确两个方程是同一方程的不同表达形式，因此可以先将配方后的方程$(x-2)^2=2$展开，整理为一元二次方程的一般形式，再和已知方程$x^2 -4x +n=0$对比对应项的系数，两个方程的二次项、一次项系数已经一致，因此常数项相等，即可求出n的值。
【解析】
将$(x-2)^2=2$展开，得
$x^2 -4x +4 = 2$
移项整理，得
$x^2 -4x +2 = 0$
对比方程$x^2 -4x +n=0$，可得$n=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，配方法，等式变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查完全平方展开式的运算以及等价方程对应系数相等的规律，属于基础类考题，熟练掌握配方的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4.用配方法解一元二次方程$4x^2 + bx + a = 0$得$2x - 3 = \pm\sqrt{6}$，则$b$的值为。
答案
$\boldsymbol{-12}$
解析
【分析】
这道题可以逆向运用配方法的结果求解：首先将配方法得到的等式通过平方去根号，还原为一元二次方程的一般形式，再和题干给出的方程对比一次项系数，即可求出b的值。解题时先处理带根号的等式，再整理为标准二次方程形式，最后对应系数相等得到参数即可。
【解析】
已知配方法得到等式：$2x - 3 = \pm\sqrt{6}$
1. 等式两边同时平方，得：
$(2x - 3)^2 = (\pm\sqrt{6})^2$
2. 展开并计算等式两边：
左边展开得$4x^2 - 12x + 9$，右边计算得$6$，即：
$4x^2 - 12x + 9 = 6$
3. 移项整理为一元二次方程一般形式：
$4x^2 - 12x + 3 = 0$
4. 与题干给出的$4x^2 + bx + a = 0$对比一次项系数，可得$b = -12$
【答案】
$\boldsymbol{-12}$
【知识点】
配方法的应用；等式的性质；对应系数相等
【点评】
本题属于配方法的逆向考查，不需要重新解方程，只需将配平后的等式还原为标准二次方程即可快速求解，解题关键是熟练掌握配方法的变形逻辑和等式变形规则。
【难度系数】
0.7
这道题可以逆向运用配方法的结果求解：首先将配方法得到的等式通过平方去根号，还原为一元二次方程的一般形式，再和题干给出的方程对比一次项系数，即可求出b的值。解题时先处理带根号的等式，再整理为标准二次方程形式，最后对应系数相等得到参数即可。
【解析】
已知配方法得到等式：$2x - 3 = \pm\sqrt{6}$
1. 等式两边同时平方，得：
$(2x - 3)^2 = (\pm\sqrt{6})^2$
2. 展开并计算等式两边：
左边展开得$4x^2 - 12x + 9$，右边计算得$6$，即：
$4x^2 - 12x + 9 = 6$
3. 移项整理为一元二次方程一般形式：
$4x^2 - 12x + 3 = 0$
4. 与题干给出的$4x^2 + bx + a = 0$对比一次项系数，可得$b = -12$
【答案】
$\boldsymbol{-12}$
【知识点】
配方法的应用；等式的性质；对应系数相等
【点评】
本题属于配方法的逆向考查，不需要重新解方程，只需将配平后的等式还原为标准二次方程即可快速求解，解题关键是熟练掌握配方法的变形逻辑和等式变形规则。
【难度系数】
0.7
5.用配方法将方程$x^2 -4x +3=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式是（）
A.$(x-2)^2=1$
B.$(x-2)^2=-1$
C.$(x+2)^2=1$
D.$(x+2)^2=7$
A.$(x-2)^2=1$
B.$(x-2)^2=-1$
C.$(x+2)^2=1$
D.$(x+2)^2=7$
答案
A
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程化成$(x+m)^2 =n$的形式，需使用配方法，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后整理即可得到目标形式。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +3=0$进行配方操作：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 -4x = -3$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得
$x^2 -4x +4 = -3 +4$
3. 整理：左侧写成完全平方式，右侧计算常数项，得
$(x-2)^2 = 1$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是对一元二次方程变形基础能力的考查。
【难度系数】
0.85
要将给定的一元二次方程化成$(x+m)^2 =n$的形式，需使用配方法，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后整理即可得到目标形式。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +3=0$进行配方操作：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得
$x^2 -4x = -3$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得
$x^2 -4x +4 = -3 +4$
3. 整理：左侧写成完全平方式，右侧计算常数项，得
$(x-2)^2 = 1$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速解题，是对一元二次方程变形基础能力的考查。
【难度系数】
0.85
6.若一元二次方程的二次项是$2x^2$，它经过配方整理得$(x+\dfrac{1}{2})^2=1$，那么它的一次项和常数项分别是()
A.$x,-\dfrac{3}{4}$
B.$2x,-\dfrac{1}{2}$
C.$2x,-\dfrac{3}{2}$
D.$x,-\dfrac{3}{2}$
A.$x,-\dfrac{3}{4}$
B.$2x,-\dfrac{1}{2}$
C.$2x,-\dfrac{3}{2}$
D.$x,-\dfrac{3}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以逆向操作，先把配方后的方程展开，再根据题目给出的二次项系数为2的要求，将方程转化为符合要求的一元二次方程一般形式，最后对应找出一次项和常数项即可。具体思考步骤：第一步先展开完全平方式，第二步整理成二次项系数为1的一般形式，第三步利用等式性质把二次项系数化为2，最后对应识别各项。
【解析】
首先将配方后的方程$(x+\dfrac{1}{2})^2=1$展开：
左边展开得：$x^2 + x + \dfrac{1}{4} = 1$
移项整理为二次项系数为1的一元二次方程一般形式：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} - 1 = 0$，即$x^2 + x - \dfrac{3}{4} = 0$
已知原方程二次项为$2x^2$，即二次项系数为2，因此给方程两边同时乘以2：
$2×(x^2 + x - \dfrac{3}{4}) = 0×2$
计算得：$2x^2 + 2x - \dfrac{3}{2} = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得一次项为$2x$，常数项为$-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 配方法逆运算
3. 等式的基本性质
【点评】
本题易错点是容易直接将展开后二次项系数为1的方程的项作为答案，忽略题干给出的二次项系数为2的要求，解题时要注意结合题干条件对转化后的方程进行调整。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以逆向操作，先把配方后的方程展开，再根据题目给出的二次项系数为2的要求，将方程转化为符合要求的一元二次方程一般形式，最后对应找出一次项和常数项即可。具体思考步骤：第一步先展开完全平方式，第二步整理成二次项系数为1的一般形式，第三步利用等式性质把二次项系数化为2，最后对应识别各项。
【解析】
首先将配方后的方程$(x+\dfrac{1}{2})^2=1$展开：
左边展开得：$x^2 + x + \dfrac{1}{4} = 1$
移项整理为二次项系数为1的一元二次方程一般形式：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} - 1 = 0$，即$x^2 + x - \dfrac{3}{4} = 0$
已知原方程二次项为$2x^2$，即二次项系数为2，因此给方程两边同时乘以2：
$2×(x^2 + x - \dfrac{3}{4}) = 0×2$
计算得：$2x^2 + 2x - \dfrac{3}{2} = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得一次项为$2x$，常数项为$-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 配方法逆运算
3. 等式的基本性质
【点评】
本题易错点是容易直接将展开后二次项系数为1的方程的项作为答案，忽略题干给出的二次项系数为2的要求，解题时要注意结合题干条件对转化后的方程进行调整。
【难度系数】
0.7
7.若方程$x^2 -8x +m=0$可以通过配方法写成$(x-n)^2=6$的形式，那么$x^2 +8x +m=5$可以配方成（）
A.$(x-n+5)^2=1$
B.$(x+n)^2=1$
C.$(x-n+5)^2=11$
D.$(x+n)^2=11$
A.$(x-n+5)^2=1$
B.$(x+n)^2=1$
C.$(x-n+5)^2=11$
D.$(x+n)^2=11$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从已知的配方条件入手，先通过对第一个方程配方，对比题目给出的配方形式求出参数m和n的值，再将m代入第二个待配方的方程，按照配方法的步骤对其变形，最后对照选项选出正确答案即可。具体思考步骤：①回忆配方法规则：对二次项系数为1的二次式配方时，需加上一次项系数一半的平方；②将已知方程配方后和$(x-n)^2=6$对比，求出m、n；③将m代入第二个方程，再次配方后匹配选项。
【解析】
第一步：对已知方程$x^2 -8x +m=0$配方
移项得：$x^2 -8x = -m$
两边同时加一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = 16 - m$
即$(x-4)^2=16 - m$
根据题意该式可写成$(x-n)^2=6$，对比系数可得：
$n=4$，$16 - m=6$，解得$m=10$
第二步：将$m=10$代入方程$x^2 +8x +m=5$，得：
$x^2 +8x +10=5$
移项整理得：$x^2 +8x = -5$
对左边配方，两边同时加$(\frac{8}{2})^2=16$，得：
$x^2 +8x +16 = -5 +16$
即$(x+4)^2=11$
结合$n=4$，可改写为$(x+n)^2=11$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，既考查了配方法的基本操作步骤，也考查了代数式恒等变形后系数对应关系的运用，掌握配方法的核心规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的配方条件入手，先通过对第一个方程配方，对比题目给出的配方形式求出参数m和n的值，再将m代入第二个待配方的方程，按照配方法的步骤对其变形，最后对照选项选出正确答案即可。具体思考步骤：①回忆配方法规则：对二次项系数为1的二次式配方时，需加上一次项系数一半的平方；②将已知方程配方后和$(x-n)^2=6$对比，求出m、n；③将m代入第二个方程，再次配方后匹配选项。
【解析】
第一步：对已知方程$x^2 -8x +m=0$配方
移项得：$x^2 -8x = -m$
两边同时加一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2=16$，得：
$x^2 -8x +16 = 16 - m$
即$(x-4)^2=16 - m$
根据题意该式可写成$(x-n)^2=6$，对比系数可得：
$n=4$，$16 - m=6$，解得$m=10$
第二步：将$m=10$代入方程$x^2 +8x +m=5$，得：
$x^2 +8x +10=5$
移项整理得：$x^2 +8x = -5$
对左边配方，两边同时加$(\frac{8}{2})^2=16$，得：
$x^2 +8x +16 = -5 +16$
即$(x+4)^2=11$
结合$n=4$，可改写为$(x+n)^2=11$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，既考查了配方法的基本操作步骤，也考查了代数式恒等变形后系数对应关系的运用，掌握配方法的核心规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.如下是用配方法解方程$2x^2 + 2 = 6x$的过程，
请完成填空.
解:$2x^2 + 2 = 6x$.
移项,得$2x^2 -6x = -2$.
两边同时除以,得$x^2 -3x = -1$.
配方,得$x^2 -3x + (\_\_\_\_\_\_)^2 = -1 + \_\_\_\_\_\_$.
∴ $(x - \frac{3}{2})^2 = \_\_\_\_\_\_$.
即$x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
请完成填空.
解:$2x^2 + 2 = 6x$.
移项,得$2x^2 -6x = -2$.
两边同时除以,得$x^2 -3x = -1$.
配方,得$x^2 -3x + (\_\_\_\_\_\_)^2 = -1 + \_\_\_\_\_\_$.
∴ $(x - \frac{3}{2})^2 = \_\_\_\_\_\_$.
即$x_1 = \_\_\_\_\_\_, x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
解:$2x^2 + 2 = 6x$.
移项,得$2x^2 -6x = -2$.
两边同时除以$\boldsymbol{2}$,得$x^2 -3x = -1$.
配方,得$x^2 -3x + (\boldsymbol{\frac{3}{2}})^2 = -1 + \boldsymbol{\frac{9}{4}}$.
∴ $(x - \frac{3}{2})^2 = \boldsymbol{\frac{5}{4}}$.
即$x_1 = \boldsymbol{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}, x_2 = \boldsymbol{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$.
移项,得$2x^2 -6x = -2$.
两边同时除以$\boldsymbol{2}$,得$x^2 -3x = -1$.
配方,得$x^2 -3x + (\boldsymbol{\frac{3}{2}})^2 = -1 + \boldsymbol{\frac{9}{4}}$.
∴ $(x - \frac{3}{2})^2 = \boldsymbol{\frac{5}{4}}$.
即$x_1 = \boldsymbol{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}, x_2 = \boldsymbol{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$.
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题按照配方法的标准步骤思考即可：1. 先将二次项系数化为1，因此移项后的方程两边需除以二次项系数2；2. 配方时需遵循等式性质，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，本题一次项系数为-3，它的一半是$\frac{3}{2}$，平方为$\frac{9}{4}$，左右两边同时加这个数；3. 将左边整理为完全平方式，计算右边常数后开平方即可求出两个根。
【解析】
首先对移项后的方程$2x^2 -6x = -2$，要把二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2 -3x = -1$；
接下来配方，一次项系数为-3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此方程两边同时加$\frac{9}{4}$，得$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -1 + \frac{9}{4}$；
左边整理为完全平方式，右边计算：$-1+\frac{9}{4}=\frac{-4+9}{4}=\frac{5}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{5}{4}$；
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，移项得$x=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，因此$x_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
依次填入：$2$；$\frac{3}{2}$；$\frac{9}{4}$；$\frac{5}{4}$；$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题属于配方法解方程的基础常规题，重点考察配方法的核心操作步骤，熟练掌握二次项系数化1、配方的规则就能快速解题，有助于巩固配方法的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题按照配方法的标准步骤思考即可：1. 先将二次项系数化为1，因此移项后的方程两边需除以二次项系数2；2. 配方时需遵循等式性质，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，本题一次项系数为-3，它的一半是$\frac{3}{2}$，平方为$\frac{9}{4}$，左右两边同时加这个数；3. 将左边整理为完全平方式，计算右边常数后开平方即可求出两个根。
【解析】
首先对移项后的方程$2x^2 -6x = -2$，要把二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2 -3x = -1$；
接下来配方，一次项系数为-3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此方程两边同时加$\frac{9}{4}$，得$x^2 -3x + (\frac{3}{2})^2 = -1 + \frac{9}{4}$；
左边整理为完全平方式，右边计算：$-1+\frac{9}{4}=\frac{-4+9}{4}=\frac{5}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})^2 = \frac{5}{4}$；
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，移项得$x=\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，因此$x_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
依次填入：$2$；$\frac{3}{2}$；$\frac{9}{4}$；$\frac{5}{4}$；$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题属于配方法解方程的基础常规题，重点考察配方法的核心操作步骤，熟练掌握二次项系数化1、配方的规则就能快速解题，有助于巩固配方法的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
