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1. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$.
(1)当$p^2 - 4q ＞ 0$时，一元二次方程有两个的实数根；
(2)当$p^2 - 4q$$0$时，方程无实数根.
(1)当$p^2 - 4q ＞ 0$时，一元二次方程有两个的实数根；
(2)当$p^2 - 4q$$0$时，方程无实数根.
答案
解：
(1) 不相等
(2) $＜$
(1) 不相等
(2) $＜$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的判别式和根的对应关系，解题时先明确本题中根的判别式$\Delta=p^2-4q$，再结合判别式的三类取值和根的对应规律直接填空即可：①$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，判别式的取值和方程根的情况对应关系如下：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程为$x^2+px+q=0$，对应$a=1,b=p,c=q$，因此判别式$\Delta=p^2-4q$：
(1) 当$p^2-4q＞0$时，对应$\Delta＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，填“不相等”；
(2) 方程无实数根时对应$\Delta＜0$，因此$p^2-4q＜0$，填“$＜$”。
【答案】
(1) 不相等
(2) $＜$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练记忆一元二次方程根的判别式的三类取值对应的根的情况，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根的判别式和根的对应关系，解题时先明确本题中根的判别式$\Delta=p^2-4q$，再结合判别式的三类取值和根的对应规律直接填空即可：①$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，判别式的取值和方程根的情况对应关系如下：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程为$x^2+px+q=0$，对应$a=1,b=p,c=q$，因此判别式$\Delta=p^2-4q$：
(1) 当$p^2-4q＞0$时，对应$\Delta＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，填“不相等”；
(2) 方程无实数根时对应$\Delta＜0$，因此$p^2-4q＜0$，填“$＜$”。
【答案】
(1) 不相等
(2) $＜$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练记忆一元二次方程根的判别式的三类取值对应的根的情况，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2.若实数m,n满足$m-n-2=0$,则关于x的一元二次方程$x^2+mx+n=0$根的情况是.
答案
解：
由$m - n - 2 = 0$，可得$n = m - 2$。
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1× n$
将$n = m - 2$代入上式：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4(m - 2) \\&= m^2 - 4m + 8 \\&= (m - 2)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (m - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
由$m - n - 2 = 0$，可得$n = m - 2$。
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1× n$
将$n = m - 2$代入上式：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4(m - 2) \\&= m^2 - 4m + 8 \\&= (m - 2)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (m - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是判断根的判别式Δ的符号：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。本题已知m和n的等量关系，解题思路为：第一步，由已知等式将n用含m的代数式表示；第二步，将n代入判别式Δ的表达式；第三步，通过配方变形判断Δ的正负性，即可得出根的情况。
【解析】
由$m - n - 2 = 0$，可得$n = m - 2$。
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1× n$
将$n = m - 2$代入上式：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4(m - 2) \\&= m^2 - 4m + 8 \\&= (m - 2)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (m - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法、代数式恒等变形
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，解题关键是利用已知条件消去一个参数，将判别式转化为仅含单个参数的代数式，再通过配方结合平方的非负性判断判别式的符号，即可得出结论，侧重考察基础运算能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.75
要判断一元二次方程根的情况，核心是判断根的判别式Δ的符号：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根。本题已知m和n的等量关系，解题思路为：第一步，由已知等式将n用含m的代数式表示；第二步，将n代入判别式Δ的表达式；第三步，通过配方变形判断Δ的正负性，即可得出根的情况。
【解析】
由$m - n - 2 = 0$，可得$n = m - 2$。
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1× n$
将$n = m - 2$代入上式：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4(m - 2) \\&= m^2 - 4m + 8 \\&= (m - 2)^2 + 4\end{aligned}$
$\because (m - 2)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法、代数式恒等变形
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，解题关键是利用已知条件消去一个参数，将判别式转化为仅含单个参数的代数式，再通过配方结合平方的非负性判断判别式的符号，即可得出结论，侧重考察基础运算能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.75
3.若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+2x-1=0$有实数根，则k的取值范围是.
答案
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+2x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
又∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=2$，$c=-1$，
代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×(-1) = 4 + 4(k-1) = 4k ≥ 0$，
解得 $k ≥ 0$。
综上，$k$的取值范围是 $\boldsymbol{k≥0 且 k≠1}$。
∵ 方程$(k-1)x^2+2x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
又∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=2$，$c=-1$，
代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-1)×(-1) = 4 + 4(k-1) = 4k ≥ 0$，
解得 $k ≥ 0$。
综上，$k$的取值范围是 $\boldsymbol{k≥0 且 k≠1}$。
解析
【分析】
要解决该问题需同时满足两个约束条件：①题目明确该方程是一元二次方程，需符合一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围，注意不能遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+2x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
又
∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=2$，$c=-1$，
代入得：
$\Delta = 2^2 - 4× (k-1)× (-1) = 4 + 4(k-1) = 4k ≥ 0$，
解得 $k ≥ 0$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ 0$ 且 $k≠ 1$。
【答案】
$k≥ 0$且$k≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，解题时要先明确方程的类型限制，再结合根的情况列不等式求解，有助于养成严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
要解决该问题需同时满足两个约束条件：①题目明确该方程是一元二次方程，需符合一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围，注意不能遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+2x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ 二次项系数 $k-1 ≠ 0$，
解得 $k ≠ 1$。
又
∵ 方程有实数根，
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-1$，$b=2$，$c=-1$，
代入得：
$\Delta = 2^2 - 4× (k-1)× (-1) = 4 + 4(k-1) = 4k ≥ 0$，
解得 $k ≥ 0$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ 0$ 且 $k≠ 1$。
【答案】
$k≥ 0$且$k≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常规题型，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，解题时要先明确方程的类型限制，再结合根的情况列不等式求解，有助于养成严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
4.如果关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是.
答案
解：
在一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
在一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
解析
【分析】
遇到一元二次方程已知根的个数求参数取值范围的问题，首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意系数的正负），再代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础应用题，重点考查根的判别式的应用，解题易错点为提取系数时忽略符号、解不等式时未注意不等号方向的变化，掌握根的个数与判别式的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程已知根的个数求参数取值范围的问题，首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意系数的正负），再代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
在一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$中，
$a=1$，$b=-2$，$c=m$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$(-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是基础应用题，重点考查根的判别式的应用，解题易错点为提取系数时忽略符号、解不等式时未注意不等号方向的变化，掌握根的个数与判别式的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 下列关于$x$的方程有实数根的是()
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 + x + 1 = 0$
C.$x^2 + x - 2 = 0$
D.$(x - 1)^2 + 1 = 0$
A.$x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 + x + 1 = 0$
C.$x^2 + x - 2 = 0$
D.$(x - 1)^2 + 1 = 0$
答案
C
解析
【分析】
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根。我们只需分别计算每个选项的判别式，或对可直接变形的方程化简后判断，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，则$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，排除。
2. 选项B：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1,b=1,c=1$，则$\Delta=1^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，排除。
3. 选项C：方程$x^2 + x - 2 = 0$中，$a=1,b=1,c=-2$，则$\Delta=1^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
4. 选项D：将方程变形得$(x-1)^2=-1$，由于平方数具有非负性，$(x-1)^2≥0$，不可能等于负数，因此无实数根，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式、偶次幂的非负性
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，重点考查根的判别式的应用，掌握判别式和实根的对应关系即可快速解题，部分特殊形式的方程可先变形再判断，能简化计算。
【难度系数】
0.9
判断一元二次方程是否有实数根的核心依据是根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根，$\Delta＜0$时无实数根。我们只需分别计算每个选项的判别式，或对可直接变形的方程化简后判断，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：方程$x^2 - x + 1 = 0$中，$a=1,b=-1,c=1$，则$\Delta=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，排除。
2. 选项B：方程$x^2 + x + 1 = 0$中，$a=1,b=1,c=1$，则$\Delta=1^2-4×1×1=1-4=-3＜0$，无实数根，排除。
3. 选项C：方程$x^2 + x - 2 = 0$中，$a=1,b=1,c=-2$，则$\Delta=1^2-4×1×(-2)=1+8=9＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
4. 选项D：将方程变形得$(x-1)^2=-1$，由于平方数具有非负性，$(x-1)^2≥0$，不可能等于负数，因此无实数根，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式、偶次幂的非负性
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，重点考查根的判别式的应用，掌握判别式和实根的对应关系即可快速解题，部分特殊形式的方程可先变形再判断，能简化计算。
【难度系数】
0.9
6. 关于$x$的方程$kx^2 -4kx +k -5=0$有两个相等的实数根，则$k$的值为（）
A.$0$或$-\dfrac{5}{3}$
B.$0$
C.$-\dfrac{5}{3}$
D.以上答案都不对
A.$0$或$-\dfrac{5}{3}$
B.$0$
C.$-\dfrac{5}{3}$
D.以上答案都不对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确：只有一元二次方程才有两个（相等或不等）实数根，若二次项系数为0，方程变为一元一次方程，仅存在一个根，因此本题首先确定二次项系数$k≠0$；再根据一元二次方程有两个相等实数根的条件：根的判别式$\Delta=0$，代入对应系数列方程求解，最后排除不符合$k≠0$的解即可得到结果。
【解析】
$\because$ 方程$kx^2 -4kx +k -5=0$有两个相等的实数根
$\therefore$ 该方程为一元二次方程，需满足$k≠0$，且根的判别式$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=k$，$b=-4k$，$c=k-5$
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4k)^2-4× k×(k-5)=0$
展开计算：
$16k^2-4k^2+20k=0$
$12k^2+20k=0$
因式分解得：$4k(3k+5)=0$
解得$k_1=0$，$k_2=-\dfrac{5}{3}$
结合前提$k≠0$，舍去$k=0$，因此$k=-\dfrac{5}{3}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将$k=0$纳入正确解误选A。解题时只要题目说明方程有两个实数根，首先要确认二次项系数不为0，再结合判别式求解，最后注意检验解是否满足前提条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：只有一元二次方程才有两个（相等或不等）实数根，若二次项系数为0，方程变为一元一次方程，仅存在一个根，因此本题首先确定二次项系数$k≠0$；再根据一元二次方程有两个相等实数根的条件：根的判别式$\Delta=0$，代入对应系数列方程求解，最后排除不符合$k≠0$的解即可得到结果。
【解析】
$\because$ 方程$kx^2 -4kx +k -5=0$有两个相等的实数根
$\therefore$ 该方程为一元二次方程，需满足$k≠0$，且根的判别式$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=k$，$b=-4k$，$c=k-5$
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4k)^2-4× k×(k-5)=0$
展开计算：
$16k^2-4k^2+20k=0$
$12k^2+20k=0$
因式分解得：$4k(3k+5)=0$
解得$k_1=0$，$k_2=-\dfrac{5}{3}$
结合前提$k≠0$，舍去$k=0$，因此$k=-\dfrac{5}{3}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元二次方程
【点评】
本题易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将$k=0$纳入正确解误选A。解题时只要题目说明方程有两个实数根，首先要确认二次项系数不为0，再结合判别式求解，最后注意检验解是否满足前提条件。
【难度系数】
0.6
7.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a - 1 = 0$无实数根，则一次函数$y=-x+a$的图象一定不经过()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0列出关于a的不等式，求解得到a的取值范围；第二步，根据一次函数的斜率k和截距b的正负，结合a的取值范围判断函数图象经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】
1. 求a的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a - 1 = 0$，其二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为$a-1$。
因为方程无实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (a-1) ＜ 0$
计算化简：$4 - 4a + 4 ＜ 0$，即$8 - 4a ＜ 0$
解不等式得：$a ＞ 2$。
2. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，斜率$k=-1 ＜ 0$，说明图象从左上向右下倾斜；截距$b=a ＞ 2 ＞ 0$，说明图象与y轴交于正半轴。
因此该一次函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数图象性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数综合基础题，将一元二次方程根的判别式与一次函数图象性质结合考查，解题核心是先通过根的判别式求出参数范围，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断象限，熟练掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步，根据一元二次方程无实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0列出关于a的不等式，求解得到a的取值范围；第二步，根据一次函数的斜率k和截距b的正负，结合a的取值范围判断函数图象经过的象限，进而确定不经过的象限。
【解析】
1. 求a的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 - 2x + a - 1 = 0$，其二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为$a-1$。
因为方程无实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (a-1) ＜ 0$
计算化简：$4 - 4a + 4 ＜ 0$，即$8 - 4a ＜ 0$
解不等式得：$a ＞ 2$。
2. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，斜率$k=-1 ＜ 0$，说明图象从左上向右下倾斜；截距$b=a ＞ 2 ＞ 0$，说明图象与y轴交于正半轴。
因此该一次函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一次函数图象性质
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数综合基础题，将一元二次方程根的判别式与一次函数图象性质结合考查，解题核心是先通过根的判别式求出参数范围，再结合一次函数系数与图象的对应关系判断象限，熟练掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
8.若关于$x$的方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$有实数解，则$m$的取值范围是（）
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
答案
A
解析
【分析】
本题需结合方程类型分类讨论求解：首先方程的二次项系数含参数m，因此要先分二次项系数为0、不为0两种情况分析：当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，必然存在实数根；当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，有实数根的条件是根的判别式Δ≥0，求出对应m的范围后，合并两种情况的范围即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$m-2=0$，即$m=2$时，原方程化为一元一次方程$4x+2=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，存在实数解，符合题意；
② 当$m-2≠0$，即$m≠2$时，原方程为一元二次方程，
∵方程有实数解，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 ≥ 0$
整理得：$16 - 8(m-2) ≥ 0$
$32 - 8m ≥ 0$
解得$m ≤ 4$，此时$m≠2$。
综合两种情况，m的取值范围为$m ≤ 4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解，从而误选D。解题时遇到二次项系数含参数的方程问题，要优先分类讨论二次项系数是否为0，再结合对应方程的性质计算。
【难度系数】
0.6
本题需结合方程类型分类讨论求解：首先方程的二次项系数含参数m，因此要先分二次项系数为0、不为0两种情况分析：当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，必然存在实数根；当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，有实数根的条件是根的判别式Δ≥0，求出对应m的范围后，合并两种情况的范围即可得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$m-2=0$，即$m=2$时，原方程化为一元一次方程$4x+2=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，存在实数解，符合题意；
② 当$m-2≠0$，即$m≠2$时，原方程为一元二次方程，
∵方程有实数解，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
其中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 ≥ 0$
整理得：$16 - 8(m-2) ≥ 0$
$32 - 8m ≥ 0$
解得$m ≤ 4$，此时$m≠2$。
综合两种情况，m的取值范围为$m ≤ 4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程判定为一元二次方程求解，从而误选D。解题时遇到二次项系数含参数的方程问题，要优先分类讨论二次项系数是否为0，再结合对应方程的性质计算。
【难度系数】
0.6
9. 不解方程，试判断下列方程根的情况：
(1)$x^2 - x - k^2 = 0$； (2)$(x+3)^2 = 9x -10$.
(1)$x^2 - x - k^2 = 0$； (2)$(x+3)^2 = 9x -10$.
答案
解：
(1) 对于方程$x^2 - x - k^2 = 0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-k^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-k^2) = 1 + 4k^2$。
$\because k^2 ≥ 0$，
$\therefore 4k^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = 1 + 4k^2 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(x+3)^2 = 9x - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 6x + 9 = 9x - 10$，
即$x^2 - 3x + 19 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=19$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×19 = 9 - 76 = -67 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(1) 对于方程$x^2 - x - k^2 = 0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-k^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-k^2) = 1 + 4k^2$。
$\because k^2 ≥ 0$，
$\therefore 4k^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = 1 + 4k^2 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(x+3)^2 = 9x - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 6x + 9 = 9x - 10$，
即$x^2 - 3x + 19 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=19$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×19 = 9 - 76 = -67 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时：(1)该方程已经是一元二次方程的一般形式，直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式后结合$k^2$的非负性判断$\Delta$的符号即可；(2)该方程不是一般形式，先利用完全平方公式展开左边，再移项合并同类项整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再确定系数计算判别式，根据$\Delta$的符号判断根的情况。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - k^2 = 0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-k^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-k^2) = 1 + 4k^2$。
$\because k^2 ≥ 0$，
$\therefore 4k^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = 1 + 4k^2 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(x+3)^2 = 9x - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 6x + 9 = 9x - 10$，
移项合并同类项得$x^2 - 3x + 19 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=19$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×19 = 9 - 76 = -67 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式 3. 非负数的性质
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数，再计算判别式的值，含参数的判别式要结合平方的非负性分析其符号，熟练掌握判别式与根的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时：(1)该方程已经是一元二次方程的一般形式，直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式后结合$k^2$的非负性判断$\Delta$的符号即可；(2)该方程不是一般形式，先利用完全平方公式展开左边，再移项合并同类项整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再确定系数计算判别式，根据$\Delta$的符号判断根的情况。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x - k^2 = 0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-k^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-k^2) = 1 + 4k^2$。
$\because k^2 ≥ 0$，
$\therefore 4k^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = 1 + 4k^2 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 将方程$(x+3)^2 = 9x - 10$整理为一般形式：
$x^2 + 6x + 9 = 9x - 10$，
移项合并同类项得$x^2 - 3x + 19 = 0$，
这里$a=1$，$b=-3$，$c=19$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×19 = 9 - 76 = -67 ＜ 0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 一元二次方程的一般形式 3. 非负数的性质
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数，再计算判别式的值，含参数的判别式要结合平方的非负性分析其符号，熟练掌握判别式与根的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.8
