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10.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$.
(1)当$b=a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的$a,b$的值,并求此时方程的根.
(1)当$b=a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的$a,b$的值,并求此时方程的根.
答案
解：(1) 由题意可知，一元二次方程$ax^2+bx+1=0$中$a≠0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4a×1 = b^2 -4a$。
当$b=a+2$时，代入得：
$\Delta=(a+2)^2 -4a = a^2 +4a +4 -4a = a^2 +4$。
因为$a≠0$，所以$a^2＞0$，因此$\Delta=a^2+4＞0$，
所以此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^2 -4a =0$，即$b^2=4a$。
取$a=1$，$b=2$（答案不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时方程为$x^2 +2x +1=0$，
整理得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4a×1 = b^2 -4a$。
当$b=a+2$时，代入得：
$\Delta=(a+2)^2 -4a = a^2 +4a +4 -4a = a^2 +4$。
因为$a≠0$，所以$a^2＞0$，因此$\Delta=a^2+4＞0$，
所以此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^2 -4a =0$，即$b^2=4a$。
取$a=1$，$b=2$（答案不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时方程为$x^2 +2x +1=0$，
整理得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
解析
【分析】
（1）要判断一元二次方程的根的情况，首先明确一元二次方程的隐含前提是二次项系数$a≠0$，再回忆根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，本题中常数项$c=1$，先写出判别式的基本表达式，再将$b=a+2$代入$\Delta$化简，根据化简结果的正负性即可判断根的情况；
（2）方程有两个相等的实数根，说明判别式$\Delta=0$，可推出$a$、$b$的关系式$b^2=4a$，结合$a≠0$的前提，任取一组满足该关系式的$a$、$b$值，代入原方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 方程是一元二次方程，
∴ $a≠0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$c=1$，因此$\Delta = b^2 - 4a$，
当$b=a+2$时，代入判别式得：
$\Delta=(a+2)^2 -4a = a^2 +4a +4 -4a = a^2 +4$，
∵ $a≠0$，
∴ $a^2＞0$，因此$\Delta = a^2 +4 ＞ 0$，
∴ 此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^2 -4a = 0$，即$b^2=4a$（且$a≠0$），
取$a=1$，$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时原方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，
因式分解得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程根的判别式设置问题，既考查了正向代入判别式判断根的情况，也考查了逆向利用判别式的取值求参数、解方程，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，整体考查内容基础，侧重对基础公式的理解和应用。
【难度系数】
0.8
（1）要判断一元二次方程的根的情况，首先明确一元二次方程的隐含前提是二次项系数$a≠0$，再回忆根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，本题中常数项$c=1$，先写出判别式的基本表达式，再将$b=a+2$代入$\Delta$化简，根据化简结果的正负性即可判断根的情况；
（2）方程有两个相等的实数根，说明判别式$\Delta=0$，可推出$a$、$b$的关系式$b^2=4a$，结合$a≠0$的前提，任取一组满足该关系式的$a$、$b$值，代入原方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ 方程是一元二次方程，
∴ $a≠0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$c=1$，因此$\Delta = b^2 - 4a$，
当$b=a+2$时，代入判别式得：
$\Delta=(a+2)^2 -4a = a^2 +4a +4 -4a = a^2 +4$，
∵ $a≠0$，
∴ $a^2＞0$，因此$\Delta = a^2 +4 ＞ 0$，
∴ 此时方程有两个不相等的实数根。
(2) 若方程有两个相等的实数根，则$\Delta = b^2 -4a = 0$，即$b^2=4a$（且$a≠0$），
取$a=1$，$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a≠0$即可），
此时原方程为$x^2 + 2x + 1 = 0$，
因式分解得$(x+1)^2=0$，
解得$x_1=x_2=-1$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 示例：$a=1$，$b=2$，此时方程的根为$x_1=x_2=-1$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程根的判别式设置问题，既考查了正向代入判别式判断根的情况，也考查了逆向利用判别式的取值求参数、解方程，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，整体考查内容基础，侧重对基础公式的理解和应用。
【难度系数】
0.8
11.已知$a,b,c$是三角形的三边，且关于$x$的方程$a(x^2 - 1) - 2cx + b(x^2 + 1) = 0$有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
答案
解：
将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开方程得 $ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$，
合并同类项得 $(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$。
因为$a,b,c$是三角形的三边，所以$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
由方程有两个相等的实数根，可知根的判别式$\Delta=0$，即：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2c)^2 - 4(a+b)(b-a) = 0 \\4c^2 - 4(b^2 - a^2) &= 0\end{aligned}$
两边同除以4，整理得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开方程得 $ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$，
合并同类项得 $(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$。
因为$a,b,c$是三角形的三边，所以$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
由方程有两个相等的实数根，可知根的判别式$\Delta=0$，即：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2c)^2 - 4(a+b)(b-a) = 0 \\4c^2 - 4(b^2 - a^2) &= 0\end{aligned}$
两边同除以4，整理得：
$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步先将给定的含参方程展开、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；第二步结合三角形三边均为正数的性质，确认二次项系数不为0，方程为一元二次方程；第三步根据“方程有两个相等的实数根”的条件，利用一元二次方程根的判别式Δ=0列出关于三边a、b、c的等式；第四步对等式化简得到三边的数量关系，最后结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
【解析】
将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开方程得 $ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$，
合并同类项得 $(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$。
因为$a,b,c$是三角形的三边，边长均为正数，所以$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
由方程有两个相等的实数根，可知根的判别式$\Delta=0$，即：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2c)^2 - 4(a+b)(b-a) = 0 \\4c^2 - 4(b^2 - a^2) &= 0\end{aligned}$
两边同除以4，整理得：$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理可判断三角形形状。
【答案】
该三角形是直角三角形。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，整式的化简
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识结合的基础综合题，既考查了一元二次方程根的判别式和根的对应关系，也考查了勾股定理逆定理的应用，解题时需先确认方程为一元二次方程，化简判别式时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：第一步先将给定的含参方程展开、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；第二步结合三角形三边均为正数的性质，确认二次项系数不为0，方程为一元二次方程；第三步根据“方程有两个相等的实数根”的条件，利用一元二次方程根的判别式Δ=0列出关于三边a、b、c的等式；第四步对等式化简得到三边的数量关系，最后结合勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
【解析】
将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开方程得 $ax^2 - a - 2cx + bx^2 + b = 0$，
合并同类项得 $(a+b)x^2 - 2cx + (b - a) = 0$。
因为$a,b,c$是三角形的三边，边长均为正数，所以$a+b＞0$，该方程为一元二次方程。
由方程有两个相等的实数根，可知根的判别式$\Delta=0$，即：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2c)^2 - 4(a+b)(b-a) = 0 \\4c^2 - 4(b^2 - a^2) &= 0\end{aligned}$
两边同除以4，整理得：$a^2 + c^2 = b^2$
根据勾股定理的逆定理可判断三角形形状。
【答案】
该三角形是直角三角形。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，整式的化简
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识结合的基础综合题，既考查了一元二次方程根的判别式和根的对应关系，也考查了勾股定理逆定理的应用，解题时需先确认方程为一元二次方程，化简判别式时注意符号即可。
【难度系数】
0.7
12.已知平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$的两个实数根.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出此时菱形的边长；
(3)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少?
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出此时菱形的边长；
(3)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是多少?
答案
证明：
(1) 对于方程 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
其根的判别式为：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})$
$=m^2 - 2m +1$
$=(m-1)^2$
∵ 无论m取何值，$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
解：
(2) 若四边形ABCD是菱形，则AB=BC，此时方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-1)^2=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得 $x^2 -x + \frac{1}{4}=0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
∴ 当$m=1$时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
解：
(3) ∵ AB=2是方程的根，将x=2代入原方程得：
$2^2 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
解得 $m=\frac{5}{2}$。
将$m=\frac{5}{2}$代入原方程，得 $x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即BC的长为$\frac{1}{2}$。
∴ 平行四边形ABCD的周长为 $2×(2+\frac{1}{2})=5$。
答：平行四边形ABCD的周长是5。
(1) 对于方程 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
其根的判别式为：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})$
$=m^2 - 2m +1$
$=(m-1)^2$
∵ 无论m取何值，$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
解：
(2) 若四边形ABCD是菱形，则AB=BC，此时方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-1)^2=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得 $x^2 -x + \frac{1}{4}=0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
∴ 当$m=1$时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
解：
(3) ∵ AB=2是方程的根，将x=2代入原方程得：
$2^2 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
解得 $m=\frac{5}{2}$。
将$m=\frac{5}{2}$代入原方程，得 $x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即BC的长为$\frac{1}{2}$。
∴ 平行四边形ABCD的周长为 $2×(2+\frac{1}{2})=5$。
答：平行四边形ABCD的周长是5。
解析
【分析】
(1) 要证明无论m取何值方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于等于0即可，先计算方程的Δ，化简后判断其取值范围就能完成证明。
(2) 菱形的邻边相等，即AB=BC，对应方程有两个相等的实数根，此时Δ=0，先求出m的值，再将m代入原方程求解，得到的根就是菱形的边长。
(3) 已知AB=2是方程的根，将x=2代入原方程可求出m的值，再把m代回方程求出另一个根（即BC的长），最后根据平行四边形周长公式计算周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于方程 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
其根的判别式为：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})$
$=m^2 - 2m +1$
$=(m-1)^2$
∵ 无论m取何值，$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC，此时方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-1)^2=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得 $x^2 -x + \frac{1}{4}=0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
∴ 当$m=1$时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(3) 解：
∵ AB=2是方程的根，将x=2代入原方程得：
$2^2 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
解得 $m=\frac{5}{2}$。
将$m=\frac{5}{2}$代入原方程，得 $x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即BC的长为$\frac{1}{2}$。
∴ 平行四边形ABCD的周长为 $2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程总有两个实数根，得证；
(2) 当$m=1$时四边形ABCD是菱形，菱形边长为$\frac{1}{2}$；
(3) 平行四边形ABCD的周长是5。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，菱形的性质，平行四边形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与几何图形性质结合的综合题，既考查了根的判别式与方程根的个数的对应关系，也考查了特殊平行四边形的性质和方程根的代入求值方法，解题时要注意代数知识和几何性质的关联运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明无论m取何值方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式Δ恒大于等于0即可，先计算方程的Δ，化简后判断其取值范围就能完成证明。
(2) 菱形的邻边相等，即AB=BC，对应方程有两个相等的实数根，此时Δ=0，先求出m的值，再将m代入原方程求解，得到的根就是菱形的边长。
(3) 已知AB=2是方程的根，将x=2代入原方程可求出m的值，再把m代回方程求出另一个根（即BC的长），最后根据平行四边形周长公式计算周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于方程 $x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
其根的判别式为：
$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(\frac{m}{2} - \frac{1}{4})$
$=m^2 - 2m +1$
$=(m-1)^2$
∵ 无论m取何值，$(m-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
(2) 解：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC，此时方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-1)^2=0$，
解得 $m=1$。
将$m=1$代入原方程，得 $x^2 -x + \frac{1}{4}=0$，
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
∴ 当$m=1$时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为$\frac{1}{2}$。
(3) 解：
∵ AB=2是方程的根，将x=2代入原方程得：
$2^2 - 2m + \frac{m}{2} - \frac{1}{4}=0$，
解得 $m=\frac{5}{2}$。
将$m=\frac{5}{2}$代入原方程，得 $x^2 - \frac{5}{2}x +1=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即BC的长为$\frac{1}{2}$。
∴ 平行四边形ABCD的周长为 $2×(2+\frac{1}{2})=5$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程总有两个实数根，得证；
(2) 当$m=1$时四边形ABCD是菱形，菱形边长为$\frac{1}{2}$；
(3) 平行四边形ABCD的周长是5。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，菱形的性质，平行四边形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与几何图形性质结合的综合题，既考查了根的判别式与方程根的个数的对应关系，也考查了特殊平行四边形的性质和方程根的代入求值方法，解题时要注意代数知识和几何性质的关联运用。
【难度系数】
0.7
