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如何计算奥运会跳水决赛的全国收视率？
答案
解析
【分析】
要计算全国收视率，首先明确全国人口基数大，无法逐人统计，因此要采用抽样调查的方法，用样本估计总体。为了保证样本的代表性，需要结合人口结构分层抽样，避免样本偏差；同时不同群体的人口占比不同，不能直接用样本的算术平均，需要用到加权平均数的知识，结合各群体的人口权重计算最终的全国收视率。
【解析】
1. 确定调查方式：全国人口数量极大，普查成本高、可行性低，因此选择抽样调查的方式，用样本的收视情况估计总体的收视情况。
2. 分层抽样：根据影响收视行为的人口特征（如城乡、地域、年龄层等），将全国人口划分为若干个层，在每个层内随机抽取足够数量的样本，保证样本能反映对应层的收视情况。
3. 统计各层样本收视率：对每个层的样本进行统计，计算该层的收视率$p_i=\frac{\mathrm{该层样本中收看跳水决赛的人数}}{\mathrm{该层抽取的样本总人数}}$。
4. 获取各层权重：查询统计数据得到每个层的总人口占全国总人口的权重$w_i=\frac{\mathrm{该层全国总人口数}}{\mathrm{全国总人口数}}$，所有层的权重之和为1。
5. 加权计算全国收视率：根据加权平均数公式，全国收视率 = $\sum_{i=1}^{n} (w_i × p_i)$，最终结果通常转化为百分数形式。
【答案】
通过分层随机抽样获取具有代表性的样本，统计各层样本的收视率，再结合各层人口占全国总人口的权重，用加权平均数计算即可得到全国收视率，公式为：$\mathrm{全国收视率}=\sum(\mathrm{对应层人口权重} × \mathrm{对应层样本收视率})$，结果以百分数表示。
【知识点】
抽样调查、加权平均数、样本估计总体
【点评】
本题结合生活中常见的收视率统计场景，将抽象的统计知识和实际应用结合，需要掌握科学抽样的原则和加权平均数的计算逻辑，能够灵活运用统计知识解决真实问题。
【难度系数】
0.7
要计算全国收视率，首先明确全国人口基数大，无法逐人统计，因此要采用抽样调查的方法，用样本估计总体。为了保证样本的代表性，需要结合人口结构分层抽样，避免样本偏差；同时不同群体的人口占比不同，不能直接用样本的算术平均，需要用到加权平均数的知识，结合各群体的人口权重计算最终的全国收视率。
【解析】
1. 确定调查方式：全国人口数量极大，普查成本高、可行性低，因此选择抽样调查的方式，用样本的收视情况估计总体的收视情况。
2. 分层抽样：根据影响收视行为的人口特征（如城乡、地域、年龄层等），将全国人口划分为若干个层，在每个层内随机抽取足够数量的样本，保证样本能反映对应层的收视情况。
3. 统计各层样本收视率：对每个层的样本进行统计，计算该层的收视率$p_i=\frac{\mathrm{该层样本中收看跳水决赛的人数}}{\mathrm{该层抽取的样本总人数}}$。
4. 获取各层权重：查询统计数据得到每个层的总人口占全国总人口的权重$w_i=\frac{\mathrm{该层全国总人口数}}{\mathrm{全国总人口数}}$，所有层的权重之和为1。
5. 加权计算全国收视率：根据加权平均数公式，全国收视率 = $\sum_{i=1}^{n} (w_i × p_i)$，最终结果通常转化为百分数形式。
【答案】
通过分层随机抽样获取具有代表性的样本，统计各层样本的收视率，再结合各层人口占全国总人口的权重，用加权平均数计算即可得到全国收视率，公式为：$\mathrm{全国收视率}=\sum(\mathrm{对应层人口权重} × \mathrm{对应层样本收视率})$，结果以百分数表示。
【知识点】
抽样调查、加权平均数、样本估计总体
【点评】
本题结合生活中常见的收视率统计场景，将抽象的统计知识和实际应用结合，需要掌握科学抽样的原则和加权平均数的计算逻辑，能够灵活运用统计知识解决真实问题。
【难度系数】
0.7
例 调查显示，某市 A 区早高峰期间约有 20 万辆共享单车被使用，平均使用时长是9 min；B区约有15万辆被使用，平均使用时长是12 min；C区约有9万辆被使用，平均使用时长是10 min. 该市三区共享单车在早高峰被使用的平均时长大约是多少？
答案
该市三区共享单车在早高峰被使用的平均时长为$\frac{20×9+15×12+9×10}{20+15+9}≈10.23$(分钟)
解析
【分析】
这是加权平均数的实际应用问题，求解三区总的平均使用时长不能直接对三个区的平均时长取算术平均，因为不同区的共享单车使用量（即权重）不同。我们需要先算出三区早高峰共享单车的总使用时长，再算出三区使用的共享单车总数量，最后用总使用时长除以总数量，就能得到所求的整体平均时长。
【解析】
首先计算三区共享单车的总使用时长：
总使用时长 = 各区使用量×对应区平均时长之和，代入数据得：
$20×9 + 15×12 + 9×10 = 180 + 180 + 90 = 450$（万·分钟）
再计算三区共享单车总使用量：
$20 + 15 + 9 = 44$（万辆）
因此平均时长 = 总使用时长÷总使用量，即：
$\frac{450}{44}≈10.23$（分钟）
【答案】
该市三区共享单车在早高峰被使用的平均时长大约是10.23分钟。
【知识点】
加权平均数计算；平均数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平均数的计算，解题关键是区分算术平均数和加权平均数的适用场景，当各组数据对应的权重不同时，要使用加权平均数的计算方法，避免直接对各组平均值取算术平均的常见错误。
【难度系数】
0.8
这是加权平均数的实际应用问题，求解三区总的平均使用时长不能直接对三个区的平均时长取算术平均，因为不同区的共享单车使用量（即权重）不同。我们需要先算出三区早高峰共享单车的总使用时长，再算出三区使用的共享单车总数量，最后用总使用时长除以总数量，就能得到所求的整体平均时长。
【解析】
首先计算三区共享单车的总使用时长：
总使用时长 = 各区使用量×对应区平均时长之和，代入数据得：
$20×9 + 15×12 + 9×10 = 180 + 180 + 90 = 450$（万·分钟）
再计算三区共享单车总使用量：
$20 + 15 + 9 = 44$（万辆）
因此平均时长 = 总使用时长÷总使用量，即：
$\frac{450}{44}≈10.23$（分钟）
【答案】
该市三区共享单车在早高峰被使用的平均时长大约是10.23分钟。
【知识点】
加权平均数计算；平均数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平均数的计算，解题关键是区分算术平均数和加权平均数的适用场景，当各组数据对应的权重不同时，要使用加权平均数的计算方法，避免直接对各组平均值取算术平均的常见错误。
【难度系数】
0.8
1. A,B两地同时举行全市15岁学生的体能测试,A地的测试人数是B地的1.5倍.A地学生的平均分为85分,B地学生的平均分为90分.两地所有学生的平均分为
87
分.答案
1. 87
解析
【分析】
要计算两地所有学生的平均分，核心公式是“平均分=总分数÷总人数”。题目仅给出A、B两地人数的倍数关系，未给出具体人数，我们可以设B地人数为参数（参数在最终计算中会消去，不影响结果），分别表示出A地人数、两地总分数、总人数后代入公式计算即可。
【解析】
解：设B地参加测试的人数为$ x $人，则A地参加测试的人数为$ 1.5x $人。
1. 计算两地总分数：
A地总分数：$ 85×1.5x=127.5x $分
B地总分数：$ 90× x=90x $分
两地总分数：$ 127.5x+90x=217.5x $分
2. 计算两地总人数：
总人数：$ 1.5x+x=2.5x $人
3. 计算整体平均分：
$\mathrm{平均分}=\frac{\mathrm{总分数}}{\mathrm{总人数}}=\frac{217.5x}{2.5x}=87$分
【答案】
87
【知识点】
加权平均数计算；参数法解题
【点评】
本题是平均数章节的基础常考题，重点考查加权平均数的应用，当仅知道各部分的平均值和数量比例关系时，通过设参数的方式可以快速求出整体平均值，无需知道各部分的具体数量。
【难度系数】
0.85
要计算两地所有学生的平均分，核心公式是“平均分=总分数÷总人数”。题目仅给出A、B两地人数的倍数关系，未给出具体人数，我们可以设B地人数为参数（参数在最终计算中会消去，不影响结果），分别表示出A地人数、两地总分数、总人数后代入公式计算即可。
【解析】
解：设B地参加测试的人数为$ x $人，则A地参加测试的人数为$ 1.5x $人。
1. 计算两地总分数：
A地总分数：$ 85×1.5x=127.5x $分
B地总分数：$ 90× x=90x $分
两地总分数：$ 127.5x+90x=217.5x $分
2. 计算两地总人数：
总人数：$ 1.5x+x=2.5x $人
3. 计算整体平均分：
$\mathrm{平均分}=\frac{\mathrm{总分数}}{\mathrm{总人数}}=\frac{217.5x}{2.5x}=87$分
【答案】
87
【知识点】
加权平均数计算；参数法解题
【点评】
本题是平均数章节的基础常考题，重点考查加权平均数的应用，当仅知道各部分的平均值和数量比例关系时，通过设参数的方式可以快速求出整体平均值，无需知道各部分的具体数量。
【难度系数】
0.85
2. 为评估小区垃圾分类效果，工作人员对上周“厨余垃圾”“可回收物”和“其他垃圾”的日均投放量进行了统计，发现三类垃圾的日投放量占比为$5:2:3$，正确投放率依次为$90\%$，$75\%$，$60\%$，则该小区的垃圾分类正确投放率约为
78%
。答案
2. 78%
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确三类垃圾的投放量占比就是计算总正确投放率的权重，我们可以将三类垃圾的投放量分别看作5份、2份、3份，先分别计算出每类垃圾的正确投放量，再求出所有垃圾的总正确投放量占总投放量的比值，就是小区总的垃圾分类正确投放率。
【解析】
已知三类垃圾的日投放量占比为$5:2:3$，可设三类垃圾的日投放量分别为$5a$、$2a$、$3a$（$a$为非零常数）。
先计算各类垃圾的正确投放量：
厨余垃圾正确投放量：$5a × 90\% = 4.5a$
可回收物正确投放量：$2a × 75\% = 1.5a$
其他垃圾正确投放量：$3a × 60\% = 1.8a$
三类垃圾总投放量：$5a+2a+3a=10a$
总正确投放量：$4.5a+1.5a+1.8a=7.8a$
总正确投放率：$\frac{7.8a}{10a} × 100\% =78\%$
【答案】
78%
【知识点】
加权平均数计算；百分率应用
【点评】
本题结合生活中垃圾分类的实际场景考查统计相关计算，解题的核心是正确理解投放量占比就是加权平均数中的权重，熟练掌握加权平均数的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确三类垃圾的投放量占比就是计算总正确投放率的权重，我们可以将三类垃圾的投放量分别看作5份、2份、3份，先分别计算出每类垃圾的正确投放量，再求出所有垃圾的总正确投放量占总投放量的比值，就是小区总的垃圾分类正确投放率。
【解析】
已知三类垃圾的日投放量占比为$5:2:3$，可设三类垃圾的日投放量分别为$5a$、$2a$、$3a$（$a$为非零常数）。
先计算各类垃圾的正确投放量：
厨余垃圾正确投放量：$5a × 90\% = 4.5a$
可回收物正确投放量：$2a × 75\% = 1.5a$
其他垃圾正确投放量：$3a × 60\% = 1.8a$
三类垃圾总投放量：$5a+2a+3a=10a$
总正确投放量：$4.5a+1.5a+1.8a=7.8a$
总正确投放率：$\frac{7.8a}{10a} × 100\% =78\%$
【答案】
78%
【知识点】
加权平均数计算；百分率应用
【点评】
本题结合生活中垃圾分类的实际场景考查统计相关计算，解题的核心是正确理解投放量占比就是加权平均数中的权重，熟练掌握加权平均数的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
3. 某运动健康 App 统计了会员用户上周的日均运动数据.其中,初级会员群体日均消耗200 kcal,中级会员群体日均消耗350 kcal,高级会员群体日均消耗500 kcal.已知该 App 初级、中级、高级会员的人数比例为$5:3:2$,则所有会员上周日均消耗
305
kcal.答案
3. 305
解析
【分析】
本题属于加权平均数的实际应用问题。解题思路如下：首先明确不同等级会员的日均消耗是待加权的原始数据，已知的会员人数比例就是各数据对应的权重；由于权重是比例形式，无需计算具体会员人数，直接用各数据乘以对应权重占比，求和即可得到整体加权平均值。
【解析】
已知初级、中级、高级会员的人数比例为$5:3:2$，则总份数为：
$5+3+2=10$
根据加权平均数的计算方法，所有会员上周日均消耗为：
$200×\frac{5}{10} + 350×\frac{3}{10} + 500×\frac{2}{10}$
$=200×0.5 + 350×0.3 + 500×0.2$
$=100 + 105 + 100$
$=305 \mathrm{（kcal）}$
【答案】
305
【知识点】
1. 加权平均数计算
2. 比例的应用
【点评】
本题结合生活中的运动数据统计场景考查加权平均数的应用，解题核心是理解人数比例可直接作为权重参与计算，不需要额外求解具体会员人数，解题逻辑清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
本题属于加权平均数的实际应用问题。解题思路如下：首先明确不同等级会员的日均消耗是待加权的原始数据，已知的会员人数比例就是各数据对应的权重；由于权重是比例形式，无需计算具体会员人数，直接用各数据乘以对应权重占比，求和即可得到整体加权平均值。
【解析】
已知初级、中级、高级会员的人数比例为$5:3:2$，则总份数为：
$5+3+2=10$
根据加权平均数的计算方法，所有会员上周日均消耗为：
$200×\frac{5}{10} + 350×\frac{3}{10} + 500×\frac{2}{10}$
$=200×0.5 + 350×0.3 + 500×0.2$
$=100 + 105 + 100$
$=305 \mathrm{（kcal）}$
【答案】
305
【知识点】
1. 加权平均数计算
2. 比例的应用
【点评】
本题结合生活中的运动数据统计场景考查加权平均数的应用，解题核心是理解人数比例可直接作为权重参与计算，不需要额外求解具体会员人数，解题逻辑清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
4. 为了解某市白天的空气质量状况，环境监测中心在城东、城西、城中三个区域分别设立了40,35,25个监测点进行监测.结果显示，中午12点时，各区域的平均AQI(空气质量指数)分别为:城东85，城西110，城中95.请计算该市中午12点时所有监测点的平均AQI(结果保留整数).
答案
4. 96
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的计算，解题时首先要明确：三个区域的监测点数量不同，也就是各区域平均AQI的权重不同，不能直接将三个区域的平均AQI相加除以3，需用加权平均的方法求解。首先分别计算每个区域所有监测点的AQI总和，再求出所有监测点的总AQI，最后用总AQI除以总监测点数量，就能得到整体平均AQI。
【解析】
第一步：分别计算各区域监测点的AQI总和
城东区域总AQI：$40 × 85 = 3400$
城西区域总AQI：$35 × 110 = 3850$
城中区域总AQI：$25 × 95 = 2375$
第二步：计算所有监测点的总AQI和总监测点数量
总AQI：$3400 + 3850 + 2375 = 9625$
总监测点数量：$40 + 35 + 25 = 100$
第三步：计算平均AQI并保留整数
平均AQI：$9625 ÷ 100 = 96.25 \approx 96$
【答案】
96
【知识点】
加权平均数计算；平均数实际应用
【点评】
本题结合空气质量监测的生活场景考查平均数的计算，需要注意区分算术平均数和加权平均数的适用条件，当各组数据的权重不同时，要采用加权平均数的计算方法，避免直接对组平均值求算术平均的常见错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查加权平均数的计算，解题时首先要明确：三个区域的监测点数量不同，也就是各区域平均AQI的权重不同，不能直接将三个区域的平均AQI相加除以3，需用加权平均的方法求解。首先分别计算每个区域所有监测点的AQI总和，再求出所有监测点的总AQI，最后用总AQI除以总监测点数量，就能得到整体平均AQI。
【解析】
第一步：分别计算各区域监测点的AQI总和
城东区域总AQI：$40 × 85 = 3400$
城西区域总AQI：$35 × 110 = 3850$
城中区域总AQI：$25 × 95 = 2375$
第二步：计算所有监测点的总AQI和总监测点数量
总AQI：$3400 + 3850 + 2375 = 9625$
总监测点数量：$40 + 35 + 25 = 100$
第三步：计算平均AQI并保留整数
平均AQI：$9625 ÷ 100 = 96.25 \approx 96$
【答案】
96
【知识点】
加权平均数计算；平均数实际应用
【点评】
本题结合空气质量监测的生活场景考查平均数的计算，需要注意区分算术平均数和加权平均数的适用条件，当各组数据的权重不同时，要采用加权平均数的计算方法，避免直接对组平均值求算术平均的常见错误。
【难度系数】
0.8
