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3. 九年级(1)班、(2)班分别有50名、45名学生，在某次测验中，(1)班的平均分为81.5分，(2)班的平均分为83.4分.
（1）这两个班所有学生的平均分是多少？
（2）如果这两个班的学生数相同，如何计算所有学生的平均分？
（3）结合已有的经验，说说加权平均数与算术平均数的联系.
（1）这两个班所有学生的平均分是多少？
（2）如果这两个班的学生数相同，如何计算所有学生的平均分？
（3）结合已有的经验，说说加权平均数与算术平均数的联系.
答案
3.(1) 82.4分 (2) 两个班平均分的平均数 (3) 权重一样时,加权平均数等于算数平均数
解析
【分析】
本题围绕平均数的计算及概念联系设置问题，解题思路如下：（1）计算两个班所有学生的平均分，需要先分别求出两个班的总得分，相加得到所有学生的总分数，再除以两个班的总人数即可，不能直接对两个班的平均分取平均，因为两个班人数不同，权重不同；（2）当两个班学生数相同时，两个班平均分的权重相等，此时总平均分可以直接将两个班的平均分相加后除以2计算；（3）结合前两问的计算过程，对比权重不同和权重相同的情况，即可总结出加权平均数与算术平均数的联系。
【解析】
（1）先计算两个班的总得分：
九（1）班总得分：$50 × 81.5 = 4075$（分）
九（2）班总得分：$45 × 83.4 = 3753$（分）
两个班总得分：$4075 + 3753 = 7828$（分）
两个班总人数：$50 + 45 = 95$（名）
所有学生的平均分：$7828 ÷ 95 = 82.4$（分）
（2）设两个班学生数均为$n$，则总得分是$81.5n + 83.4n$，总人数是$2n$，
总平均分为$\frac{81.5n + 83.4n}{2n} = \frac{81.5 + 83.4}{2}$，即直接计算两个班平均分的平均数即可。
（3）由前两问的计算可知，当各数据的权重一样时，加权平均数等于算术平均数，算术平均数是加权平均数的特殊情况。
【答案】
（1）82.4分；（2）两个班平均分的平均数；（3）权重一样时,加权平均数等于算数平均数
【知识点】
1.加权平均数计算 2.算术平均数计算 3.两类平均数的联系
【点评】
本题结合班级平均分的实际场景，考查平均数的计算及概念辨析，能帮助学生清晰区分加权平均数和算术平均数的适用条件，理解二者的内在关联，是巩固平均数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题围绕平均数的计算及概念联系设置问题，解题思路如下：（1）计算两个班所有学生的平均分，需要先分别求出两个班的总得分，相加得到所有学生的总分数，再除以两个班的总人数即可，不能直接对两个班的平均分取平均，因为两个班人数不同，权重不同；（2）当两个班学生数相同时，两个班平均分的权重相等，此时总平均分可以直接将两个班的平均分相加后除以2计算；（3）结合前两问的计算过程，对比权重不同和权重相同的情况，即可总结出加权平均数与算术平均数的联系。
【解析】
（1）先计算两个班的总得分：
九（1）班总得分：$50 × 81.5 = 4075$（分）
九（2）班总得分：$45 × 83.4 = 3753$（分）
两个班总得分：$4075 + 3753 = 7828$（分）
两个班总人数：$50 + 45 = 95$（名）
所有学生的平均分：$7828 ÷ 95 = 82.4$（分）
（2）设两个班学生数均为$n$，则总得分是$81.5n + 83.4n$，总人数是$2n$，
总平均分为$\frac{81.5n + 83.4n}{2n} = \frac{81.5 + 83.4}{2}$，即直接计算两个班平均分的平均数即可。
（3）由前两问的计算可知，当各数据的权重一样时，加权平均数等于算术平均数，算术平均数是加权平均数的特殊情况。
【答案】
（1）82.4分；（2）两个班平均分的平均数；（3）权重一样时,加权平均数等于算数平均数
【知识点】
1.加权平均数计算 2.算术平均数计算 3.两类平均数的联系
【点评】
本题结合班级平均分的实际场景，考查平均数的计算及概念辨析，能帮助学生清晰区分加权平均数和算术平均数的适用条件，理解二者的内在关联，是巩固平均数基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
4. 某商场招聘一名员工，现有甲、乙、丙三人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩(百分制)如下表所示：
(1) 若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩. 从成绩看，应该录取谁？
(2) 若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩. 从成绩看，应该录取谁？
(3) 在实际问题中，你认为如何“赋权”？
(1) 若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩. 从成绩看，应该录取谁？
(2) 若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%，30%，20%，计算三名应试者的平均成绩. 从成绩看，应该录取谁？
(3) 在实际问题中，你认为如何“赋权”？
答案
4.(1) 丙 (2) 乙 (3) 略
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确加权平均数的计算方法：各数据乘以对应权重求和后，除以权重总和即可得到加权平均成绩，若权重为百分比（权重和为1），可直接用数据乘对应百分比求和得到结果。对于第(1)问，将计算机、语言、商品知识的权2、3、5代入公式，分别计算三人的加权平均成绩，比较成绩高低选出最高者录取；第(2)问将三项成绩的占比50%、30%、20%作为权重，同理计算三人成绩后比较即可；第(3)问结合岗位的实际需求，说明越重要的能力项对应权重越高即可。
【解析】
(1) 已知三项测试的权为2、3、5，权重和为$2+3+5=10$：
甲的平均成绩：$\frac{70×2 + 50×3 + 80×5}{10}=\frac{140+150+400}{10}=69$（分）
乙的平均成绩：$\frac{90×2 + 75×3 + 45×5}{10}=\frac{180+225+225}{10}=63$（分）
丙的平均成绩：$\frac{50×2 + 60×3 + 85×5}{10}=\frac{100+180+425}{10}=70.5$（分）
因为$70.5＞69＞63$，丙的成绩最高，所以应录取丙。
(2) 已知三项成绩的占比为50%、30%、20%：
甲的平均成绩：$70×50\% + 50×30\% + 80×20\%=35+15+16=66$（分）
乙的平均成绩：$90×50\% + 75×30\% + 45×20\%=45+22.5+9=76.5$（分）
丙的平均成绩：$50×50\% + 60×30\% + 85×20\%=25+18+17=60$（分）
因为$76.5＞66＞60$，乙的成绩最高，所以应录取乙。
(3) 赋权时结合岗位的实际需求即可，对岗位越重要的能力考核项，对应赋予更高的权重即可，答案不唯一，合理即可。
【答案】
(1) 丙
(2) 乙
(3) 略
【知识点】
加权平均数计算，权重的应用，统计实际应用
【点评】
本题结合生活中的招聘场景考查加权平均数的计算，能够让学生体会不同权重对最终结果的影响，感受数学统计知识在实际生活中的应用价值，掌握加权平均数的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确加权平均数的计算方法：各数据乘以对应权重求和后，除以权重总和即可得到加权平均成绩，若权重为百分比（权重和为1），可直接用数据乘对应百分比求和得到结果。对于第(1)问，将计算机、语言、商品知识的权2、3、5代入公式，分别计算三人的加权平均成绩，比较成绩高低选出最高者录取；第(2)问将三项成绩的占比50%、30%、20%作为权重，同理计算三人成绩后比较即可；第(3)问结合岗位的实际需求，说明越重要的能力项对应权重越高即可。
【解析】
(1) 已知三项测试的权为2、3、5，权重和为$2+3+5=10$：
甲的平均成绩：$\frac{70×2 + 50×3 + 80×5}{10}=\frac{140+150+400}{10}=69$（分）
乙的平均成绩：$\frac{90×2 + 75×3 + 45×5}{10}=\frac{180+225+225}{10}=63$（分）
丙的平均成绩：$\frac{50×2 + 60×3 + 85×5}{10}=\frac{100+180+425}{10}=70.5$（分）
因为$70.5＞69＞63$，丙的成绩最高，所以应录取丙。
(2) 已知三项成绩的占比为50%、30%、20%：
甲的平均成绩：$70×50\% + 50×30\% + 80×20\%=35+15+16=66$（分）
乙的平均成绩：$90×50\% + 75×30\% + 45×20\%=45+22.5+9=76.5$（分）
丙的平均成绩：$50×50\% + 60×30\% + 85×20\%=25+18+17=60$（分）
因为$76.5＞66＞60$，乙的成绩最高，所以应录取乙。
(3) 赋权时结合岗位的实际需求即可，对岗位越重要的能力考核项，对应赋予更高的权重即可，答案不唯一，合理即可。
【答案】
(1) 丙
(2) 乙
(3) 略
【知识点】
加权平均数计算，权重的应用，统计实际应用
【点评】
本题结合生活中的招聘场景考查加权平均数的计算，能够让学生体会不同权重对最终结果的影响，感受数学统计知识在实际生活中的应用价值，掌握加权平均数的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 小明调查全组同学的身高后，首先整理数据并列出如下的频数分布表：
| 身高/cm | 164 | 166 | 168 | 169 | 170 | 171 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 划 记 | 丅 | 下 |
| 一 | 丅 | 一 |
| 频 数 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 |
结合上述内容，回答下列问题：
（1）身高166 cm、170 cm的权分别是什么？
（2）根据频数分布表计算全组同学的平均身高。
（3）在求$n$个数的平均数时，如果$x_1$出现$f_1$次，$x_2$出现$f_2$次，…，$x_k$出现$f_k$次（这里$f_1 + f_2 + \dots + f_k = n$），那么这$n$个数的平均数可以表示为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$，也叫作$x_1, x_2, \dots, x_k$这$k$个数的加权平均数，其中$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$分别叫作$x_1, x_2, \dots, x_k$的权。
| 身高/cm | 164 | 166 | 168 | 169 | 170 | 171 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 划 记 | 丅 | 下 |
| 一 | 丅 | 一 || 频 数 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 |
结合上述内容，回答下列问题：
（1）身高166 cm、170 cm的权分别是什么？
（2）根据频数分布表计算全组同学的平均身高。
（3）在求$n$个数的平均数时，如果$x_1$出现$f_1$次，$x_2$出现$f_2$次，…，$x_k$出现$f_k$次（这里$f_1 + f_2 + \dots + f_k = n$），那么这$n$个数的平均数可以表示为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$，也叫作$x_1, x_2, \dots, x_k$这$k$个数的加权平均数，其中$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$分别叫作$x_1, x_2, \dots, x_k$的权。
答案
5.(1) 3,2 (2) 167.5 cm (3) $\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n}$，$f_1,f_2,\dots,f_k$
解析
【分析】
本题围绕加权平均数相关知识展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确权的含义，在频数分布表中，各身高对应的频数就是该身高的权，直接找对应身高的频数即可；
2. 解决第(2)问：使用加权平均数的计算方法，先计算所有身高与对应频数乘积的总和，再除以总人数（即所有频数之和），就能得到平均身高；
3. 解决第(3)问：直接结合加权平均数的定义和公式填写即可，属于基础概念考查。
【解析】
(1) 根据权的定义，频数分布中数据对应的频数就是其权，身高166cm对应的频数是3，身高170cm对应的频数是2，因此二者的权分别为3、2。
(2) 首先计算全组总人数：$2+3+3+1+2+1=12$（人）
再计算全组同学身高总和：
$164×2 + 166×3 + 168×3 + 169×1 + 170×2 + 171×1$
$=328+498+504+169+340+171=2010$（cm）
平均身高 = 总身高÷总人数 = $2010÷12=167.5$（cm）
(3) 根据加权平均数的定义，该平均数可表示为$\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n}$，其中$f_1,f_2,\dots,f_k$分别是对应数据的权。
【答案】
(1) 3，2
(2) 167.5 cm
(3) $\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n}$，$f_1,f_2,\dots,f_k$
【知识点】
权的概念，加权平均数计算，加权平均数定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查加权平均数的相关概念和计算，难度较低，只要掌握权与频数的关系、加权平均数的计算方法和定义就能顺利解答，能够帮助学生巩固加权平均数的基础知识点。
【难度系数】
0.8
本题围绕加权平均数相关知识展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确权的含义，在频数分布表中，各身高对应的频数就是该身高的权，直接找对应身高的频数即可；
2. 解决第(2)问：使用加权平均数的计算方法，先计算所有身高与对应频数乘积的总和，再除以总人数（即所有频数之和），就能得到平均身高；
3. 解决第(3)问：直接结合加权平均数的定义和公式填写即可，属于基础概念考查。
【解析】
(1) 根据权的定义，频数分布中数据对应的频数就是其权，身高166cm对应的频数是3，身高170cm对应的频数是2，因此二者的权分别为3、2。
(2) 首先计算全组总人数：$2+3+3+1+2+1=12$（人）
再计算全组同学身高总和：
$164×2 + 166×3 + 168×3 + 169×1 + 170×2 + 171×1$
$=328+498+504+169+340+171=2010$（cm）
平均身高 = 总身高÷总人数 = $2010÷12=167.5$（cm）
(3) 根据加权平均数的定义，该平均数可表示为$\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n}$，其中$f_1,f_2,\dots,f_k$分别是对应数据的权。
【答案】
(1) 3，2
(2) 167.5 cm
(3) $\frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n}$，$f_1,f_2,\dots,f_k$
【知识点】
权的概念，加权平均数计算，加权平均数定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查加权平均数的相关概念和计算，难度较低，只要掌握权与频数的关系、加权平均数的计算方法和定义就能顺利解答，能够帮助学生巩固加权平均数的基础知识点。
【难度系数】
0.8
