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7. 某校随机调查了50名学生，了解他们一周的体育锻炼时间，并根据数据绘成统计图(如图)，则关于这50个数据的说法错误的是 (
A.平均数是9
B.众数是9
C.中位数是9
D.方差是9
D
)A.平均数是9
B.众数是9
C.中位数是9
D.方差是9
答案
7. D
解析
【分析】
首先从条形统计图中提取不同锻炼时间对应的人数：每周锻炼7h的有2人，8h的有12人，9h的有20人，10h的有16人。接下来分别根据平均数、众数、中位数、方差的定义和计算方法，对四个选项逐一验证，找出错误的选项即可。
【解析】
首先提取数据：锻炼时间为7h的共2人，8h的共12人，9h的共20人，10h的共16人，总人数$2+12+20+16=50$人，符合题意。
1. 计算平均数：
$\bar{x}=\frac{7×2 +8×12 +9×20 +10×16}{50}=\frac{14+96+180+160}{50}=\frac{450}{50}=9$，故A选项正确。
2. 判断众数：
锻炼时间为9h的人数最多，共20人，因此众数是9，故B选项正确。
3. 计算中位数：
50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数。累计前两组人数为$2+12=14$人，累计前三组人数为$14+20=34$人，因此第25、26个数据都属于锻炼时间为9h的组，中位数为9，故C选项正确。
4. 计算方差：
$s^2=\frac{2×(7-9)^2 +12×(8-9)^2 +20×(9-9)^2 +16×(10-9)^2}{50}=\frac{2×4 +12×1 +0 +16×1}{50}=\frac{36}{50}=0.72≠9$，故D选项错误。
综上，说法错误的是D。
【答案】
D
【知识点】
条形统计图的应用；统计量的计算；方差的计算
【点评】
本题需要先从统计图中准确提取有效信息，再结合各类统计量的定义进行计算判断，属于基础题型，掌握各统计量的计算方法是解题的关键，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
首先从条形统计图中提取不同锻炼时间对应的人数：每周锻炼7h的有2人，8h的有12人，9h的有20人，10h的有16人。接下来分别根据平均数、众数、中位数、方差的定义和计算方法，对四个选项逐一验证，找出错误的选项即可。
【解析】
首先提取数据：锻炼时间为7h的共2人，8h的共12人，9h的共20人，10h的共16人，总人数$2+12+20+16=50$人，符合题意。
1. 计算平均数：
$\bar{x}=\frac{7×2 +8×12 +9×20 +10×16}{50}=\frac{14+96+180+160}{50}=\frac{450}{50}=9$，故A选项正确。
2. 判断众数：
锻炼时间为9h的人数最多，共20人，因此众数是9，故B选项正确。
3. 计算中位数：
50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数。累计前两组人数为$2+12=14$人，累计前三组人数为$14+20=34$人，因此第25、26个数据都属于锻炼时间为9h的组，中位数为9，故C选项正确。
4. 计算方差：
$s^2=\frac{2×(7-9)^2 +12×(8-9)^2 +20×(9-9)^2 +16×(10-9)^2}{50}=\frac{2×4 +12×1 +0 +16×1}{50}=\frac{36}{50}=0.72≠9$，故D选项错误。
综上，说法错误的是D。
【答案】
D
【知识点】
条形统计图的应用；统计量的计算；方差的计算
【点评】
本题需要先从统计图中准确提取有效信息，再结合各类统计量的定义进行计算判断，属于基础题型，掌握各统计量的计算方法是解题的关键，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
8. 小丽投掷10次标枪，前9次标枪落点如图所示，这9次成绩平均数为20 m，方差为a.
若第10次标枪成绩恰为20 m，这10次成绩方差为b，则a
若第10次标枪成绩恰为20 m，这10次成绩方差为b，则a
＞
b.（填“＞”“=”或“＜”）答案
8. ＞
解析
【分析】
要比较a和b的大小，需结合方差的定义逐步分析：首先判断加入第10次成绩后10次成绩的平均数，再分别写出a和b的表达式，对比两者大小即可。第一步先算平均数：前9次平均为20m，第10次成绩为20m，可推出10次成绩的平均数仍为20m；第二步回忆方差公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，新增的20m与平均数的差为0，因此离均差平方和不变，仅分母从9变为10，由此可判断方差的变化。
【解析】
解：
∵前9次成绩的平均数为20m，第10次成绩为20m，
∴10次成绩的平均数$\overline{x}=\frac{9×20 + 20}{10}=20(\mathrm{m})$。
设前9次成绩的离均差平方和为$S$，即$S=(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2$，
根据方差公式可得：
$a=\frac{1}{9}S$，
第10次成绩的离均差平方为$(20-20)^2=0$，因此10次成绩的离均差平方和仍为$S$，
则$b=\frac{1}{10}S$，
由图可知落点不全为20m，故$S＞0$，
∴$\frac{1}{9}S＞\frac{1}{10}S$，即$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
平均数计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是明确当新增的数据等于原数据集的平均数时，数据集的离散程度变小，方差减小，解题时需先确认新数据集的平均数与原平均数一致，再结合方差公式对比即可。
【难度系数】
0.7
要比较a和b的大小，需结合方差的定义逐步分析：首先判断加入第10次成绩后10次成绩的平均数，再分别写出a和b的表达式，对比两者大小即可。第一步先算平均数：前9次平均为20m，第10次成绩为20m，可推出10次成绩的平均数仍为20m；第二步回忆方差公式，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，新增的20m与平均数的差为0，因此离均差平方和不变，仅分母从9变为10，由此可判断方差的变化。
【解析】
解：
∵前9次成绩的平均数为20m，第10次成绩为20m，
∴10次成绩的平均数$\overline{x}=\frac{9×20 + 20}{10}=20(\mathrm{m})$。
设前9次成绩的离均差平方和为$S$，即$S=(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+\dots+(x_9-20)^2$，
根据方差公式可得：
$a=\frac{1}{9}S$，
第10次成绩的离均差平方为$(20-20)^2=0$，因此10次成绩的离均差平方和仍为$S$，
则$b=\frac{1}{10}S$，
由图可知落点不全为20m，故$S＞0$，
∴$\frac{1}{9}S＞\frac{1}{10}S$，即$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
平均数计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是明确当新增的数据等于原数据集的平均数时，数据集的离散程度变小，方差减小，解题时需先确认新数据集的平均数与原平均数一致，再结合方差公式对比即可。
【难度系数】
0.7
9. 某校国旗护卫队原来有5名学生，身高(单位：cm)分别为173，174，174，174，175，若增加一位身高为174 cm的学生，则国旗护卫队学生身高的方差会
变小
.（填“变大”“变小”或“不变”）答案
9. 变小
解析
【分析】
要判断方差的变化情况，我们可以通过分别计算增加学生前后两组数据的方差，再对比大小得出结论。首先先计算原5名学生身高的平均数，再结合方差公式求出原方差；接着计算加入身高为174cm的学生后新数据的平均数和新方差，最后对比两个方差的大小即可。也可结合方差的意义直接推导：新增数据等于原数据平均数时，数据的离散程度会降低，方差变小。
【解析】
1. 计算原5名学生身高的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{原}=\frac{173+174+174+174+175}{5}=174\ \mathrm{cm}$
2. 计算原方差：
$s^2_\mathrm{原}=\frac{1}{5}×[(173-174)^2+3×(174-174)^2+(175-174)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=\frac{2}{5}=0.4$
3. 计算增加1名学生后6名学生身高的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{新}=\frac{173+174+174+174+175+174}{6}=174\ \mathrm{cm}$
4. 计算新方差：
$s^2_\mathrm{新}=\frac{1}{6}×[(173-174)^2+4×(174-174)^2+(175-174)^2]=\frac{1}{6}×(1+0+1)=\frac{2}{6}\approx0.33$
5. 比较大小：
$\because \frac{2}{6}＜\frac{2}{5}$，即$s^2_\mathrm{新}＜s^2_\mathrm{原}$，$\therefore$ 方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
方差的计算、平均数的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查方差的变化规律，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键，也可直接记住规律：新增数据等于原有数据的平均数时，数据波动程度减小，方差会变小。
【难度系数】
0.8
要判断方差的变化情况，我们可以通过分别计算增加学生前后两组数据的方差，再对比大小得出结论。首先先计算原5名学生身高的平均数，再结合方差公式求出原方差；接着计算加入身高为174cm的学生后新数据的平均数和新方差，最后对比两个方差的大小即可。也可结合方差的意义直接推导：新增数据等于原数据平均数时，数据的离散程度会降低，方差变小。
【解析】
1. 计算原5名学生身高的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{原}=\frac{173+174+174+174+175}{5}=174\ \mathrm{cm}$
2. 计算原方差：
$s^2_\mathrm{原}=\frac{1}{5}×[(173-174)^2+3×(174-174)^2+(175-174)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=\frac{2}{5}=0.4$
3. 计算增加1名学生后6名学生身高的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{新}=\frac{173+174+174+174+175+174}{6}=174\ \mathrm{cm}$
4. 计算新方差：
$s^2_\mathrm{新}=\frac{1}{6}×[(173-174)^2+4×(174-174)^2+(175-174)^2]=\frac{1}{6}×(1+0+1)=\frac{2}{6}\approx0.33$
5. 比较大小：
$\because \frac{2}{6}＜\frac{2}{5}$，即$s^2_\mathrm{新}＜s^2_\mathrm{原}$，$\therefore$ 方差变小。
【答案】
变小
【知识点】
方差的计算、平均数的计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查方差的变化规律，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键，也可直接记住规律：新增数据等于原有数据的平均数时，数据波动程度减小，方差会变小。
【难度系数】
0.8
10. 某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境. 以下是A，B两个商家四项得分的情况：
如果某顾客将以上四项得分按$2:3:4:1$计算，那么他会选择商家
如果某顾客将以上四项得分按$2:3:4:1$计算，那么他会选择商家
B
.(填“A”或“B”)答案
10. B
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确四项评分的权重占比为2:3:4:1，先计算权重总和，再根据加权平均数的计算公式分别求出A、B两个商家的最终综合得分，最后比较两个得分的大小，选择得分更高的商家即可。
【解析】
首先计算权重总和：$2+3+4+1=10$
1. 计算商家A的加权平均得分：
$\overline{x}_A=\frac{4.5×2 + 4.7×3 + 4.2×4 + 4.8×1}{10}=\frac{9 + 14.1 + 16.8 + 4.8}{10}=\frac{44.7}{10}=4.47$
2. 计算商家B的加权平均得分：
$\overline{x}_B=\frac{4.6×2 + 4.8×3 + 4.5×4 + 4.1×1}{10}=\frac{9.2 + 14.4 + 18 + 4.1}{10}=\frac{45.7}{10}=4.57$
因为$4.57＞4.47$，即商家B的综合得分更高，所以顾客会选择商家B。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算，数据大小比较
【点评】
本题结合生活中的商家评分场景考查加权平均数的应用，解题核心是熟练掌握加权平均数的计算方法，代入数据计算时注意准确性即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确四项评分的权重占比为2:3:4:1，先计算权重总和，再根据加权平均数的计算公式分别求出A、B两个商家的最终综合得分，最后比较两个得分的大小，选择得分更高的商家即可。
【解析】
首先计算权重总和：$2+3+4+1=10$
1. 计算商家A的加权平均得分：
$\overline{x}_A=\frac{4.5×2 + 4.7×3 + 4.2×4 + 4.8×1}{10}=\frac{9 + 14.1 + 16.8 + 4.8}{10}=\frac{44.7}{10}=4.47$
2. 计算商家B的加权平均得分：
$\overline{x}_B=\frac{4.6×2 + 4.8×3 + 4.5×4 + 4.1×1}{10}=\frac{9.2 + 14.4 + 18 + 4.1}{10}=\frac{45.7}{10}=4.57$
因为$4.57＞4.47$，即商家B的综合得分更高，所以顾客会选择商家B。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算，数据大小比较
【点评】
本题结合生活中的商家评分场景考查加权平均数的应用，解题核心是熟练掌握加权平均数的计算方法，代入数据计算时注意准确性即可，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
11. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元. 某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是多少？
答案
11. 3.15元
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先观察扇形统计图，得到四种矿泉水各自的销售占比，该占比就是对应单价的权重；再根据加权平均数的计算方法，将每种矿泉水的单价乘它对应的销售占比，最后将所有乘积相加，即可得到销售的矿泉水的平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，结合扇形统计图给出的销售占比，列式计算：
平均单价 = $5×10\% + 4×15\% + 3×55\% + 2×20\%$
分别计算每一项：
$5×10\% = 0.5$，$4×15\% = 0.6$，$3×55\% = 1.65$，$2×20\% = 0.4$
求和得：$0.5 + 0.6 + 1.65 + 0.4 = 3.15$（元）
【答案】
3.15元
【知识点】
加权平均数计算；扇形统计图识读
【点评】
本题是基础应用题，结合生活中的销售场景考查统计相关知识，解题核心是理解扇形统计图中百分比的含义，熟练掌握加权平均数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先观察扇形统计图，得到四种矿泉水各自的销售占比，该占比就是对应单价的权重；再根据加权平均数的计算方法，将每种矿泉水的单价乘它对应的销售占比，最后将所有乘积相加，即可得到销售的矿泉水的平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，结合扇形统计图给出的销售占比，列式计算：
平均单价 = $5×10\% + 4×15\% + 3×55\% + 2×20\%$
分别计算每一项：
$5×10\% = 0.5$，$4×15\% = 0.6$，$3×55\% = 1.65$，$2×20\% = 0.4$
求和得：$0.5 + 0.6 + 1.65 + 0.4 = 3.15$（元）
【答案】
3.15元
【知识点】
加权平均数计算；扇形统计图识读
【点评】
本题是基础应用题，结合生活中的销售场景考查统计相关知识，解题核心是理解扇形统计图中百分比的含义，熟练掌握加权平均数的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
