登录
12. 某公司发明了一种新型全自动菱形网编织机，为了与老式自动菱形网编织机对比，将在相同条件及时间内进行9次不同型号材料编织的编织面积统计(单位：m²)记录如下：
新型编织机：36，50，70，68，86，45，96，60，78.
老式编织机：28，32，48，42，78，30，86，40，52.
（1）分别绘制两组数据的箱线图；
（2）通过对比，你能得出什么结论？
新型编织机：36，50，70，68，86，45，96，60，78.
老式编织机：28，32，48，42，78，30，86，40，52.
（1）分别绘制两组数据的箱线图；
（2）通过对比，你能得出什么结论？
答案
12. (1) 箱线图略 (2) 新型全自动菱形网编织机的$m_{25},m_{75}$都高于老式自动菱形网编织机，可以认为新型编织机有比较好的改善效果
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 解决第(1)问绘制箱线图的问题，首先要明确箱线图的绘制步骤：先将两组数据分别从小到大排序，再计算两组数据的五个关键统计量：最小值、25%分位数（下四分位数）、中位数（50%分位数）、75%分位数（上四分位数）、最大值，最后根据五个统计量的位置即可绘制箱线图。2. 解决第(2)问的对比结论问题，只需对比两组数据的关键统计量大小，就能判断两种编织机的性能差异。
【解析】
(1) 绘制箱线图步骤：
① 整理新型编织机数据：将数据从小到大排序为：36，45，50，60，68，70，78，86，96。计算得五个统计量：最小值=36，最大值=96，中位数为第5个数据68，下四分位数为前4个数据的中位数$\frac{45+50}{2}=47.5$，上四分位数为后4个数据的中位数$\frac{70+78}{2}=74$。
② 整理老式编织机数据：将数据从小到大排序为：28，30，32，40，42，48，52，78，86。计算得五个统计量：最小值=28，最大值=86，中位数为第5个数据42，下四分位数为前4个数据的中位数$\frac{30+32}{2}=31$，上四分位数为后4个数据的中位数$\frac{52+78}{2}=65$。
③ 建立数轴，分别标记两组数据的五个统计量位置，画出箱体和须线即可得到两组数据的箱线图。
(2) 对比两组数据的统计量可知：新型编织机的$m_{25}$、$m_{75}$、中位数均高于老式编织机，说明相同条件下新型编织机的编织面积整体更大，因此新型编织机有较好的改善效果。
【答案】
(1) 箱线图略
(2) 新型全自动菱形网编织机的$m_{25},m_{75}$都高于老式自动菱形网编织机，可以认为新型编织机有比较好的改善效果
【知识点】
箱线图绘制；四分位数计算；统计数据分析
【点评】
本题结合生产实际场景考查统计图表的绘制与数据分析能力，要求熟练掌握箱线图的绘制步骤，能通过统计量对比得到合理的统计结论，体现了统计知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：1. 解决第(1)问绘制箱线图的问题，首先要明确箱线图的绘制步骤：先将两组数据分别从小到大排序，再计算两组数据的五个关键统计量：最小值、25%分位数（下四分位数）、中位数（50%分位数）、75%分位数（上四分位数）、最大值，最后根据五个统计量的位置即可绘制箱线图。2. 解决第(2)问的对比结论问题，只需对比两组数据的关键统计量大小，就能判断两种编织机的性能差异。
【解析】
(1) 绘制箱线图步骤：
① 整理新型编织机数据：将数据从小到大排序为：36，45，50，60，68，70，78，86，96。计算得五个统计量：最小值=36，最大值=96，中位数为第5个数据68，下四分位数为前4个数据的中位数$\frac{45+50}{2}=47.5$，上四分位数为后4个数据的中位数$\frac{70+78}{2}=74$。
② 整理老式编织机数据：将数据从小到大排序为：28，30，32，40，42，48，52，78，86。计算得五个统计量：最小值=28，最大值=86，中位数为第5个数据42，下四分位数为前4个数据的中位数$\frac{30+32}{2}=31$，上四分位数为后4个数据的中位数$\frac{52+78}{2}=65$。
③ 建立数轴，分别标记两组数据的五个统计量位置，画出箱体和须线即可得到两组数据的箱线图。
(2) 对比两组数据的统计量可知：新型编织机的$m_{25}$、$m_{75}$、中位数均高于老式编织机，说明相同条件下新型编织机的编织面积整体更大，因此新型编织机有较好的改善效果。
【答案】
(1) 箱线图略
(2) 新型全自动菱形网编织机的$m_{25},m_{75}$都高于老式自动菱形网编织机，可以认为新型编织机有比较好的改善效果
【知识点】
箱线图绘制；四分位数计算；统计数据分析
【点评】
本题结合生产实际场景考查统计图表的绘制与数据分析能力，要求熟练掌握箱线图的绘制步骤，能通过统计量对比得到合理的统计结论，体现了统计知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
13. 甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如表：
| 射击次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲的成绩/环 | 8 | 9 | 7 |
| 8 | 6 | 7 | a | 10 | 8 |
| 乙的成绩/环 | 6 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 8 | 7 | 7 | 10 |
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8环，则$a=$
（2）甲成绩的中位数是
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定。
| 射击次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲的成绩/环 | 8 | 9 | 7 |
| 8 | 6 | 7 | a | 10 | 8 || 乙的成绩/环 | 6 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 8 | 7 | 7 | 10 |
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8环，则$a=$
8
；（2）甲成绩的中位数是
8
环，乙成绩的众数是7
环；（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定。
答案
13. (1) $a=8$ (2) 8，7 (3) 乙成绩的方差为1.8. 甲和乙的平均成绩是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，甲的成绩更为稳定
解析
【分析】
（1）根据平均数的计算公式：平均数=数据总和÷数据个数，已知甲的平均成绩为8环，总射击次数是10次，可先求出甲10次成绩的总和，再减去已知9次成绩的和即可得到a的值；
（2）求中位数需要先将甲的成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，统计乙的成绩中各数据出现的次数即可得到众数；
（3）根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算乙的方差，再比较甲乙方差的大小，方差越小说明成绩越稳定。
【解析】
（1）甲的平均成绩为8环，因此10次成绩总和为$8×10=80$环
已知甲9次成绩和为：$8+9+7+9+8+6+7+10+8=72$
则$a=80-72=8$
（2）将甲的成绩从小到大排序为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数：$\frac{8+8}{2}=8$环
统计乙的成绩：6出现1次，7出现4次，8出现1次，9出现2次，10出现2次，出现次数最多的是7，因此乙成绩的众数是7环
（3）乙的平均成绩为8环，根据方差公式计算乙的方差：
$\begin{aligned}s^2_乙&=\frac{1}{10}[(6-8)^2+4×(7-8)^2+(8-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2]\\&=\frac{1}{10}[4+4×1+0+2×1+2×4]\\&=\frac{1}{10}×18\\&=1.8\end{aligned}$
已知甲成绩的方差为1.2，$1.2＜1.8$，方差越小成绩越稳定，因此甲的成绩更为稳定。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{8}$，$\boxed{7}$；（3）乙成绩的方差为$\boxed{1.8}$，甲的成绩更为稳定
【知识点】
平均数的计算；中位数与众数；方差的计算与意义
【点评】
本题主要考查统计中常见特征量的计算与应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握各统计量的计算方法，理解方差反映数据波动大小的性质。
【难度系数】
0.7
（1）根据平均数的计算公式：平均数=数据总和÷数据个数，已知甲的平均成绩为8环，总射击次数是10次，可先求出甲10次成绩的总和，再减去已知9次成绩的和即可得到a的值；
（2）求中位数需要先将甲的成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5和第6个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，统计乙的成绩中各数据出现的次数即可得到众数；
（3）根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算乙的方差，再比较甲乙方差的大小，方差越小说明成绩越稳定。
【解析】
（1）甲的平均成绩为8环，因此10次成绩总和为$8×10=80$环
已知甲9次成绩和为：$8+9+7+9+8+6+7+10+8=72$
则$a=80-72=8$
（2）将甲的成绩从小到大排序为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数：$\frac{8+8}{2}=8$环
统计乙的成绩：6出现1次，7出现4次，8出现1次，9出现2次，10出现2次，出现次数最多的是7，因此乙成绩的众数是7环
（3）乙的平均成绩为8环，根据方差公式计算乙的方差：
$\begin{aligned}s^2_乙&=\frac{1}{10}[(6-8)^2+4×(7-8)^2+(8-8)^2+2×(9-8)^2+2×(10-8)^2]\\&=\frac{1}{10}[4+4×1+0+2×1+2×4]\\&=\frac{1}{10}×18\\&=1.8\end{aligned}$
已知甲成绩的方差为1.2，$1.2＜1.8$，方差越小成绩越稳定，因此甲的成绩更为稳定。
【答案】
（1）$\boxed{8}$；（2）$\boxed{8}$，$\boxed{7}$；（3）乙成绩的方差为$\boxed{1.8}$，甲的成绩更为稳定
【知识点】
平均数的计算；中位数与众数；方差的计算与意义
【点评】
本题主要考查统计中常见特征量的计算与应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握各统计量的计算方法，理解方差反映数据波动大小的性质。
【难度系数】
0.7
14. 某中学举行校园歌手大赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校比赛. 两个队选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
（1）根据图示，填写下表：
（2）分析哪个队的决赛成绩较好.
（1）根据图示，填写下表：
（2）分析哪个队的决赛成绩较好.
答案
解：
(1) 由条形图读取数据：
初中部5名选手决赛成绩为75，80，85，85，100，
初中部平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
该组数据中85出现次数最多，故初中部众数为85。
高中部5名选手决赛成绩为70，75，80，100，100，
将高中部成绩从小到大排序为70，75，80，100，100，中间位置的数为80，故高中部中位数为80，
该组数据中100出现次数最多，故高中部众数为100。
填写表格结果：
初中部行：平均数填85，众数填85；
高中部行：中位数填80，众数填100。
(2) 两个队选手成绩的平均数均为85，大小相等，初中部的中位数85大于高中部的中位数80，因此在平均数相同的情况下，初中代表队的整体决赛成绩更好。
(1) 由条形图读取数据：
初中部5名选手决赛成绩为75，80，85，85，100，
初中部平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$，
该组数据中85出现次数最多，故初中部众数为85。
高中部5名选手决赛成绩为70，75，80，100，100，
将高中部成绩从小到大排序为70，75，80，100，100，中间位置的数为80，故高中部中位数为80，
该组数据中100出现次数最多，故高中部众数为100。
填写表格结果：
初中部行：平均数填85，众数填85；
高中部行：中位数填80，众数填100。
(2) 两个队选手成绩的平均数均为85，大小相等，初中部的中位数85大于高中部的中位数80，因此在平均数相同的情况下，初中代表队的整体决赛成绩更好。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先需要从条形统计图中分别提取初中、高中代表队5名选手的决赛成绩，再根据对应统计量的定义计算：平均数为所有数据之和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取正中间的数）。
（2）比较两队成绩优劣时，先对比平均数判断整体平均水平，若平均数相同，再通过中位数判断中间水平的高低，综合得出哪队成绩更好。
【解析】
(1) 先读取两队成绩：
初中部5名选手决赛成绩为：75，80，85，85，100
初中部平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$
该组数据中85出现次数最多，故初中部众数为85。
高中部5名选手决赛成绩为：70，75，80，100，100
将高中部成绩从小到大排序为：70，75，80，100，100，共5个数据，中间位置的数为第3个即80，故高中部中位数为80；
该组数据中100出现次数最多，故高中部众数为100。
表格填写结果：初中部行填平均数85、众数85；高中部行填中位数80、众数100。
(2) 经计算两队选手成绩的平均数均为85，平均水平相同；初中部的中位数85大于高中部的中位数80，说明初中代表队半数以上选手的成绩高于高中队半数以上选手的成绩，因此初中代表队的整体决赛成绩更好。
【答案】
(1) 初中部：平均数85，众数85；高中部：中位数80，众数100；
(2) 初中代表队的决赛成绩较好。
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；数据统计分析
【点评】
本题结合生活实际考查统计量的计算与应用，需要熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法，理解各统计量的实际意义，能选择合适的统计量对数据进行对比分析。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先需要从条形统计图中分别提取初中、高中代表队5名选手的决赛成绩，再根据对应统计量的定义计算：平均数为所有数据之和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取正中间的数）。
（2）比较两队成绩优劣时，先对比平均数判断整体平均水平，若平均数相同，再通过中位数判断中间水平的高低，综合得出哪队成绩更好。
【解析】
(1) 先读取两队成绩：
初中部5名选手决赛成绩为：75，80，85，85，100
初中部平均数：$\overline{x}_初=\frac{75+80+85+85+100}{5}=85$
该组数据中85出现次数最多，故初中部众数为85。
高中部5名选手决赛成绩为：70，75，80，100，100
将高中部成绩从小到大排序为：70，75，80，100，100，共5个数据，中间位置的数为第3个即80，故高中部中位数为80；
该组数据中100出现次数最多，故高中部众数为100。
表格填写结果：初中部行填平均数85、众数85；高中部行填中位数80、众数100。
(2) 经计算两队选手成绩的平均数均为85，平均水平相同；初中部的中位数85大于高中部的中位数80，说明初中代表队半数以上选手的成绩高于高中队半数以上选手的成绩，因此初中代表队的整体决赛成绩更好。
【答案】
(1) 初中部：平均数85，众数85；高中部：中位数80，众数100；
(2) 初中代表队的决赛成绩较好。
【知识点】
平均数计算；中位数与众数；数据统计分析
【点评】
本题结合生活实际考查统计量的计算与应用，需要熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法，理解各统计量的实际意义，能选择合适的统计量对数据进行对比分析。
【难度系数】
0.8
